高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲第1课时直线与圆锥曲线练习理北师大版05

1、1第第 9 9 讲讲 第第 1 1 时时 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于a，b两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线()a.有且只有一条b.有且只有两条c.有且只有三条d.有且只有四条解析通径 2p2，又|ab|x1x2p，|ab|32p，故这样的直线有且只有两条.答案b2.直线ybax3 与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的交点个数是()a.1b.2c.1 或 2d.0解析因为直线ybax3 与双曲线的渐近线ybax平行，所以它与双曲线只有 1 个交点.答案a3.经过椭圆x22y21 的一

2、个焦点作倾斜角为 45的直线l，交椭圆于a，b两点，设o为坐标原点，则oaob等于()a.3b.13c.13或3d.13解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程x22y21 并整理得 3x24x0，解得x0 或x43，所以两个交点坐标分别为(0，1)，43，13 ，oaob13，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得oaob13.答案b4.抛物线yx2到直线xy20 的最短距离为()a. 2b.7 282c.2 2d.5 26解 析设 抛 物 线 上 一 点 的 坐 标 为 (x，y) ， 则d|xy2|2|x2x2|2|x12

3、274|2，x12时，dmin7 28.答案b5.(2017石家庄调研)椭圆ax2by21 与直线y1x交于a，b两点，过原点与线段ab中点的直线的斜率为32，则ab的值为()a.32b.2 33c.9 32d.2 327解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段ab中点m(x0，y0)，由题设komy0 x032.由ax21by211，ax22by221，得（y2y1） （y2y1）（x2x1） （x2x1）ab.又y2y1x2x11，y2y1x2x12y02x032.所以ab32.答案a二、填空题6. (2017西安调研)已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)，f( 2，0)为其右焦

4、点，过f且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆c的方程为_.解析由题意得c 2，b2a1，a2b2c2，解得a2，b 2，椭圆c的方程为x24y221.答案x24y2217.已知抛物线yax2(a0)的焦点到准线的距离为 2，则直线yx1 截抛物线所得的弦长等于_.解析由题设知p12a2，a14.3抛物线方程为y14x2，焦点为f(0，1)，准线为y1.联立y14x2，yx1，消去x，整理得y26y10，y1y26，直线过焦点f，所得弦|ab|af|bf|y11y218.答案88.过椭圆x216y241 内一点p(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_.解析设直线与椭圆交于

5、a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由于a，b两点均在椭圆上，故x2116y2141，x2216y2241，两式相减得（x1x2） （x1x2）16（y1y2） （y1y2）40.又p是a，b的中点，x1x26，y1y22，kaby1y2x1x234.直线ab的方程为y134(x3).即 3x4y130.答案3x4y130三、解答题9.设f1，f2分别是椭圆e：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过f1且斜率为 1 的直线l与e相交于a，b两点，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差数列.(1)求e的离心率；(2)设点p(0，1)满足|pa|pb|，求e的方程.解(1)由椭圆定义知

6、|af2|bf2|ab|4a，又 2|ab|af2|bf2|，得|ab|43a，l的方程为yxc，其中ca2b2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点的坐标满足方程组yxc，x2a2y2b21，消去y，化简得(a24b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x22a2ca2b2，x1x2a2（c2b2）a2b2.因为直线ab的斜率为 1，所以|ab| 2|x2x1| 2（x1x2）24x1x2，即43a4ab2a2b2，故a22b2，所以e的离心率ecaa2b2a22.(2)设ab的中点为n(x0，y0)，由(1)知x0 x1x22a2ca2b22c3，y0 x0cc3.由|

7、pa|pb|，得kpn1，即y01x01，得c3，从而a3 2，b3.故椭圆e的方程为x218y291.10.已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为a(2，0)，离心率为22.直线yk(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1)求椭圆c的方程；(2)当amn的面积为103时，求k的值.解(1)由题意得a2，ca22，a2b2c2.解得b 2，所以椭圆c的方程为x24y221.(2)由yk（x1） ，x24y221，得(12k2)x24k2x2k240.设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x24k212k2，x1x22k2

8、412k2，所以|mn| （x2x1）2（y2y1）2 （1k2）（x1x2）24x1x252 （1k2） （46k2）12k2又因为点a(2，0)到直线yk(x1)的距离d|k|1k2，所以amn的面积为s12|mn|d|k| 46k212k2，由|k| 46k212k2103，解得k1.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.已知椭圆x24y2b21(0b2)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交椭圆于a，b两点，若|bf2|af2|的最大值为 5，则b的值是()a.1b. 2c.32d. 3解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a2，由椭圆的定义，可知|af2|bf2|ab|4a8，

9、所以|ab|8(|af2|bf2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a3，可求得b23，即b 3.答案d12.(2016四川卷)设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om的斜率的最大值是()a.33b.23c.22d.1解析如图所示，设p(x0，y0)(y00)，则y202px0，即x0y202p.设m(x，y)，由pm2mf，得xx02p2x，yy02（0y） ，解之得xpx03，且yy03.直线om的斜率kyxy0py02p2p2p2y0y0又y02p2y02 2p，当且仅当y0 2p时

10、取等号.6k2p2 2p22，则k的最大值为22.答案c13.设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足.如果直线af的斜率为 3，那么|pf|_.解析直线af的方程为y 3(x2)， 联立y 3x2 3，x2，得y4 3， 所以p(6， 4 3).由抛物线的性质可知|pf|628.答案814.已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线y4 与y轴的交点为p，与c的交点为q，且|qf|54|pq|.(1)求c的方程；(2)过f的直线l与c相交于a，b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m，n两点，且a，m，b，n四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设q(x0，4)，代入y22px得x08p.所以|pq|8p，|qf|p2x0p28p.由题设得p28p548p，解得p2(舍去)或p2.所以c的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直， 故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故ab的中点为d(2m21，2m)，|ab|m21|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为x1my2m23.将上式代入y24x，并整理得y24my4(2m23)0.设m(x3，y3)，n(x4，y4)，则y3y44m，y3y44(2m23).故mn的中点为e2m22