线性代数同济大学第五版课件4-5PPT课件

1、 .所谓, 是指在集合 V 中可以进行加法及数乘两种运算. 则 a + b V; 若 a V, R, 则 a V. 具体地说, 若 a V, b V,第1页/共20页 集合V = x = (0, x2 , , xn)T | x2 , , xn R V是一个向量空间. b = ( 0 , b2 , , bn )T V , 则 a + b = ( 0 , a2 + b2 , , an + bn)T V , a = ( 0 , a2 , , an )T V .若 a = ( 0 , a2 , , an )T V,第2页/共20页 集合V = x = (1 , x2 , , xn )T | x2 ,

2、, xn R V不是向量空间. 2a = (2 , 2a2 , , 2an )T V.若 a = (1 , a2 , , an )T V , 则第3页/共20页 齐次线性方程组的解集S = x | Ax = 0 S是一个向量空间，因为由齐次线性方程组的解的性质1、2，即知其解集 S 对向量的线性运算封闭.称为齐次线性方程组的.第4页/共20页集合 L = x = a + b | , R x1 =1a +1b, x2 =2a +2b ，则有x1 + x2 = (1+2)a + ( 1 + 2 )b L,kx1 = (k1)a + (k1)b L .这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量

3、空间. 是一个向量空间.因为若 设 a , b 为两个已知的 n 维向量，第5页/共20页一般地, 为L=x=1a1 + 2a2 + + mam | 1, 2 , , m R . 设向量组 a1 , , am与向量组 b1, , bs等价, 记L1= x= 1a1 + 2a2 + + mam | 1, , m R ,L2= x= 1b1 + 2b2 + + sbs | 1, , s R ,试证 L1 = L2 .第6页/共20页 设 x L1 , 则 x 可由 a1 , , am 线性表示.因 a1 , , am 可由 b1 , , bs 线性表示, 因此 L1 L2 . 故 x 可由 b1

4、, , bs 线性表示, 类似地可证, L2 L1 . 因为 L1 L2 , L2 L1 , 所以 L1 = L2 .所以 x L2 .第7页/共20页 空间.总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子 例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V, 第8页/共20页 第9页/共20页由向量组 a1 , a2 , , am 所生成的向量空间L = x = 1a1 + 2a2 + + mam | 1, , m R ,显然向量空间 L 与向量组 a1 , a2 , , am 等价, 所以向量组 a1 , a2 , , am 的最大无关组就是L 的一个基, 向量组 a1 , a2 , ,

5、am 的秩就是 L 的维数.例如：第10页/共20页 第11页/共20页特别地，在 n 维向量空间 Rn 中取单位坐标向量组 e1 , e2 , , en 为基，则以 x1 , x2 , , xn 为分量的向量 x ，可表示为x = x1e1 + x2e2 + + xnen ,可见向量在基 e1 , e2 , , en 中的坐标就是该向量的分量.因此，e1 , e2 , , en 叫做 Rn 中的.第12页/共20页 设,221212122)(321,a,aaA,243041)(21,bbB验证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 并求 b1 , b2 在这个基下的坐标.第13页/

6、共20页,)()(32312221121132121xxxxxx,a,aa,bb记作 B = AX .要证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 只要证a1 , a2 , a3 线性无关, 即只要证 A E .设 b1 = x11a1 + x21a2 + x31a3 ,b2 = x12a1 + x22a2 + x32a3 , 第14页/共20页242213021241122)(B|A.3/2110013/20103/43/2001对矩阵( A , B ) 施行初等行变换, 若 A 能变为E, 则 a1 , a2 , a3 为 R3 的一个基, 且当 A 变为 E 时,B 变为 X =

7、 A-1B.第15页/共20页.3/2113/23/43/2)()(32121,a,aa,bb因为 A E，所以 a1 , a2 , a3 为 R3 的一个基，且第16页/共20页 在 R3 中取定一个基 a1 , a2 , a3 ，再取一个新基 b1 , b2 , b3 ，设 A = (a1 , a2 , a3) ,B = (b1 , b2 , b3) . 求用 a1 , a2 , a3 表示 b1 , b2 , b3的表示式()，并求向量在两个基中的坐标之间的关系式() .(a1 , a2 , a3) = (e1 , e2 , e3)A，(e1 , e2 , e3) = (a1 , a2 , a3)A-1，故(b1 , b2 , b3) = (e1 , e2 , e3)B= (a1 , a2 , a3)A-1B ,第17页/共20页即基变换公式为(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P ,其中表示式的系数矩阵 P = A-1B 称为从旧基到新基的.设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为y1 , y2 , y3 和 z1 , z2 , z3 ，即,),(,),(3213213