高等数学：02第六章 第2节 定积分在几何上的应用

1、1定积分在几何上的应用第二节一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线弧长四、小结及作业21、直角坐标系情形xyo)(xfy abxx x曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(一、平面图形的面积3xyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12如果图形是由两条曲线围成xxx :微元法微元法为积分变量为积分变量取取x)(1bxa求微元求微元在典型区间在典型区间,)(xxx2dxxfxfdA)()(12积分积分)(34一般地一般地设两条连续曲线)(, )(xfyxfy21与直线)(,babxax所围平面图形面积为A ,则xdxfxfAd)()

2、(21xdxfxfAba)()(21yxo)(xfy1)(xfy2abxdxx 5例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(dxxxdA)(2, 10 xdxxxA)(21010333223xx.312xy 2yx 求面积元素求面积元素上上在典型区间在典型区间,)(dxxx2为积分变量为积分变量取取x)(1积分积分)(36例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2()

3、,0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 7于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x8:图图如果曲线围成的面积如如果曲线围成的面积如xyo)(yx )(yx cd:微元法微元法,)dycy为积分变量为积分变量取取1上求微元上求微元在在,)dyyy2ydyy dyy

4、ydA)()( 积分积分)3dyyyAdc)()( 9例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).,(),(4822 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y,42ydyyydA242.)(182442242dyyydAAxy224 xy22yx 4yx10如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）

5、上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.11例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 12例例5.5. 求由摆线)cos(, )sin(tayttax1)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解解:tdta2022)cos1 (tdta20422sin4令2tu udua42sin8udua042sin162216a4321223

6、a0aydxA 20dttata)cos()cos(1120 xyoa 2136例例图形面积图形面积上所围上所围在在与与求曲线求曲线,sinsin 02xyxyxyo :解解的交点的交点与与求求xyxy2sinsin:有三个有三个),(),(),(023300 3 dxxxA 02sinsindxxx302 )sin(sindxxx 32 )sin(sin 330221221coscoscoscosxxxx25147例例公共部分的面积公共部分的面积所围图形所围图形与与求椭圆求椭圆13132222yxyxxyo:解解求交点求交点13132222yxyx由由得交点坐标为得交点坐标为).,(),()

7、,(),(2323232323232323DCBAABCD1AdxxxA2302213113 1231431AA 333 332152、极坐标系情形系关系：、直角坐标系与极坐标) 1 sincosryrx122 yx1rxyx422xyo4222yx)( cos4r16 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇形，围成一曲边扇形，求其面积求其面积 xo d d ddA221)(曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)( dA2212)、极坐标系下求面积)( r:微元法微元法,)( 为积分变量为积分变量取取1上求面积元素上求面积元素在在,)( d2积分积分)(317例例 8 8 求求双双纽

8、纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积. 解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2214402cos.2axy 222cosa1A18例例 9 9 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a. 解解 dadA22121)cos( 利用对称性知利用对称性知.223a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 01910例例及及求由四条曲线求由四条曲线 cos,cos84rr围成图形的面积围成图形的面积34 ,:解解 cos4

9、rxyx422 cos8rxyx822,34 为积分变量为积分变量取取面积元素面积元素 cos4rxyo cos8r ddA)cos()cos(224821积分积分 dA34224821)cos()cos(633 2011例例.成如图的面积成如图的面积求圆及柏努利双纽线围求圆及柏努利双纽线围 cos2r 232sinrxyo:解解求交点求交点 2322sincosrr由由交点交点).,(),(20623 dA602321sin d262221cos6 21 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫

10、做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积二、体积22一般地，一般地，1)、如果旋转体是由、如果旋转体是由)(xfy 、直线、直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x轴轴旋转一周而成的立体，体积为多少？旋转一周而成的立体，体积为多少？ dxxfdV2)( 旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfdxyVbaba22)( xyoab)(xfy :微元法微元法,)(bxax为积分变量为积分变量取取1上求微元上求微元在在,)(dxxx2xdxx 积分积分)(323yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dx

11、xx ，xo直线直线 方程为方程为OP24以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo25a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a 263例例椭球体积椭球体积轴旋转形成的轴旋转形成的绕绕计算椭圆计算椭圆xbyax12222xyo:解解上半圆方程上半圆方程22xaabyaxax,)( 取积分变量为取积分变量为1aa上求微元上求微元在在,)(dxxx2xd

12、xx dxydV2 dxxaab)(2222 积分积分)(3dxxaabVaa)(2222 234ab :注注Vy轴旋转，轴旋转，、若绕、若绕1ba234 3342aVba 时，时，、当、当27 2) 、 如如 果果 旋旋 转转 体体 是是 由由 连连 续续 曲曲 线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为 xyo)(yx cddyy2)( dcV:微元法微元法,)(dycy为积分变量为积分变量取取1上求微元上求微元在在,)(dyyy2ydyydyydV2)( 积分积分)(3dyy2)( dcV2

13、84例例.,轴旋转的体积轴旋转的体积绕绕所围成的图形所围成的图形求由求由yxyxy022xyo2xy :解解2xy yx dyyVba2)( ydy20 229dxxfxVbay)( 2xyo)(xfy ab:事实上事实上bxax,)(为积分变量为积分变量取取1xdxx dxxxfdV)( 2积分积分)(3dxxfxVbay)( 2求微元求微元）在典型区间）在典型区间（,2dxxx30解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy31绕绕y轴旋

14、转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a :1解法解法32绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积oyxa 2ABC:2解法解法)(xfy dxxfxVay)( 202 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta

15、.633a 33例例 6 6 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积. 解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)()(224343 ,dyy412 dyyV40412 . 643dyPQM347例例轴旋转体的体积轴旋转体的体积和和求下图绕求下图绕yxxyoAB2xy 2y2 xy:解解22xyxy由由),(11A交点交点22yxy由由),(22B交点交点dxxdxxxVx204014242)( )(24832151202dyyVy)( 2352、平行截面面积

16、为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积,)(dxxAdV .)( badxxAV),(xA的面积为的面积为已知一立体的平行截面已知一立体的平行截面:则立体的体积为则立体的体积为xyoabx微元法微元法bxax,)(为积分变量为积分变量取取1dxx)(xA积分积分)(3.)( badxxAV上求微元在,)2(dxxx36例例 8 8 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积. RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx垂直于垂

17、直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)()( 2221xRxA立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2221.tan 332R37例例 9 9 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22xRhyhxA)(立体体积立体体积dxxRhVRR22. hR221 38垂直 轴的截面是椭圆11122222222)()(a

18、xaxczby例例10. . 计算椭球面1222222czbyax所围立体(椭球)的体积 .解解:它的面积为)()(221axbcxA 因此椭球体体积为xdbcax)(221 bc 20abca 34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axxyzaax3911例例与与一平面图形是由抛物线一平面图形是由抛物线22 yx轴所围成，轴所围成，轴、轴、处的法线及处的法线及过点过点yxA),( 13;)( 求此平面图形的面积求此平面图形的面积1:解解xyo23AB22 yxydydx2ydxdy212113yxdxdykA的切线斜率的切线斜率点点处的法线方程处的法线方

19、程曲线在点曲线在点A)(321xy072yx),( 70点坐标为点坐标为B.)(轴旋转体的体积轴旋转体的体积轴及轴及求此平面图形绕求此平面图形绕yx240 xyo23AB),( 703212334072 yx22 yxdxxdxxVx232230227)()( 2105yVdyydyy2102271227)()( 15823dxxA32223) 17(41xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增

20、加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.三、平面曲线弧长42 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx 取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 1、直角坐

21、标情形43解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab44例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 022cossin.4n 45曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22

22、弧长弧长.)()(22dttts 2、参数方程情形46例例 3 3 求求星星形形线线323232ayx )0( a的的全全长长.解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a xyo47例例 4 4 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设椭圆的周长为设椭圆的周长为2s,cos12022dxx

23、a 48 ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos1249曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有连续导数上具有连续导数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 3、极坐标情形50例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin ar的的长长. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23

24、a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 51例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 52求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）四、小结旋转体的体积旋转体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕非轴直线旋转一周绕非轴直线

25、旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积53直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念5427926P习题30,27,25,24,22,20,16),3(15,13,12,1110),1 (8),3)(2(5 , 4 , 3),3)(1 (2),3)(2( 155思考题思考题 闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy 是否一定可求长？是否一定可求长？56思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一

26、定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长57一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xyln 上相应于上相应于83 x的一段弧长为的一段弧长为_；2 2、 渐伸线渐伸线)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相应于上相应于变到变到从从 0t 的一段弧长为的一段弧长为_；3 3、 曲 线曲 线1 r自自43 至至34 一 段 弧 长 为一 段 弧 长 为_ . .二、二、 计算半立方抛物线计算半立方抛物线32)1(32 xy被抛物线被抛物线32xy 截得的一段弧的长度截得的一段弧的长度 . .三、三、 计算星形线计算星形线tax3cos ，tay3

27、sin 的全长的全长 . .练练 习习 题题58四四、 求求心心形形线线)cos1( ar的的全全长长. .五五、 证证明明：曲曲线线xysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆2222 yx的的周周长长. .六六、 在在摆摆线线),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分摆摆线线第第一一拱拱成成3:1的的点点的的坐坐标标. .59练习题答案练习题答案 一、一、1 1、23ln211 ； 2 2、22 a； 3 3、23ln125 . . 二、二、 1)25(9823 . . 三、三、a6. . 四、四、a8. . 六、六、)23,)2332(aa . .60思考题思考题 求

28、求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.61思考题解答思考题解答xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y62一、一、 填空题：填空题：1 1、 连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、 badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3

29、 3、 抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图x形绕形绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体积体积_；练练 习习 题题63二、二、 有一铁铸件，它是由抛物线有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy 11012 xy与直线与直线10 y围成的图形，围成的图形，轴轴绕绕 y旋旋转而成的旋转体，算出它的质量转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘（长度单位是厘米，铁的密度是米，铁的密度是38 . 7厘厘米米克克）. .三、三、 把星形

30、线把星形线323232ayx 轴轴绕绕 x旋转，计算所得旋转旋转，计算所得旋转体的体积体的体积 . .四、四、 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积. .64五、五、 求求222ayx 绕绕)0( abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积 . .六、六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA 2,2ba 2,2, ,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积 . .七、七、 设直线设直线baxy 与直线与直线

31、0 x，1 x及及0 y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba ,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕 y旋转所得体积最小旋转所得体积最小 . .65一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .练习题答案练习题答案66思考题思考题 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及

32、点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.67思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导x68yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy