偏导数与全微分(1)课件

1、1定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一 第三节第三节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数一、偏导数存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx xyxfyxxfx ),(),(lim00000，00yyxxxz .00yyxxxz 或或增增量量x 时时，如如果果极极限限 处对处对x的的偏导数偏导数，记为，记为 2类类似似可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对 y的的偏偏导导数数，为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000偏导函数偏导函数：记为记为，00yyxxyz .00yyxx

2、yz 或或,yzxz .yxzz ，或或2.2.偏导数偏导数的概念可以推广到二元以上函数的概念可以推广到二元以上函数.说明说明：1.1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题. . 3偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,( 00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 曲面被平面曲面被平面0yy 所截所截 得的曲线得的曲线 00),(yyyxfz ，在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对 x 轴轴的的斜斜率率： ),(00yxfx 同同理理，偏偏导导数数),(00yxfy 就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线

3、线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对 y 轴轴的的斜斜率率. 4求求 223yxyxz 在在点点)2 , 1(处处的的偏偏导导数数 解解 xz,32yx yz,23yx ，821 yxxz.721 yxyz例例1 15设设yxz )1, 0( xx， 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 所以原结论成立所以原结论成立例例2 2求证求证 zyzxxzyx2ln1 . 6解解例例3 3.)arctan(偏导数偏导数求求的的zyxu ；zzyxyxzxu21)(1)( ；zzyxyxzyu21)(1)( .)(1)ln

4、()(2zzyxyxyxzu 7设设 223arctan)2(),(yxxyxxyyxf , ,求求)1, 2(yf . . 此题若先求出此题若先求出),(yxfy , ,再代入再代入, ,则麻烦则麻烦. . 解解例例4 4.6)1 , 2( yf，26), 2(yyfy ，32), 2(yyf 8求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义定义求求.解解xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0，0 .0)0 , 0( yf例例5 5同理同理, ,xx 00lim0，设设 0 , 0 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf).0 , 0(

5、 ),0 , 0(yxff 求求9多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,已已经经求求得得，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.10二、全微分二、全微分回顾：回顾：如如果果对对一一元元函函数数),(xfy ,)(0可可微微在在点点则则称称函函数数xxfy , )( xoxAy )0( x)()(00 xfxxfy

6、能表示成能表示成的的微微分分为为并并且且称称函函数数)(xfy ,ddxAxAy 实际上实际上, )(xfA .d)(dxxfy 即即11二元函数的可微性和全微分二元函数的可微性和全微分定义定义二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处的的全全增增量量 ),(),(0000yxfyyxxfz 如果可以表示为如果可以表示为 )0( )( oyBxAz其其中中BA,与与yx ,无无关关, ,22yx , , 则则称称),(yxfz 在在点点),(00yx处处可可微微分分, ,而而 yBxA 称称为为),(yxfz 在在),(00yx处处的的全全微微分分, ,记记为为 zd, ,即即

7、 yBxAz d12如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微微分分，则则函函数数在在该该点点必必有有偏偏导导数数),(),(0000yxfyxfyx ，且且 ),( ),(0000yxfByxfAyx 证证，)( oyBxAz 令令 0 y， 则则| x , xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000同理可得同理可得. ),(00yxfBy xxoxAx |)(|lim0,A 可微可微 可偏导可偏导 定理定理1 1yyzxxzzddd 13.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0(

8、 yxff, )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 注注：可偏导不一定可微：可偏导不一定可微, ,见下面反例见下面反例. . 22220/limyxyxyxxyx 220limxxxxx 21 ，0 所以所以，)()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即),(yxf在在) 0 , 0(处处不不可可微微. . 14如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(00yx可微可微分分, 则函数在该点连续则函数在该点连续. 事实上事实上, )( oyBxAz 若若,0lim0 z 则则),(lim00)0,0(),(yyxxfyx ),(lim000zyxf

9、，),(00yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处连连续续. 即即证明证明可微可微 连续连续 定理定理2 215定理定理3 3 这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分条件，证明从略条件，证明从略. . 上述定理均不可逆上述定理均不可逆. .16多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导17yyzxxzzddd 全微分的计算公式：全微分的计算公式：二元函数的微分法则：二元函数的微分法则：设设),(),(yxvyxu可可微微，则则 ,dd)(d

10、vuvu ,dd)(dvuuvvu )0( dd)(d2 vvvuuvvu18求求22yyxz 的的全全微微分分. . 解解例例6 6，xyxz2 ，yxyz22 .d)2(d2d2 yyxxxyz 所所以以19例例7 7求求221lnyxz 在在)1, 1(处处的的.dz 解解,)1ln(2122yxz yyzxxzzddd ,d1d12222yyxyxyxx . )d(d31d 11yxzyx 所以所以20例例8 8解解,)e1(exyzxyzyzyzyzxu ,)e1(xyzxzyu ,)e1(xyzxyzu 所以所以.)ddd)(e1(dzxyyxzxyzuxyz 21全微分在近似计算

11、中的应用全微分在近似计算中的应用若若函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微微分分，即即 ),(),(0000yxfyyxxfz )0( )(),(),(0000 oyyxfxyxfyx当当|,|yx 充充分分小小时时， yyxfxyxfzzyx),(),(d0000yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(0000000022例例9 9解解,),( yxyxfz 令令, )2, 1(),(00 yx,03. 0 x,02. 0 y,2)2, 1()2, 1(1 yxxyf,0ln)2, 1()2, 1( xxfyy,1)2, 1( f所以所以yfxffyx )2, 1()2, 1()2, 1()97. 0(02. 202. 00)03. 0(21 .9