初中圆类综合试题汇编

1、3圆类综合一.解答题(共30小题)1 .如下图，CD为00的直径，AD、AB、BC别离与。相切于点D、E、C (AD< BC).连接DE并延长与直线BC相交于点P,连接0B.(1)求证：BC=BP：(2)假设DE0B=40,求ADBC的值；(3)在(2)条件下，假设Sam： S威二16： 25,求四边形ABCD的面积.2 .如图，AB是。0的直径，BD是。0的弦，延长BD到点C,使DOBD,连接AC, 过点D作DE_LAC,垂足为E.(1)求证：DE为。0的切线；(2)假设。0的半径为5, ZBAC=60° ,求DE的长.3 .如图，已知AB是。0直径，BC是。0的弦，弦ED_

2、LAB于点F,交BC于点G, 过点C作。0的切线与ED的延长线交于点P.(1)求证：PC=PG；(2)点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，假设点G是BC的中点，试探讨CG、BF、B0三者之间的数量关系，并写出证明进程；(3)在知足(2)的条件下，已知。0的半径为5,假设点0到BC的距离为巫时, 求弦ED的长.4 .如下图，AB是。0的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDLAB于 点D, CD交AE于点F,过C作CGAE交BA的延长线于点G.(1)求证：CG是。的切线.(2)求证：AF=CF.(3)假设NEAB=30° , CF=2,求 GA 的长.D5 .如图，AB是。的

3、直径，延长弦BD到点C,使DOBD,连接AC,过点D作DE ±AC,垂足为E.(1)判定直线DE与。0的位置关系，并证明你的结论；(2)假设。0的半径为6, NBAO60。，延长ED交AB延长线于点F,求阴影部 份的面积.6 .如图，半圆0的直径AB=12cm,射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6° 的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E,设旋转时刻 为 ts （0<t<15）,（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留 叽（2）设点C始终为标的中点，过C作CD_LAB于D, AE交CD、CB别离于G、F, 过F作F

4、CD,过C作圆的切线交FN于N.求证：©CN/7AE；四边形CGF为菱形；是不是存在如此的t值，使BE三CFCB?假设存在，求t值；假设不存在，说 明理由.k7 .已知ABC,别离以AC和BC为直径作半圆01，0：, P是AB的中点，（1）如图1,假设ABC是等腰三角形，且AOBC,在余，标上别离取点E、F,使NACXE=NB0B 那么有结论POEZ/kFO二P,四边形PCkCO2是菱形，请给 出结论的证明；（2）如图2,假设（1）中aABC是任意三角形，其他条件不变，那么（1）中的 两个结论还成立吗？假设成立，请给出证明；（3 ）如图3 ,假设 PC 是。01的切线，求证：AB:=

5、BC:+3AC28 .如图，已知在ABC中，AB=15, AC=20, cotA=2, P是边AB上的一个动点， 0P的半径为定长.当点P与点B重合时，0P恰好与边AC相切；当点P与点B 不重合，且。P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x, MN=y.（1）求。P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的概念域；（3）当AP二,时，试比较NCPN与NA的大小，并说明理由.9 .如下图，在RtZkOBC中，Z0BC=90° ,以0为圆心，0B为半径的。交B0 的延长线于A, BD_LOC于D,交。于E,连接CE并延长交直线AB于P.(1)求证：CE是。的切线.(2)假设CE吗，

6、。的半径为5,求PE的长？10 .如图,AB 是。0 的直径，CB=CD, AC 与 BD 相交于 F, CF=2, FA=4.(1)求证：ABCFAACB.(2)求BC的长.(3)延长AB至E,使BE二B0,连接EC,试判定EC与。0的位置关系，并说明理 由.n.如图，以RtZABC的直角边AB为直径的半圆0,与斜边AC交于D, E是BC 边上的中点，连接DE.(1) DE与半圆0是不是相切？假设相切，请给出证明；假设不相切，请说明理由；(2)假设AD、AB的长是方程X-16x+60=0的两个根，求直角边BC的长.12 .如图，在。0中，直径AB的不同侧有点C和点P.已知BC： CA=4：

7、3,点P 和点C关于AB所在直线对称，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q,且13 .如图，在梯形 ABCD 中，AD/7BC, NB=90° , AD= 13cm, BC= 16cm, CD=5cm.以 AB为直径作圆0,动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动， 动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q别离从A、 C两点同时动身，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动.（1）求。0的半径长.（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时刻t的函数表达式，并求出当四 边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积.（3）是不是存在某一时刻t

8、,使直线PQ与。0相切？假设存在，求出t的值； 假设不存在，请说明理由.14 .已知：如图，AB为。0的直径，C为圆外一点,AC交。0于点D,且BC:=CD-CA, 而二前BE交AC于F,(1)求证：BC为。0切线.(2)判定4BCF形状并证明.(3)已知 BC=15, CD=9,求 tan/ADE 的值.15 .直角梯形 ABCD 中，AB/CD, ZABC=90° , AB = AD 二 10, DC = 4,动圆。0 与 AD 边相切于点M,与AB边相切于点N,过点D作。0的切线DP交边CB于点P.（1）当。与BC相切时（如图1）,求CP的长；（2）当。与BC边没有公共点时，设

9、。的半径为r,求r的取值范围；（3）假设。0'是4CDP的内切圆（如图2）,试问N0D0'的大小是不是改变？ 假设以为不变，请求出N0D0的正切值；假设以为改变，请说明理由.16 .在等腰梯形ABCD中，ADBC, AB=DC,且BC=2.以CD为直径作。0,交AD 于点E,过点E作EFJ_AB于点F.成立如下图的平面直角坐标系，已知A、B两 点坐标别离为A (2, 0)、B (0, 23).(1)求C、D两点的坐标；(2)求证：EF为。0,的切线；(3)将梯形ABCD绕点A旋转180。到AECD，直线CD上是不是存在点P,使 以点P为圆心，PD为半径的。P与直线UD，相切？若

10、是存在，请求出P点坐标； 若是不存在，请说明理由.17 .如图，ABC内接于。0,且AB为。的直径.NACB的平分线交。0于点 D,过点D作。0的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE±CD于点E, 过点B作BF_LCD于点F.(1)求证：DP/7AB;(2)试猜想线段AE, EF, BF之间有何数量关系，并加以证明；(3)假设AC=6, BC=8,求线段PD的长.18 .如图，在半径为2的扇形AOB中，NAOB=90。，点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD±BC, OE±AC,垂足别离为D、E.(1)当BC=1时，求线段0D的长;(2)在aDOE

11、中是不是存在长度维持不变的边？若是存在，请指出并求其长度, 若是不存在，请说明理由；(3)设BD=x, ZDOE的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出它的概念 域.19 .已知：A、B、C三点不在同一直线上.（1）假设点A、B、C均在半径为R的。上，i）如图，当NA=45。，R=1时,求NBOC的度数和BC的长;ii）如图，当NA为锐角时,求证：sinA啜;（2）假设定长线段BC的两个端点别离在NMAN的两边AM、AN （B、C均与A 不重合）滑动，如图，当NMAN=60。，BC=2时，别离作BP±AM, CP±AN, 交点为P，试探讨在整个滑动进程中，P、A两点间的距

12、离是不是维持不变？请 说明理由.国图图20 .如图，ZXABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点P沿BC 向终点C运动，速度为lcm/s,点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s, 假设点P、Q两点同时动身，设它们的运动时刻为x （s）.（I）求x为何值时,PQ±AC； x为何值时，PQ±AB?（2）当OVxV2时，AD是不是能平分APCZD的面积？假设能，说出理由；（3）探讨以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值 范围（不要求写出进程）.21 .已知：RtZiABC 中，AC±BC, CD 为 AB 边上的中线，AC

13、=6cm, BC=8cm：点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点。为圆心、OC为半径的。O交AC于点E, EFLAB于F.（1）求证：EF是。O的切线.（如图1）（2）请分析00与直线AB可能显现的不同位置关系，别离指出线段EF的取值范围.（图2供试探用）图122 .如图1,。中AB是直径，C是。上一点，ZABC=45°,等腰直角三角形DCE中NDCE是直角，点D在线段AC上.(1)证明：B、C、E三点共线；(2)假设M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN川0M；(3)将4DCE绕点C逆时针旋转a (0°<a<90°)后,记为D

14、iCEi (图2),假 设Mi是线段BEi的中点，Ni是线段ADi的中点，是不是成立？假 设是，请证明；假设不是，说明理由.B23 .如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上必然点. 试探如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB, CD之间（包括AB, CD）,其直径MN在 AB ±, MN=8,点P为半圆上一点，设NMOP=a.当。=度时，点P到CD的距离最小，最小值为.探讨一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB, CD之间顺时针旋转该半圆形纸 片，直到不能再转动为止，如图2,取得最大旋转角NBMO=度，现在点N 到CD的距离是.探讨二将如图1中的扇形纸片NOP

15、按下面对a的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M 在AB, CD之间顺时针旋转.（1）如图3,当a=60。时，求在旋转进程中，点P到CD的最小距离，并请指出 旋转角NBMO的最大值；（2）如图4,在扇形纸片MOP旋转进程中，要保证点P能落在直线CD上，请 确信a的取值范围.（参考数据：sin49°=3,cos41。且，tan37°W.）44424 .如图，AB是。的直径，BC切。于点B,连接CO并延长交。于点D、E,连接AD并延长交BC于点F.(1)试判定NCBD与NCEB是不是相等，并证明你的结论；(2)求证：罂黑：BE BC(3)假设BC'AB,求tanNCDF的值

16、.225 .如下图，P是。外一点，PA是。的切线，A是切点，B是。上一点, 且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长B0与切线PA相交于点Q.(1)求证：PB是。的切线；(2)求证：AQPQ=OQBQ：(3)设NAOQ=a,假设cos'1二冬，0Q=15,求 AB 的长.26 .如图1,抛物线y=ax2+ (a+3) x+3 (aWO)与x轴交于点A (4, 0),与y轴 交于点B,在x轴上有一动点E (m, 0) (0<m<4),过点E作x轴的垂线交直 线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM_LAB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设PMN的周长为

17、Ci, ZAEN的周长为C2,假设求m的值； c2 5(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转取得。匕旋转角为a (0°VaV90°),连接EA、E'B,求E，A+2e2的最小值. 327 .如图，抛物线y=ax2 - （2a+l） x+b的图象通过（2,-1）和（2, 7）且 与直线y=kx - 2k - 3相交于点P （m, 2m - 7）.（1）求抛物线的解析式；< 2）求直线y=kx - 2k - 3与抛物线y=ax? - （2a+l） x+b的对称轴的交点Q的坐 标；（3）在y轴上是不是存在点T,使PQT的一边中线等于该边的一半？假设

18、存在, 求出点T的坐标；假设不存在请说明理由.28 .在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c的极点M的坐标为（1, -4）, 且与x轴交于点A,点B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）填空：b=, c=,直线AC的解析式为；（2）直线x4与x轴相交于点H.当t=-3时取得直线AN （如图1）,点D为直线AC下方抛物线上一点，假设 ZCOD=ZMAN,求出现在点D的坐标；当3VtV1时（如图2）,直线x=t与线段AC, AM和抛物线别离相交于点 E, F, P.试证明线段HE, EF, FP总能组成等腰三角形；若是此等腰三角形底角 的余弦值为色，求现在t的值.5图1图229

19、.已知抛物线通过A （ - 3, 0）, B （1, 0）, C（2,互）三点，其对称轴交x轴于点H, 一次函数y=kx+b （kWO）的图象通过点C,与抛物线交于另一点D （点 D在点C的左侧），与抛物线的对称轴交于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,当S"OC=Saeab时,求一次函数的解析式;（3）如图2,设NCEH=a, NEAH邛，当时，直接写出k的取值范围.30 .如图，抛物线y2+bx+c与y轴交于点C （0, -4）,与x轴交于点A、B,且B点的坐标为（2, 0）.（1）求抛物线的解析式；（2）假设点P是AB上的一个动点，过点P作PEAC交BC于点E,连接CP

20、, 求4PCE面积的最大值：（3）在（2）的条件下，假设点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，为4 OMD为等腰三角形时，连接MP、ME,把MPE沿着PE翻折，点M的对应点 为点N,求点N的坐标，并判定点N是不是在抛物线上.姚宇笑3 2017122参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1. （2016郑州校级模拟）如下图，CD为。O的直径，AD、AB、BC别离与。O 相切于点D、E、C （AD<BC）.连接DE并延长与直线BC相交于点P,连接OB.（1）求证：BC=BP；（2）假设DEOB=40,求ADBC的值；（3）在（2）条件下，假设S/.ADE： Sapbe=16： 25,求

21、四边形ABCD的面积.【分析】（1）由于点。是CD的中点，因此要证BC=BP,只要证明OBDP即可;（2） ill DEOB=40能够想到比例式，由题意能够证明DECs20CB,由此得 DEOB=OCDC=40,别勺么 OC=2在，WilEAADOAOCB2（3）易证ades/bpe,依照面积的比等于相似比的平方得吟ade_ad 曲, SAPBE bp2 25那么BC=5, 乂四边形ABCD是梯形，按其面积公式即可求解.【解答】解：（1）证明：连接OE,如以下图，VBC. AB别离与。相切于点C、E, /.ZOCB=ZOEB=90 在 RTAOCB 与 RTAOEB 中，0C二0E （同圆的半

22、径相等）0B=0B （公共边相等）RTAOCBRTAOEB （hl） /.zcob=zeob;同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半*- ZCOB=1.ZCOE=ZCDP,/.DP/OB,又点。是CD的中点，'OB是4CDP的中位线， BC=BP图CD是。0的直径，AZDEC=90又BC与。相切于点c, 二 ZDEC=ZOCB=90°,又 N4=/6AADECAocb, DE DC 二一,OCOBADE>OB=OC>DC=40 . DC=2OCOC2=20, 0C=2近，,又N1=N2, Z3=Z4,/Zl+Z4=90°,乂 Nl+N5=90°

23、,N4=N5/adoAocb AD OD = OC BC/AD>BC=OC>OD=OC2=20即：AD<BC=20(3) VADs BC别离与。相切于点D、C,如图所示，A CD± AD, CD±PC,，ADPB/.adeAbpe.SAxDE_xD2_16SAPBE- bp2 W AD AD 4 二 二,BC"BP"5B|J： ad=Abc=Abp55又 VAD>BC=20/ BC2=25即：BC=5 S 四边形 ABCD> (AD+BC) <2OC2=OC (AD+BP)=2V5eBC 5=2遥 XX55=18a/5

24、即：四边形ABCD的面积为18会【点评】此题考查了圆的切线的性质、相似的性质与判定等知识点，此题的难点是相似的判定与性质的应川，这也是解（2）、（3）两个小题的关键.2.（2016零陵区校级模拟）如图，AB是00的直径，BD是。的弦，延长BD 到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE_LAC,垂足为E.（1）求证：DE为。的切线；（2）假设00的半径为5, ZBAC=60°,求DE的长.E/C B %【分析】（1）连接 0D,依照 0A=0B, CD=BD,得出 0DAC, Z0DE=ZCED,再 依照DE_LAC,即可证出0D_LDE,从而得出答案；（2）结合（1）中的结论，能

25、够证明ABOD是等边三角形，即可求得CD和BD 的长，再依照锐角三角函数即可计算DE的长.【解答】（1）证明：如图，连接0D.VOA=OB, CD=BD,AOD/AC.AZODE=ZCED.乂 ：de_lac,AZCED=90°./ZODE=90°, B|J OD±DE.A DE是。0的切线.（2）解：V0D/7AC, ZBAC=60%AZBOD=ZBAC=60°,ZC=ZODB.乂 ：OB=OD,BOD是等边三角形./.ZC=ZODB=60°,CD=BD=5.VDE1AC,/ DE=CDsin Z C=5 X sin60°=-i.2

26、【点评】此题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线 段垂直平分线的性质和等边三角形的判定，是一道常考题型.3. （2021德阳）如图,已知AB是。O直径，BC是。O的弦，弦ED J_AB于点F, 交BC于点G,过点C作。O的切线与ED的延长线交于点P.（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，假设点G是BC的中点，试探讨 CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明进程；（3）在知足（2）的条件下，已知。O的半径为5,假设点O到BC的距离为遥 时，求弦ED的长.【分析】（1）连结OC,依照切线的性质得OCJ»PC,那么NOCG+NPCG

27、=90°,由 EDJ_AB 得NB+NBGF=90。，而NB=NOCG,因此NPCG=NBGF,依照对顶角相等 得 NBGF=NPGC,于是NPGC=NPCG,因此 PC=PG；（2）连结OG,由点G是BC的中点，依照垂径定理的推论得OG_LBC, BG=CG, 易证得BOGsRt/BGF,那么 BG： BF=BO： BG, BJ BG2=BO>BF,把 BG 用 CG 代换取得CG2=B0BF；（3）解：连结OE, OG=OG=V5,在RSOBG中，利用勾股定理计算出BG=2遥, 再利用BG2=BOBF可计算出BF,从而取得OF=1,在RtZkOEF中,依照勾股定理 计算出E

28、F=2y£,由于AB_LED,依照垂径定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4遥.【解答】（1）证明：连结0C,如图，PC为。的切线，OC_LPC,AZOCG+ZPCG=90°,VED±AB,AZB+ZBGF=90°,VOB=OC,，NB=NOCG,AZPCG=ZBGF,而 NBGF=NPGC,AZPGC=ZPCG,APC=PG；（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BOBF.理由如下:连结0G,如图，点G是BC的中点，/OG1BC, BG=CG,/ZOGB=90°,VZOBG=ZGBF,/. RtABOGRtABGF,/ B

29、G: BF=BO： BG,/ bg2=bo>bf,/.cg2=bo>bf；(3)解：连结OE,如图,111 (2)得 OGJBC,/. 0G=V5»在 RtZXOBG 中，OB=5,bg=VoB2 - OG2由(2)得 BG2=BOBF,，BF=4, 5/OF=1,在 Rt-EF 中，EF=,ue2 _VAB±ED,AEF=DF, ADE=2EF=4V6.【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了垂径 定理和推论、勾股定理和三角形相似的判定与性质.4. (2021恩施州)如下图，AB是。的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点， 过C作CD1

30、AB于点D, CD交AE于点F,过C作CGAE交BA的延长线于点G.(1)求证：CG是。O的切线.(2)求证：AF=CF.(3)假设NEAB=30°, CF=2,求 GA 的长.【分析】(1)连结0C,由C是劣弧AE的中点，依照垂径定理得OC_LAE,而CG AE,因此CGJ_OC,然后依照切线的判定定理即可取得结论；(2)连结AC、BC,依照圆周角定理得NACB=90。，ZB=Z1,而CDJ_AB,那么 ZCDB=90°,依照等角的余角相等取得NB=N2,因此N1=N2,于是取得AF=CF；(3)在RtaADF中，由于NDAF=30°, FA=FC=2,依照含3

31、0度的直角三角形三边 的关系取得DF=1, AD=Jj，再由AFCG,依照平行线分线段成比例取得DA： AG=DF： CF然后把DF=1, AD=6，CF=2代入计算即可.【解答】(1)证明：连结OC,如图，2C是劣弧AE的中点,.OC±AE,VCG/7AE,ACG1OC,ACG是。0的切线；(2)证明：连结AC、BC,VAB是。O的直径，A ZACB=90°,A Z2+ZBCD=90°,而 CD±AB,A ZB+ZBCD=90°,r. ZB=Z2,OC是劣弧AE的中点,A AC=CE,/. Z1=ZB,r.zi=Z2,r.AF=CF；(3)解

32、：在 RtZkADF 中，ZDAF=30°, FA=FC=2,，df=Lxf=i,2AAD=V3DF=V3，AFCG,/.DA： AG=DF： CF,即6： AG=1： 2,AG=2 返.【点评】此题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的 切线.也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定.s. （2021抚顺）如图,AB是。的直径，延长弦BD到点C,使DC=BD,连接 AC,过点D作DE_LAC,垂足为E.（1）判定直线DE与。O的位置关系，并证明你的结论：（2）假设。的半径为6, ZBAC=60°,延长ED交AB延长线于点F,求阴影部【分析】（1）

33、连接OD,依照三角形的中位线得出ODAC,推出OD1,DE,依照 切线的判定推出即可；（2）求出NDOF=60。，ZF=30°,求出DF,依照阴影部份的面积等于三角形ODF 的面积减去扇形DOB的面积，别离求出后代入即可.A Oe/【解答】(1)、尸直线DE与。0的位置关系是相切，证明：连接OD,VAO=BO, BD=DC,AOD/AC,VDE±AC,ADE±OD,VOD为半径,直线DE是。O的切线，即直线DE与。O的位置关系是相切；(2)解：VOD/7AC, ZBAC=60",AZDOB=ZA=60VDE是。O切线，/ZODF=90/ZF=30/ FO

34、=2OD=12,由勾股定理得：DF=6逐，,阴影部份的面积 S=Saodf - S dobX 6 X 63 " 8°： : & T8yT - 6ti.2360【点评】此题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，扇形的面积，三 角形的面积，三角形的中位线等知识点的综合应用.t. (2021常熟市校级二模)如图，半圆O的直径AB=12cm,射线BM从与线段 AB重合的位置起，以每秒6。的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置, BP交半圆于E,设旋转时刻为ts (0VtV15),（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留儿（2）设点C始终为标的

35、中点，过C作CD_LAB于D, AE交CD、CB别离于G、F,过F作FNCD,过C作圆的切线交FN于N.求证：CNAE；四边形CGFN为菱形；是不是存在如此的t值，使BE2=CFCB?假设存在，求t值；假设不存在，说 明理由.【分析】（1）依照弧长计算公式直接求出即可；（2）利用圆周角定理和平行线的判定和弦切角定理得出即可；利用平行四边形的判定和菱形判定得出即可；利用相似三角形的判定得出ACFs/iBCA,再利用等腰三角形的知识得出当 t=10s 时，ZAOC=i-ZAOE=60°,即可得出答案.2【解答】（1）解：射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6。的旋转速度 绕B点按顺时

36、针方向旋转至BP的位置，B一秒P转动的圆心角为12°,.每秒走过的弧长为：上兀父色&cm/s； 1805（2）证明：如下图：点C始终为标的中点，过C作CDJ_AB于D, AE交CD、CB别离于G、F,过F作FNCD,过C作圆的切线交FN于N./ ZACD+ZCAG=ZCGF, ZABC=ZGAC=ZACG,zmca=zabc, a zmca+zacg=zacd+zcag,ACN/7AE；证明：VFN/7CD, CNAE：四边形CGFN是平行四边形，VZGCF=900 - ZACG,ZCFG=ZEFB=90° - ZEBC,VZEBC=ZACD,AZGCF=ZGFC,

37、ACG=GF,平行四边形CGFN为菱形；解：连接EO, CO.存在，理由如下：VZACF=ZACB.NCAF=NCBA,/.acfAbca, AC CFBC ACAC2=BCCF,:当 t=10s 时，ZAOC=izAOE=60°, 2AZBOE=60°,/.AOC, ZBOE都是等边三角形，且现在全等,AC=BE,ABE2=BC>CF-【点评】此题要紧考查了切线的性质定理和圆周角定理、相似三角形的判定、菱 形的判定等知识，依照已知得出角之间等量关系是解决问题的关键.7. （2020常德）已知ABC,别离以AC和BC为直径作半圆Oi, O2, P是AB的 中点，（1）

38、如图1,假设aABC是等腰三角形，且AC=BC,在仄6,而上别离取点E、F, 使NAOiE=NBO2F,那么有结论PO正gFO2P，四边形P01C02是菱形，请 给出结论的证明；（2）如图2,假设（1）中4ABC是任意三角形，其他条件不变，那么（1）中 的两个结论还成立吗？假设成立，请给出证明；（3 ）如图3 ,假设 PC 是。01的切线，求证：【分析】（1）可证明APOi与BP02全等，那么NAOiP=NBO2P，再依照已知 可得出E0i=F02，POi=PO2,那么aPOiE/FO2P,可先证明四边形PO1CO2是平 行四边形，再证明C0i=C02，即可得出四边形PO1CO2是菱形；（2）

39、由已知得出成立，而只是平行四边形；（3）直角三角形 APC 中，设 AP=c, AC=a, PC=b,那么 c2=a2+b2； AB2=4c2=4（a2+b2）, 过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点.那么CD=a, BD=2b. BC2=a2+4b2, 由此得证.【解答】解：（1）VP. 01、02别离为AB、AC、BC的中点，；AP=BP, AOi=BO2, POiXi-BC, POzXXC,22四边形PO1CO2是平行四边形，VAC=BC, /. POi=PO2,四边形P01C02是菱形;(2) 为 AB 中点，AAP=BP,乂 01为AC中点，0iP为aABC的中位线,A0iP=0

40、2B=iBC,同理可得 02P=A0i.AC, 22 A01P四BO2P (sss), /ZAO1P=ZBO2P，又NACkE=NBO2F, / ZAO1P+ZAO1E=ZBO2P+ZBO2F, B|JZPO1E=ZFO2P， XVO1A=O1E=O2P，且 POi二BO2=FO2, /.PO1EAFO2P;但四边形PO1CO2不是菱形；(3) RtZAPC 中，设 AP=c, AC=a, PC=b, /. c2=a2+b2； AB2=4c2=4 (a2+b2),过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点. /CD=a, BD=2b, BC2=a2+4b2,/ BC2+3AC2=a2+4b2+3

41、a2=4 (a2+b2),/.AB2=BC2+3AC2.【点评】此题综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全 等，利用全等的性质解决相关问题是解决此题的关键.8. (2020松江区模拟)如图，已知在4ABC中，AB=15, AC=20, cotA=2, P是 边AB上的一个动点，0P的半径为定长.当点P与点B重合时，OP恰好与边 AC相切；当点P与点B不重合，且。P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x, MN=y.(1)求。P的半径；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的概念域；(3)当AP=W研h试比较NCPN与NA的大小，并说明理由.【分析】（l）作BD_LAC,垂足

42、为点D.那么BD确实是。P的半径.依照已知条 件可求得sinA,即可得出BD,即。P的半径；（2）作PH_LMN,垂足为点H,由垂径定理，得MN=2MH.即可表示出PH,从 而得出y关于x的函数解析式.（3）当AP=6j时，可求出AM、CN.可证出AMPs4PNC,从而得出NCPN 与NA的大小.【解答】解：（1）作BD_LAC,垂足为点DT0P与边AC相切，BD确实是。P的半径.VcotA=2, , sinA=-（ 1 分） 5又。用二牛AB=15'遥.（2 分）（2）作PH±MN,垂足为点H.由垂径定理,得MN=2MH.（1分）而PH*, PM=BD=3遥，（1 分）尸好

43、5.2,即产卷出125-5（2分）概念域为尺<x<15.（1分）（3）当 AP=6Vi时，ZCPN=ZA. （1 分）证明如下：当 AP=W时，PH=6, MH=3, AH=12, ，AM=9. （1 分）VAC=20, MN=6, /CN=5. （1 分）AMMPAMMP 一 9 PN_3V5-35 " 5 ' CN 5 '里（1分） CN又；PM=PN,AZPMN=ZPNM.AZAMP=ZPNC. （1 分） /AMPAPNC. （1 分） ，NCPN=NA.【点评】此题是一道中考压轴题，考查了切线的性质和垂径定理和相似三角形的 判定，难度偏大.9.（

44、2020双流县）如下图，在RtZOBC中，ZOBC=90°,以。为圆心，OB为半 径的。交BO的延长线于A, BD_LOC于D,交。于E,连接CE并延长交直线 AB 于 P.（1）求证：CE是。O的切线.（2）假设CE=,。的半径为5,求PE的长？VE【分析】（1）连接EO, 4EOB为等腰三角形，推出NDOB二NDOE,结合题意推 出CEOgCBO,得OE_LPC,即可推出结论，（2）依照（1）的结论可知BC=CE=2,结合题意能够推出PEOs/ipbc,求得 3里图金，在RSABC中，依照勾股定理即可推出PE的长度.PB BC 4【解答】（1）证明：连接E0,EOB为等腰三角形，

45、.BDJ_OC 于 D,，NDOB=NDOE,aaceoAcbo,VZOBC=90°,，OE_LPC,CE是。的切线.(2)解：VOE±PC, ZOBC=90°,NEOP=NBCP,/peoApbc,VOE=5, BC=EC=型，3.PE EO 3 二二 fPB"BC"4设 PE=3x, PB=4x,解方程得：x (40 - 7x) =0,xi=0 (舍去)XL 40X2，7.PE但.7【点评】此题要紧考查全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键在于求证CEOgZCBO； APEOAPBC,推出pe

46、 a/PB"BC"410. （2020广元）如图，AB是。的直径，CB=CD, AC与BD相交于F, CF=2, FA=4.（1）求证：BCFsACB.（2）求BC的长.（3）延长AB至E,使BE=BO,连接EC,试判定EC与。的位置关系，并说明 理由.【分析】（1）由题意可知，ZD=ZCBD, NA=ND,通过等量代换推出NA=NCBD,即可推出结论，（2）山（1）所推出的结论，推出或萼，结合已知条件，即可CF BC推出BC的长度，（3）连接OC,依照垂径定理，即可推出OC_LBD,然后通过求证巫W,推出BFEC,即得，OC±EC,即可推出结论.AB FA【解答

47、】（1）证明：VCB=CD,ND=NCBD,VZA=ZD,/.ZA=ZCBD,XVZACB=ZBCF,AABCFAACB.(2)解：VABCFAACB, BC AC ， ,CF-BCXVCF=2, FA=4, BC 2+4 1t2 一 BC/. BCi=2V3a£ BCz= - 2/-3 (舍去),/. BC=2 时(3)解：EC与00相切.证明：连接0C,CB二CD,CD 二 CB，0C_LBD,XVBE=B0, AB 是。0 的直径,OB=OA=BE,.BE 1n-，AB 2/CF=2, FA=4,.CF 2 1 n-iz-，FA 4 2 BE CF.而7TBF/EC,OC

48、77;EC,故EC与。O相切.【点评】此题要紧考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂 径定理等知识点，关键在于(1)运用圆周角定理推出NA二NCBD, (2)熟练运 用相似三角形的性质推出对应边成比例的比例式，（3）依照垂径定理，推出0C ±BD,求证BFEC.11. （2020黔南州）如图,以RSABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC 交于D, E是BC边上的中点，连接DE.（1）DE与半圆0是不是相切？假设相切，请给出证明：假设不相切，请说明理 由；（2）假设AD、AB的长是方程x216x+60万的两个根,求直角边BC的长.【分析】（1）连接OD、BD,求出

49、BD±AC, AD=CD,求出DE=BE,推出NEDB=ZEBD. ZODB=ZOBD,推出NODE=90。，依照切线的判定推出即可;（2）求出AD和AB的值，证RtZADBsRtaABC,得出他二求出AC二毁， AD AB3依照勾股定理求出即可.【解答】解：（1）DE与半圆O相切，理由如下:连接OD、BD,VAB是。O的直径，AZBDA=ZBDC=90°,在RtzBDC中，E为BC边上的中点，DE=BE,/ZEBD=ZBDE,VOB=OD,AZOBD=ZODB.ZABC=ZOBD+ZEBD=90/.ZODB+ZEDB=90°,；OD是半径,ADE与半圆O相切;（

50、2） .AD、AB的长是方程x216x+60=0的两个根,解方程得：xi=6, X2=10,VAD<AB,，AD=6, AB=10,:在 RtZiABC 中，BD±AC,/. RtAADBRtAABC,1 AB_AC2 * AD-AB，即 ab2=ad>ac,A（>Ab2=.5Q, AD 3在 RtZiABC 中，AB=10, AC&»,3bc=VaC2 - AB 2=-【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，宜角三角形斜边上中线性质，等 腰三角形性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的应用，要紧考查学生的推理和 计算能力.12. （2020德阳）如

51、图，在。中，直径AB的不同侧有点C和点P.已知BC： CA=4： 3,点P和点C关于AB所在直线对称，过点C作CP的垂线与PB的延长 线交于点Q，且CQ=i£.求。0的半径长.5【分析】依照题意得CP±AB,设垂足为D,由圆周角定理得NACB=90。,设BC=4x, 那么AC=3x,再依照直角三角形的面积公式可得出CD, PC,再由RtAACBRt PCQ可得出x,由勾股定理求出答案即可.【解答】解：点P与点C关于AB对称时，CP±AB,设垂足为D,VAB为。0的直径，AZACB=90°,BC： CA=4： 3,设BC=4x,那么AC=3x,由勾股定理得

52、：AB=5xvl7C>BC=ivB>CD,22ACD=l.x,5.pc/lx,5在 RtAACB 和 RtZXPCQ 中，ZACB=ZPCQ=90°, NCAB=NCPQ, /. RtAACBRtAPCQ. ACLBC 3K _.正而卷1亳解得x=2,，直径 AB=10,00的半径长为5.【点评】此题是一道有关圆的知识的题目，考查了圆周角定理和相似三角形的判 定和性质，是基础知识要熟练把握.13.（2020 秋招远市期末）如图,在梯形 ABCD 中，AD/7BC, ZB=90°, AD=13cm, BC=16cm, CD=5cm.以AB为直径作圆O,动点P沿AD

53、方向从点A开始向点D 以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速 度运动，点P、Q别离从A、C两点同时动身，当其中一点停止时，另一点也随 之停止运动.（1）求。0的半径长.（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时刻t的函数表达式，并求出当四 边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积.（3）是不是存在某一时刻3使直线PQ与。0相切？假设存在，求出t的值；【分析】（1）过点D作DE_LBC于E,那么四边形ABED是矩形，AB=ED,因此求 出DE,就求出了圆的直径.（2）要求四边形PQCD的面积，只需用t表达出CQ和PD.当四边形PQCD为等 腰梯形时，C

54、Q - PD=2CE,即2t-（13 -t） =6,即可求出t的值,从而确信四边 形的面积.（3）先假设存在，构造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，假设方 程有解，那么存在，假设方程无解，那么不存在.【解答】解：（1）过点D作DEJ_BC于E,VAB1BC,，四边形ADEB为矩形,图二ABE=AD=13, EC=3.又；CD=5,，DE刃52 - 32=4,即 AB=4,.*.00的半径为2cm.(2)当 P、Q 运动 t 秒时，AP=t, CQ=2t那么 S 四边形PQCD=y(13 - t+2t) X4,即 y=2t+26 (0WtW8)当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PFJ_

55、BC于F (如图一)，那么有QF=CE=3.A2t - (13 - t) =6,那么tW，现在四边形PQCD面积(cm2),(3)存在.假设PQ与圆相切，设切点为G.(如图二)作 PH_LBC 于 H.TA 在。O 上，ZA=90°,.AD切。0于A,PQ 切。0 于 G,，由切线长定理得:PG=PA=t.QG=QB=16 - 2t, QH=QB - BH= (16 - 2t) - t=16 - 3tPQ=QB+AP=16 - t.在 RtZXPQH 中，PQ2=PH2+QH2,即(16 - t) 2=16+ (16 - 3t) 2At2 - 8t+2=0.解得 ti=4+A/14， t2=4 - VT4»0tW8,当t=4土近“寸，PQ与圆相切.【点评】此题是一个动点问题，解题时要擅长将动点问题转化为静态题.此题是一个大综合题，难度较大，有利于培育同窗们的钻研精神和坚持不懈的意志品质.14. （2007温江区校级模拟）已知：如图，AB为。O的直径，C为圆外一点,AC交。O于点D,且BC2=CDCA,而二面，BE交AC于F,（1）求证：BC为。O切线.（2）判定4BCF形状并证明.（3）已知 BC=15, CD=9,求 tanNADE 的值.【分析】（1）由BC2=CD*CA,依照三角形相似