复合函数的导数(20)课件

1、(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e

2、 ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )(

3、)f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x .%982;%901:,.100801005284:%1.,.3化率所需净化费用的瞬时变时求净化到下纯度为元单位用时所需费化到纯净度为吨水净已知将用不断增加所需净化费纯净度的提高随着水净化的经过通常是日常生活中

4、的饮用水例xxxcx1). 求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数 2).又如我们知道函数又如我们知道函数y=1/x2的导数是的导数是y=- 2/x 3把平方式展开把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导利用导数的四则运算法则求导.是否还有用其它的办法求导呢是否还有用其它的办法求导呢?那么函数那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢的导数又是什么呢?想一想想一想 ?问题问题1:指出下列函数的复合关系指出下列函数的复合关系)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu ua ab bx x)sin,1 12

5、2y yu uu ux xx x解解:log ()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx xy ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx x .),(,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复合函数复合函数 .,xuxuyyxguufyxgfy导数间的关系为的的导数和函数复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即

6、xuuyxy.2333123ln,23ln23ln,xuxuuyyxxuuuyxxyxux即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得的导数对表示xyyx .,sin3;2;3214105. 02均为常数其中求下列函数的导数例xyeyxyx .3232132的复合函数和可以看作函数函数解xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy 232 xu.1284xu .105. 02105. 0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有xuxuyy 105. 0 xeu.05. 005. 0105. 0 xuee .sinsin3的复合函数和可以看作函数函数xuuyxy由复合函

7、数求导法则有xuxuyy sinxu.coscosxu问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数)()1 1n nm my ya ab bx xm mn n1 1) )因因y y = = u u, ,u u = = a a + + b bx x解解:gm-1n-1m-1n-1uxux而y= m u,u= nbx而y= m u,u= nbxg x xu ux x又又y y= = y yu u n n- -1 1n nm m- -1 1x x y y= = n nm mb bx x( (a a + + b bx x ) )问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数)sin()1

8、 12 2y yx xx x u ux x2 2 x xu ux x x x2 21 12 2) )因因 y y= =s si in nu u, , u u = =x x + +x x1 1 而而 y y= =c co os su u, ,u u= =1 1 - -x x 又又 y y= =y yu u1 11 1 y y= = ( (1 1 - -) )c co os s( (x x + +) )x xx x解解:问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数解解:)ln3 33 32 2x xy ye e()3 32 2x xx xe ee e()3 32 23 31 11 12 2

9、3 32 2xyx xx xx xe ee ee exuux又yyyv,3 32 21 11 13 3uux而yyvx xe eu uv v)ln,3 33232因x xyu uv veyu uv ve问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数解解:log ()2 22 223234343xxxxy y),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx xuuuvxuvx1 1y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2vln2vln2log ()()ln()lnx xx xx xx xy yx xx x2 22 22 23 32 22 21 1 3 33 32 23 32 2log ()log()()x xx xx xx xx x2 22 22 23 32 22 22 23 31 1 3 32 23 3.2 2cos(2).cos2sin24.sin2cos2.2 2cos(2)4AyxByxxC yxxDyxsin2cos2yxx函数函数