多元积分知识点小结

1、名师精编 优秀资料多元积分知识点小结与定积分、重积分类似，曲线积分及曲面积分也都是某种和式的极限，并且有类似的性质，他们都是从实际问题中抽象出来而产生的数学概念.由于他们的实际背景有差异，故曲线积分及曲面积分各分成两类：曲线积分分为对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) 和对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)；曲面积分分为对面积的曲面积分(第一类曲面积分)和 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)需要特别指出的是，对于定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面 积分，这五种类型的积分的定义、性质、中值定理及物理应用都是类似的，可以把它们的定义、性质、中值定理及物理应用统一起来.首先约定，集合

2、E的测度的含义是：如果集合 E是实轴上的区间，则 E的测度即为该 区间的长度；如果集合 E是平面上的区域，则 E的测度即为该区域的面积；如果集合E是空间立体，则E的测度即为该立体的体积；等等 .1.定义：设函数f(P)在集合E上有定义，以任意方式把集合E分成n部分Ei，E2，|, En,它们的测度分别记为E1,AE2，|,AEn.在 E 上任取一点 P (i =1,2,|, n),n.作和式£ f(Pi)AEi,记九=na Ei的直径.如果不论集合E如何分法，也不论P在Ei上 i 1-如何取法，极限nlim Z f (P)iEi都存在并且是唯一的，则称函数f (P)在集合E上可积分，

3、并称该极限值为函数f (P)在集合E上的积分，记为 * f (P)dE ,即n* f (P)dE =l”£ f (P)AEi .例如，如果E是实轴上的区间a,b, f (P) = f (x)为一元函数，则上述积分即是定积b分f f (x)dx ;如果E是平面上的区域 D , f (P) = f (x, y)为二元函数，则上述积分即是 a二重积分jjf(x,y)d。；如果E是空间曲面 工，f(P)= f(x,y,z)为三元函数，则D上述积分即是第一类曲面积分 f (x,y,z)dS;等等.2 .性质：上述五种类型的积分的性质是相通的，只要在定积分的各条性质中把bf f (x)dx换成f

4、(P)dE,则定积分的各条性质就成为二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共性.例如，(1) k 为常数，则 Rkf(P)dE =k g f(P)dE ；(2) f f(P)+g(P)dE = * f(P)dE +"P)dE ;(3) £=集合£的测度；(4)如果 E = Ei 2 E2,且 Ei C E2 =0 ,则f(P)dE =、f(P)dE + f f(P)dE;EEiE23 .中值定理：设函数f(P)在集合E上连续，则在E上至少存在一点P 使得L f (P)dE = f (P9 m集合E的测度.b例如，如果P是实轴上的区间a,b, f (P

5、) = f (x)为一元函数，则f f(x)dxa=f代)(b -a),w a,b；如果P是平面上的区域D , f (P) = f (x, y)为二元函数，则Hf(x,y)da =f伐产)m区域D的面积，仁产)w D ；等等. D由于考研大纲规定中值定理的考试范围只有定积分和二重积分，所以三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的中值定理不需要掌握4 .物理应用：第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的功，第二类曲面积分的物理意义是流体沿曲面指定侧的流量.除此之外，二重积分，三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分在物理上的应用主要分为三个方面，分别是转动惯量(惯性矩)、质心和引力.因为这些

6、物理应用都是类似的，所以我们对每个物理应用仅对上述四个积分中的部分积分作 介绍.(1)转动惯量：设质点 P的质量为m,质点P绕直线L转动时，转动半径为r,则转 动惯量(此处不考虑转动惯量的方向)为 I =mr2.设集合E的密度为P(P),在E上任取微元dE ,则dE的质量为P(P)dE .如果dE绕 直线L转动的转动半径为r,则dE绕直线L转动的转动惯量为 dl = r2P(x, y)dE ,从而E绕直线L转动的转动惯量为I = */P(x，y)dE .如果E是平面区域D ,密度为P(x, y),相应的dE =db , (x, y)w d。，D绕x轴、 y轴和原点的转动惯量分别为lx = Hy

7、2P(x,y)d。， ly = Hx2P(x,y)db , Io = 口(x2 + y2)P(x,y)db .DDD如果E是空间区域。，密度为P(x,y,z),相应的dE=dv, (x,y,z)Wdv, C绕x轴、y轴，z轴和原点的转动惯量分别为 22Ix = (y2 z2)：(x,y,z)dv, Q 22、Iy： 111(x z ) ： (x, y, z)dv, Q 22Iz = .(x2 y2)：(x,y,z)dv, Q 222Io = (x y z ) ：(x,y,z)dv.如果E是平面曲线L ,密度为P(x, y),相应的dE=ds, (x, y)wds, L绕x轴、y 轴和原点的转动

8、惯量分别为_2r. _2一._.22.Ix= y P(x,y)ds, Iy = x P(x, y)ds, I。=(x +y )P(x, y)ds.当E是空间曲线时，绕x轴、y轴，z轴和原点的转动惯量与上述类似.如果E是空间曲面 工,密度为P(x,y,z),相应的dE =dS , (x, y, z) w dS ,工绕x轴、 y轴，z轴和原点的转动惯量分别为Ix = (y2 z2)：(x,y,z)dS,Iy = (x2 z2)：(x,y,z)dS, X 22Iz = .(x2 y2)：(x,y,z)dS yI。=(x2 y2 z2)：(x, y,z)dS.£(2)质心：设质点系pFzML

9、r位于某坐标系中相应于u轴的坐标分别为Ui,U2ll,Un,质量分别为 mi,m2,111 ,mi,则该质点系的质心相应于u轴的坐标为m1Ui mhU2u 二m1m2HI mnUnHI mn设集合E的密度为P(P),在E上任取微元dE , dE相应的坐标为u, dE的质量为P(P)dE ,集合E的总质量为t P(P)dE ,则集合E的质心相应于u轴的坐标为-.Eu：(P)dEu 二E ：(P)dE如果E是平面区域D ,密度为P(x, y),相应的dE =d。，则D的质心相应于x轴和y轴的坐标分别为!x：(x, y)dcx 二：(x, y)d。D_ y：(x, y)d二一 Dy 二：(x, y)

10、d:D特别地，当 仪*4)=常数时，上式成为11 xd 二x 二yd 二D此即平面区域D的形心坐标.如果E是空间区域Q ,密度为P(x, y, z),相应的dE =dv ,则Q的质心相应于x轴,y轴和z轴的坐标分别为III x：(x, y,z)dvx "QIII ' (x, y, z)dv Qin y】x, y,z)dvy :-1-1hi P(x, y,z)dvQIII z：?(x, y, z)dv z :-1-1I I I ' (x, y, z)dv Q如果E是平面曲线P(x,y),相应的dE =ds ,则L的质心相应于x轴和y轴的坐标分别为Lx ：(x, y)ds

11、 x 二-：,y 二L : (x,y)dsLy：(x, y)ds J(x,y)ds当E是空间曲线时时，的质心相应于x轴、y轴，z轴的坐标与上述类似.如果E是空间曲面工，密度为P(x, y, z),相应的 dE= dS,则工的质心相应于x轴,y轴和z轴的坐标分别为!：x：(x,y,z)dS x.; (x, y,z)dS £!y：(x,y,z)dSy 二-三一.;(x,y,z)dS £! z;?(x, y, z)dSz 二一-;.：(x, y,z)dS 工(3)引力：万有引力定律一设有两个质点P,P,其质量分别为m, M, p与P的距离 为r,则p与P之间的引力大小为kmMF

12、1r其中k是引力常数.设质点B位于某坐标系中U轴的坐标为Uo,其质量为M .设集合E的密度为P(P), 在E上任取微元dE , dE相应的坐标为u, dE的质量为P(P)dE , dE与8的距离为r,则dE与P0之间的引力为kM P(2P)dE ,其中k是引力常数，该引力在ru轴上的分力为u -u0 kM ：(P)dE-V一，从而集合E与P0之间引力在U轴上的分力大小为r rkM (u -u0)：(P)dE如果质点P0位于xOy平面内，其坐标为(Xo, y°),而E是平面区域D ,密度为P(x, y),相应的dE =d6 , (x, y)edtj ,则D与2之间的引力在x轴和y轴上的分力分别为F =kM(x - x0)；：(x，y) dF1 x22 3/2, yd (x - xo) (y -yo)二 kM/mx?D (x-xo)2 (y-yo)23/2如果质点Po位于空间直角坐标系内，其坐标为(,丫0,4),而E是空间曲面 工，密度为P(x, y, z),相应的dE =dS , (x, y, z) w