第四章 傅里叶变换及应用

1、复习分离变量法：复习分离变量法：2(),0, 0, 0,( , ,0)( , ), ( , ,0)( , ), 0, 0,(0, , )( , , ) 0,0,0,( ,0, )( , , ) 0,0,0.ttxxyytuc uux ay b tuxyxy u xyxyx ay bu ytuayty btux tuxbtx at 求解下列定解问题求解下列定解问题( , , )( ) ( ) ( )0u x y tx x y y t t解：设解：设 2( )( )( )( )( )( )ttxxyyc t tx xy y 2( )( ) 0,0,t tct tt( )( )0,0,xxx xxa

2、( )( )0,0.yyy yyb代入方程，得代入方程，得令令(0)( )0xx a代入边界条件代入边界条件( )( )0,0,(0)( )0.xxx xxaxx a得特征值问题得特征值问题求得特征值和对应的特征函数为求得特征值和对应的特征函数为2,( )sin,1,2, .mmmmm xx xamaa 类似地类似地, , 我们得到我们得到 (0)( )0yy b( )( )0,0,(0)( )0.yyy yybyy b其特征值和对应的特征函数为其特征值和对应的特征函数为2,( )sin,1,2, .nnnnn yy ybnbb 及特征值问题及特征值问题2222mnmnab22( )( )0,

3、mnmnmnttc tt( )cossinmnmnmnmnmnttcctdct记记代入关于代入关于t t的方程的方程上述方程通解为上述方程通解为( , , )( )( )( ),mnmnmnmnux y txx yy tt1111(, )(, )()()( )m nmnm nnmnmuxy tuxy txx yy tt 11(cossin)sinsinmnmnmnmnnmm xn yactbctab,.mnmnmnmnmnmnac a bbd a b于是得到于是得到利用叠加原理利用叠加原理, , 得到定解问题的形式解得到定解问题的形式解其中系数其中系数 下面下面, , 我们利用初始条件确定系数

4、我们利用初始条件确定系数 11( , ,0)( , )sinsinmnnmm xn yu x yx yaab11( , ,0)( , )sinsintmn mnnmm xn yu x yx ybcab由于三角函数系的正交性由于三角函数系的正交性, , 得得 0 0 0 04( , )sinsin,4( , )sinsin,abmnabmnmnm xn yax ydxdyababm xn ybx ydxdyabcab 第四章第四章 傅里叶变换及应用傅里叶变换及应用 傅里叶变换是积分变换的一种，傅里叶变换是积分变换的一种，它可用来求解无界区域上的定解问题。它可用来求解无界区域上的定解问题。 傅里叶

5、变换可以把线性偏微分方傅里叶变换可以把线性偏微分方程变为含有较少变量的线性偏微分方程变为含有较少变量的线性偏微分方程或常微分方程，从而使问题得到简程或常微分方程，从而使问题得到简化化 1ixfefx dx（ ） 1 22ixf xfed（ ） f如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:( )f x如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下：(,) 一一. . 傅立叶变换傅立叶变换反演公式反演公式注1： 在有些参考文献中在有些参考文献中, , 因子被分解因子被分解成成 , , 并且分别含在上述两个式子并且分别含在上述两个式子（1 1）和（）和（2 2）中）中. . 而在式而在式(

6、1)(1)中的函数中的函数 写成写成 ， 从而在式从而在式(2)(2)中函数中函数 写写成成 . . 这些本质上同定义（这些本质上同定义（1 1）（）（2 2）没）没有差别有差别. .121122j xejxej xej xe注2：在三维无界空间中在三维无界空间中, , 若若 是绝对可是绝对可积函数积函数, , 则可定义三重傅里叶变换则可定义三重傅里叶变换 ()(,)( , ) 3xyzjxyzxyzffx y z edxdydz（ ）()31( , , )(,) 4(2 )xyzjxyzxyzxyzf x y zfeddd （ ）( , , )f x y z当然，我们也可以定义傅立叶逆变当然

7、，我们也可以定义傅立叶逆变换换傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质: : 1） 线性性质线性性质 设 f, g 是绝对可积函数， 是任 意复常数，则 , ( )( )ffgf ff g nnf fi f ff fif f（ ），（ ）2） 微分性质微分性质 设 f , 绝对可积函数，则 f df xfif fd3）乘多项式乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则 4）相似性质相似性质 设 f (x) 绝对可积，则 10( ()( )()(),.|f f axf faaa 6） 卷积性质卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令 fg xfxt g t dt ffgff f g 则则5）延迟性质

8、延迟性质 设 f (x) 绝对可积，则 ( ()(),.iyf f xyef fyr 7 7）积分性质）积分性质1()( ),ffdf fi （ ）8 8）频移性质）频移性质00()(),ixf f x ef （ ） 2200,uuxr ttxu xxxr 例例1 1 用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：解：作关于 x 的傅立叶变换, ,ixu x tutu x t edx x 方程可变为 20,|tdututdtut 设二二. . 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用 2,tute 可解得 由于221412 xttfeet 22412 xttfeet 即 22441122 , xxttutfef

9、fett 则从而方程的解 241( , )2stu x txs edst 1,( , )u x tfut 2 141*2xtffet 2 41*2xtet 2 141( )2xtfffet 22( , ),0,0uuf x txr ttxu xx例例 用积分变换法解方程：解： 作关于 的傅立叶变换。设xdxetxututxuxi, x 方程变为 20,|tdututftdtut ,f x tft 22()0,( , ).tttutefed 用常数变易法可解得 22412 xttfeet 而 224401212 (),( , ).()xtxttutfetffedt 则 1,( , )u x tf

10、ut 2214401212 ()( , )()xtxttffetffedt 2141*2xtffet 214012()( , )*()xttfff xedt 2 41*2xtet 24012 ()( , )*()xttf xedt 2()412xtedt 24012() ()( , )xttfdedt 傅立叶变换是一种把分析运算化为代数傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法运算的有效方法, ,但但1.1.傅立叶变换要求原象函数在傅立叶变换要求原象函数在r r上绝对上绝对可积可积. .大部分函数不能作傅立叶变换大部分函数不能作傅立叶变换2.2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有傅立叶变换

11、要求函数在整个数轴上有定义定义, ,研究混合问题时失效研究混合问题时失效. . 积分变换法求解问题的步骤积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做对方程的两边做 傅里叶变换将偏微分方程变傅里叶变换将偏微分方程变为常微分方程为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件对应的定解条件求常微分方程及定解条件的解求常微分方程及定解条件的解对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解问题的解数学物理方程数学物理方程+ +定解条件定解条件解解常微分方程常微分方程+ +定解条件定解条件解解积分变换逆变换如何使用积分

12、变换法求解定解问题：如何使用积分变换法求解定解问题：1)1) 选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程；程；2 2）对部分定解条件取相应的积分变换）对部分定解条件取相应的积分变换, , 导出象函导出象函数方程的定解条件；数方程的定解条件；3 3）解关于象函数的定解问题）解关于象函数的定解问题, , 求出象函数；求出象函数；4 4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解. . , 0傅立叶变换的取值范围是傅立叶变换的取值范围是

13、， 拉普拉斯变换的取值范围是拉普拉斯变换的取值范围是 。需要注意需要注意xxtxuxxutxxuatu),()0 ,(),()0 ,(0,22222),(d)0 ,(d),()0 ,(0),(d),(d2222tuuttuattu解：取变换符氏tabtaatusincos),( ,0)( )ua ( )( , )( )cossinuta ta ta ( )baj)(ef)f(xj)(d0f)f(x例3 用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：,u x tut( )( ),x ( )( ).x ( )( , )( )cossinuta ta ta j2)(2)(jjjjtatatataeeaeeta

14、tatataeeaeejjjjj)(j)(21)()(21d )(d )(21)()(21),(00atxatxaatxatxtxud )(21)()(21atxatxaatxatxj)(ef)f(xj)(d0f)f(x例4 用用傅里叶变换求解波动方程的初值问题傅里叶变换求解波动方程的初值问题：200( , )(,0)|( )|( )ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作关于 x 的傅立叶变换。设,u x tut( )( ),x ( )( ).x ,f x tft于是原方程变为2222,d utautftdt 满足初始条件0,|,tut 0,|tdutdt 222200,|,|

15、ttd utautftdtutdutdt 齐次方程的解齐次方程的解12( , )cossinutca tca t设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为12( , )( )cos( )sinutc ta tc ta t1212( , )( )-sin( )sin( )cos( )cosutc t aa tc t aa tc ta tc ta t令令12( )cos( )sin0c ta tc ta t12( , )( )()sin( )cosutc taa tc t aa t12222212( , )( )sin( )cos( )cos( )sinutc t aa tc t aa tc t aa

16、tc t aa t 则则代入方程代入方程122222122212( )sin( )cos( )cos( )sin( )cos( )sin)( , )c t aa tc t aa tc t aa tc t aa tac ta tc ta tft 得得12( , )( )sin( )cosftc ta tc ta ta12( )cos( )sin0c ta tc ta t12( , )( )sin( , )( )=cosftc ta taftc ta ta 积分上述两式积分上述两式12( , )( )sin( , )( )=cosftc ta tdtaftc ta tdta得到非齐次方程的通解为0( , )cossin1( , )sin()tutca tda tfatda 由初始条件0sin( , )( )cos( )1( ,