极限存在准则两个重要极限17无穷小的比较课件

1、 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限n内容提要内容提要 1. 两个两个极限存在极限存在准则；准则； 2. 两个两个重要极限重要极限。 n教学要求教学要求 1.了解两个极限存在准则（了解两个极限存在准则（夹逼准则夹逼准则和和单调有界单调有界准则准则）；）； 2. 熟练掌握用两个重要极限求极限熟练掌握用两个重要极限求极限 。(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则注：注：上述数列极限存在的准则可以推广到函数上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限的极限注注:上述两个准则上述两个准则称为称为夹逼准

2、则夹逼准则.并且他们的极限是容易求出且相等。并且他们的极限是容易求出且相等。利用夹逼准则求极限关键是构造出数列利用夹逼准则求极限关键是构造出数列nynz和和例例1 求求222111lim().12nnnnn 解解222211,11nnnnnnnn21limlim11nnnnnn , 1 221limlim111nnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得222111lim()1.12nnnnn 又又x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则121,nnxxxx 单调增加单调增加121,nnxxxx 单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM 满足条件满足条件如果数列如果

3、数列 xn二、两个重要极限二、两个重要极限 ( x 取弧度单位取弧度单位 )如图所示如图所示 , 作单位圆作单位圆则圆心角则圆心角AOB=x ， 显然有显然有AODAOBSSSDDAOB扇形扇形 即即xxxtansin 分别除以分别除以 xsin 1.对于对于情形情形,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0 xxx证证:oyxBAx BCxsin ADxtanxxsin21xtan21x21C AB再取倒数再取倒数 , 得得1sincosxxx (1)由于用由于用x-代替代替x时时xcos和和xxsin都不变号都不变号不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有

4、不等式 1sincosxxx 成立。成立。3由于由于1coslim0=xx , 且且11lim0=x , 由夹逼准则由夹逼准则可知可知 , 1sinlim0=xxx . 证毕证毕从而当从而当时时 , 2, 00,2 x2.对于对于的情形的情形 ,02 x 所以当所以当时时 ,02 x （偶函数），（偶函数），0sinlim1xxx ()0sin ( )lim1( )xxx 0 注意：注意：sinlimxxx0limsinxxx解解0limsinxxx01limsinxxx 01sinlimxxx 1 0lim1sinxxx ()0( )lim1sin ( )xxx 例例 1 求求 30sin3

5、3lim3xxx 3 ()0sin ( )lim1( )xxx 0sin1limcosxxxx 1 0sin3limxxx例例2 求求0sin3limxxx0tanlimxxx例例3 求求解解解解0tanlimxxx0sinlimsinxaxaaxbxbbx ab 0sinlimsinxaxaxbxbx00sinlimsinlimaxbxaxaaxbxbbx ab ()0sin ( )lim1( )xxx 0sinlim( ,0)sinxaxa bbx 例例4 求求解解0sinlimsinxaxbx解解当当 n时时 , 因此因此例例5limsinnnn , 有有0n limsinnnn sin

6、limnnn 1 ()0sin ( )lim1( )xxx 0sinlimnnn 例例6 021coslim12xxx 2022sin2lim12xxx 220sin2lim2xxx 20sin2lim2xxx 21 1 ()0sin ( )lim1( )xxx 解解021coslim12xxx 20sin2lim2xxx 21sin(1)1. lim1xxx 21sin(1)lim1xxx 221sin(1)lim(1)1xxxx 练习练习解解2 0arcsinlimxxx解解 令令 0arcsin2. limxxx0limsinttt 1 arcsin xt sinxt .00tx则则14

7、.limsinxxx解解0limcotxxx0coslimsinxxxx 0limcossinxxxx 1 03.limcotxxx解解1limsinxxx101sinlim1xxx 1 证明略证明略 (用两个准则证明用两个准则证明)。1(2)lim 1xxex ( )( )1lim1( )xxex 例例1 3lim 1xxx 331lim13xxx解解3lim 1xxx 3e 331lim 13xxx解法一解法一 令令tx =- 则当则当 x 时时 有有 t 所以所以例例 2 求求431lim 1xxx 4() 31lim 1ttt431lim 1xxx 31lim 1tt41.lim1tt

8、t 341e 4e 4()311lim(1)(1)tttt 41lim 1xxx 31lim 1xx41lim1xxx 31lim 1xx431lim 1xxx 解法二解法二4e ( )( )1lim1( )xxex 4311lim(1)(1)xxxx 解解 令令tx=1 当当0 x时时 有有 t 所以所以例例 3 10lim 1xxx 1lim 1ttt 10lim 1xxx e 10lim 1xxxe 1lim 1xxex( )( )1lim1( )xxex 1( )( )0lim 1( )xxxe 1)1(3)互倒互倒)1()2( 注意：注意： 1lim 1,xxxe01lim 1xxe

9、x5cot01.lim(1tan );xxx 解解5cot0lim(1tan )xxx 15tantan0lim (1tan )xxx 5e 3.lim() ;1xxxx 解解1lim()xxxx lim()1xxxx 11lim(1) xxx 1e 1( )( )0lim 1( )xxxe 22.lim(1) ;xxx 解解2lim(1)xxx 222lim(1)xxx exxx )()()(11lim 2e 练习练习小结小结二、两个重要极限二、两个重要极限重要极限一重要极限一 : 0sinlim1xxx 重要极限二重要极限二 ：()0sin ( )lim1( )xxx 10lim 1xxx

10、e 1lim 1xxex( )( )1lim1( )xxex 1( )( )0lim 1( )xxxe (1)1 (3)互倒互倒)1()2( 0( )0夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .一、两个准则一、两个准则作作 业业 P56习题习题1-6 1(1)(3)(5) 2 (1)(2)(3)第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较n内容提要内容提要无穷小量的比较。无穷小量的比较。n教学要求教学要求熟练掌握无穷小的熟练掌握无穷小的比较比较、等价无穷小量的、等价无穷小量的性质性质以及一些常见的以及一些常见的等价无穷小等价无穷小。由无穷小的性质可知由无穷小的性质可知 , 两个无穷小的和、差、

11、积两个无穷小的和、差、积仍为无穷小仍为无穷小 , 但两个无穷小的商会出现不同的情况但两个无穷小的商会出现不同的情况 。如如:当当0 x时时 ,函数函数 x2 , xsin 都是无穷小。都是无穷小。但是但是0= =21=,2x20(1)lim2xxx0lim2xx 202(2)limxxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210 由此可见由此可见 , 无穷小虽然都是以无穷小虽然都是以0 为为极限的变量极限的变量, 但它们趋向但它们趋向0的速度不一样的速度不一样 , 趋向趋向0的的“快快”、 “慢慢”程度程度 , 我们引我们引入无穷小的入无穷小的“阶阶”的概念。的概念。为了为了 反映无

12、穷小反映无穷小lim0,kC 定义定义.lim0, 若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,( )o lim, 若若若若若若lim1, 若若lim0,C 或或设设, 是自变量同一变化过程中的是自变量同一变化过程中的无穷小无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作 例如例如 03lim30 xxx )0(x)3(3 xox1sinlim0 xxx )0(xsinxx1 x与与12 x同阶无穷小同阶无穷小) 1(x02lim0

13、xx)2(ox )0(x11lim21 xxx11lim1 xx21 可以证明可以证明 :当当0 x时时 , 有下列等价无穷小：有下列等价无穷小：xxsinxxtanxex1 xx)1ln( 22xcos1x 利用等价无穷小可以简化某些极限利用等价无穷小可以简化某些极限的运算的运算 , , 有下面定理：有下面定理：xarctanxarcsinxx定理定理1.( )o定理定理2 设当设当0 xx 时时 , )()(xx ,)()(xx 且且)()(lim0 xxxx 存在存在 ( ( 或或 ) ) , , )()(lim0 xxxx 则则)()(lim0 xxxx 证明证明 因因)()(lim0

14、 xxxx )()(lim0 xxxx ( 证毕证毕 )()(xx )()(xx )()(xx lim0 xx )()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx 23lim0 xxx例例1 求求2tan3sinlim0 xxx23 2 2 .tg xxsin3 3 ,xx,0时时当当x0 0lim30 xxlim30 xxxx这种解法是错误的！这种解法是错误的！tan.xxsin,xx30tansinlimxxxx 解解正确的解法如下正确的解法如下.sinlimxxx limxxx sinlimxxx sin()limxxx 1 正确的解法如下正确的解法如下.

15、30sintanlim 2xxxx 求求 例例,0时时当当 x. sin 不是无穷小不是无穷小 是无穷小，而是无穷小，而 时时， x xx cos21lim0 xxcos2lim320. . xxxxxcos)cos1(sinlim30 xxxxxsintanlim30 xxxx301sinlim(sin )cosxxxxx12 解解注意：注意：用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或分母的因式，而对分子或分母中分母的因式，而对分子或分母中“+”，而对分，而对分子或分母中子或分母中“+”，部分不能分别作替换。，部分不能分别作替换。30sintanlimxxxx 求求21cos,2xx ,0时时当当