2021版高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)学案新人教A版必修5

1、2.1数列的概念与简单表示法(一)学习目标1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的 任意一项.3.对于比拟简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式.匚知退榇理自主学习 知识点一数列的概念1 数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第 2项， ，排在第 n位的数称为这个数列的第 n项.2.数列的表示方式数列的一般形式可以写成 a1, a2,，an,，简记为 边3 .数列中的项的性质：(1) 确定性；(2)可重复

2、性；(3)有序性.思考1数列的项和它的项数是否相同？答案 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f ( n)中的n.思考2数列1, 2, 3, 4, 5,数列5, 3, 2, 4, 1与1 , 2, 3, 4, 5有什么区别？ 答案 数列1 , 2, 3, 4, 5和数列5, 3, 2 , 4 , 1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序 不同，而集合1 , 2 , 3 , 4 , 5与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集 合中的元素具有无序性.知识点二

3、数列的分类(1) 根据数列的项数可以将数列分为两类： 有穷数列一一项数有限的数列. 无穷数列一一项数无限的数列.根据数列的每一项随序号变化的情况分类： 递增数列一一从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列: 递减数列一一从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列: 常数列一一各项相等的数列; 摆动数列一一从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.(3)根据其他原那么，还可将数列分为有(无)数列、周期数列等.思考判断正误(1) 数列1, 2, 3, 4,，2n是无穷数列()2由所有的自然数构成的数列均为递增数列答案1 X 2 X解析1中的数列是有穷数列，共有2n个数. 中

4、“由自然数构成的数列是否递增，取决于这些自然数排列的顺序，未必全是递增的，如2, 1, 3, 4, 5并不是递增数列.知识点三数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个 数列的通项公式.思考1数列的通项公式有什么作用？ 答案1可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；2可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列，还可以知道这个数列是递增减数列、摆动数列，还是常数列；3可以判断一个数是不是数列中的项.思考2数列an的通项公式an =- 58+ 16nn2,那么A. an是递增数列B. an是递减数列C. an先增后减，有最大值D. an

5、先减后增，有最小值题型一数列的概念与分类例11以下四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是A.1B. sinny，sin2nV，sin3nVc. 1,1 1 12， 4， 8,D. 1,2,3，21(3 a) x 3,设函数 f(x) = ax-6, x>7,X w 7,数列an满足an = f(n), n N*,且数列an是递增99A. (4, 3) B . 4, 3) C . (1 , 3) D . (2 , 3)答案C (2)D解析(1)中，A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，应选 C.中，结合函数的单调性，要证an递增，那么应有3 a>0,a>1,a7=( 3

6、a)x 7 3<a8= a8 6,解得2<a<3，选D.反思与感悟(1)有穷数列与无穷数列： 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,数列是有限项还是无限项假设数列含有限项，那么是有穷数列，否那么为无穷数列. 数列的单调性：假设满足 an<an+1,那么是递增数列；假设满足 an>an+1,那么是递减数列;只需观察假设满足an= an+1,那么是常数列；假设 an与an+1跟踪训练1 以下数列：(1)2 000,2 004,2 008 , 2 012 ;12n 1(2)0 , 2, .3,n ,；111(3)1 , 2,4，,2n-， ；(4)1 ，2 3(1) n

7、1 n3, 5,2n 1n n(5)1 , 0,1, sin 2，；(6)3 , 3,3, 3,3, 3.其中有穷数列是的大小不确定时，那么是摆动数列.，无穷数列是，递增数列是,递减数列是常数列是,摆动数列是.(将正确答案的序号填在横线上 )答案(1) (6)(3)(4)(5)(1) (2)(5)题型二观察法写数列的一个通项公式 例2根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.2468(1) 3,石，35, 63,;解(1)分子均为偶数，分母分别为1X 3, 3X 5, 5X 7, 7 X 9,是两个相邻奇数的乘积.故an=2n(2n- 1)( 2n+ 1)2 将分母统一成2，那么数列变为2,

8、4, 9, 126, 25,，其各项的分子为n2, an=号. 该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an= ( - 1)n n.2 n(4) 由9, 99, 999, 9 999，的通项公式可知，所求通项公式为an = -(10 1).反思与感悟 (1)用观察归纳法写出一个数列的通项公式，表达了由特殊到一般的思维规律, 具体可参考以下几个思路： 先统一项的结构，如都化成分数、根式等. 分析这一结构中变化的局部与不变的局部，探索变化局部的规律与对应序号间的关系式. 对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(1)k或(1)k+1处理符号. 对于周期数列可以考虑拆成几

9、个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决.(2) 熟记一些根本数列的通项公式，如: 数列1, 1, 1, 1，的通项公式是an= ( 1)n. 数列1,2,3,4，的通项公式是an= n. 数列1,3,5,7,的通项公式是an= 2n1. 数列2, 4,6,8，的通项公式是an= 2n. 数列1, 2,4,8，的通项公式是an= 2n1.数列1, 4, 9,16,的通项公式是2an= n.跟踪训练2 数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.(1) 1 , 3, 7, 15, 31,；(2) 4 , 44, 444, 4 444，；12314，39， 5136,45725， 936,41_42

10、(4)2， 5,2,11，7,4.17，；(5)1 , 2, 1 , 2, 1, 2,解答案不唯一.(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2, 4, 8, 16, 32,，新数列的通项为 2n，故原数列的通项公式为 an= 2n 1.9 各项乘4，变为9, 99, 999，各项加上1后，数列变为10, 100, 1 000,，新数列(3) 所给数列有这样几个特点： 符号正、负相间； 整数局部构成奇数列； 分母为从2开始的自然数的平方； 分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可.由所给的几项可得数列的通项公式为：nnan= (- 1)( 2n - 1)+( n+ 1)2,所以( 1)c

11、3只2/n2n + 3n + n 1 z2.(n+ 1)(4) 数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4,数列变为4, 5, 8, £,再把4各分母分别加上1，数列又变为3,34X( 1)3n 1(5) an = 2+ ( i)n 2或者可写成分段函数形式:题型三通项公式的应用1, n为奇数，n N ,2, n为偶数，n N*.数列an的通项公式为1an= n (n+ 2)(n N*)，那么(1)计算a3 + a4的值;1120是不是该数列中的项？假设是，应为第几项？假设不是，说明理由如1解(1) - an= n (n + 2)，1 1 1 1-a3=岚=15, a4= 4X6 =

12、 24，1 a3+ a4=亦 +丄2413面. 假设120为数列an中的项，那么1n (n+2)1120，反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项少与它的位置序号 n之间的关系，只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.假设方程解为正整数，那么是数列的一项；假设方程无解或解不是正整数，那么不是该数列的一项.跟踪训练3 数列an的通项公式为 a匸一n2 + n+ 110.(1)20是不是an中的一项？当n取何值时，an = 0?2解(1)令 an=- n +n+ 110=

13、 20,即 nn 90= 0,.(n + 9)( n 10) = 0, n= 10或一9(舍). 20是数列an中的一项，且为数列an中的第10项.2令 an= n + n+110 = 0,即 n n 110 = 0,(n11)( n+ 10) = 0,n= 11 或 n= 10(舍)，当 n= 11 时，an= 0.津堂检测自査自纠1 以下数列的关系是()(1)1 , 4, 9, 16, 25; (2)25 , 16, 9, 4, 1 ; (3)9 , 4, 1 , 16 , 25.A. 都是同一个数列B. 都不相同C. (1),是同一数列D. (2) , (3)是同一数列答案 B解析 三个

14、数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同.2以下数列中，是有穷数列的是()11111(1)1 , 1 , 1 , 1,；(2)6 , 5 , 4 , 3,；(3) 10 , 8 , 6 , 4 , 2 (勺2 , 2 , 2, 2.A. (2) , (3) B . (2) , (3) , (4)C. (1) , (2),， D .，(4)答案 D解析(1) , (2)是无穷数列，(3) , (4)是有穷数列.A.递增数列B .递减数列C.常数列 D .摆动数列答案 A解析 / an+ 1 an= 1>0,. an为递增数列.4数列i, 5，15,24的一个通项公式是2A.a

15、n= ( 1)n + n2n+ 1B.an = ( 1)n2+ 32n 1C.an =( 1)2(n+ 1) 12n 1D.an = ( 1)n (n+ 2)2n+ 1答案 D解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母是3, 5, 7, 9,可表示为2n+ 1，分子可调整,，、弋十nn n + 2为 1X 3, 2X 4, 3x 5, 4X 6,故通项 an= 12n+ 5 数列 1, .''3, .'5, ：7,，、：'2n 1,，那么 3,5是它的A.第28项B .第24项C.第23项D .第22项 答案 C解析 数列的通项公式为 an= ；'2 n

16、1.令：2n 1 = 3 ;'5,a n= 23.6.数列an的前4项分别为2, 0, 2, 0,，那么以下各式不可以作为数列an的通项公式的一项为哪一项n +1n nA. an = 1 + ( 1)B .an= 2sin22,n为奇数C. an= 1 cos n nD .an =0,n为偶数答案 Bn n解析 将n= 1, 2, 3, 4代入各选择项，验证得an= 2sin 三不能作为通项公式.1.与集合中元素的性质相比拟，数列中的项也有三个性质:(1) 确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.(2) 可重复性：数列中的数可以重复.(3) 有序性：一个数列不仅与构成数列的“数有关，而且与这些“数的排列次序也有关.2 观察法写通项公式的考前须知据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几