6-4基础不等式

1、第6模块第4节知能演练一、选择题1 “a= 1 ”是“对任意正数x,2x+ 1 ”的a()a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分又不必要条件解析：当时，2兀+纟=力+丄$2迈(当且仅当x = ¥时取等号)所以a=l>2x + -xx上jcml(x>0). 为2x + -l(x>0)的充分条件.反过来，对任意正数x,当a = 2时，2x + -l恒成立，所以2x += 1.故为非必要条件.故选a.x答案：a2. 下列结论正确的是a. 当兀>0且兀h1时，lgx+古$2b.b. 当x22时，x+|的最小值为2jid.当0<xw2

2、时，x£无最大值当且仅当五诗,即x=1时，等号成立.答案：b3. 函数歹=log2x+log.r(2.r)的值域是()a. (8，1c. -1,3b. 3, +8)d. (一8, -1u3, +8)解析：y = log2x + logi(2x) = 1 + (log2x + logv2),如果 x> 1,则 log?* + logy2 2 2,如果 0v兀<1,贝» log2x + log(2w - 2,函数的值域为(-8, -1u3, +8),故选d.答案：d4. 设 a=sinl5°+cosl5o, b=sinl7°+cosl7°

3、;,则下列各式正确的是a2+b2a. a<2 <b-,a+b2c. a<b<() a2 + h2b. b<2<a_, a2+ b2c. h<a<解析：a =*/5sin60。=芈>1,=*/2sin620,于是 b>q,淘汰 b、d,故选c.答案：d二、填空题x25. 函数丿=占肓(xho)的最大值为,此吋x的值为了n解析:尹='+ 9 = = 6,当且仅当，=孑，即x =时取等号.1-6答6. 某公司租地建仓库，每月土地占川费必与仓库到车站的距离成反比，而每刀库存货物的运费乃与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓

4、库，这两项费用力和 力分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处.解析：设仓库建在离车站d千米处， 由已知yi =2 =得k =20, “i=乎，44力=8 =他10,得 k2 =.*.2 =申，5+力弓+ %2谓¥=8, 当且仅当乎二半，即 =5时，费用之和最小.答案：5三、解答题7. 求两数尹=x(q2x)(x>0,。为人于2x的常数)的最大值；解：(1) vx>0 a>2x,1一 1 2x + (a _ 2x) 2 / y = x(a - 2x) = /x 2x(a - 2x)w/x y =瓦2 当且仅当x希时取等号，故函数的最

5、大值为务.(2) vx>- h x+l>0,设 x + 1 = z>0,贝'x = z - 1(z + 4)(z + 1) z2 + 5z + 44v = z + _ + 5丿zzz225 = 9当且仅当z = 2艮卩兀=1时上式取等号.*.x = 1时，函数y有最小值9,无最大值.8. 歯数.心)对一切实数x, y均有.心+尹)一心)=(x+2_y+l)x成立，且x1)=o.求夬0)；求.心)；(3) 不等式jxy>ax5当0<x<2吋恒成立，求a的取值范围.解：(1)令兀=1, y = 0,得夬1 +0) -/0) = (1+2x0+1)1 =2

6、, ./(0) =/(1) - 2 = -2.(2)令厂0,./(兀 + 0) -/0) = (x + 2x0 + l)x = x2+x,= / + x _ 2.(3f(x)>ax - 5 化为 j + 兀-2>ax - 5,ax<x2 + x + 3, vxe(0,2),x2 + x + 33 a<= 1 + x + 一.xx3当 xe(0,2)3寸，l+x +二21+2萌，x当且仅当x =即x = y(3时取等号，x由压（0,2）,得（1+兀+弓罰=1+2萌,/.(7<1 + 2y3.高考模拟预测1.(2009九江模拟)函数x)=x2-2x+x12x+1,xe

7、（0?3），则a.心）有最人值7b.心）有最小值一1c.几丫）有最大值1d. ./u）有最小值1解析：xw（0,3）,-1丘（一 1,2）,.-.（x-1）2e0,4）,./w =（x_i）2+4tp_i d 詁=2-1 = 1.当且仅当（x_ 1）=匕_ ）2,且xw（0,3）,即兀=2时取等号，当"2时,函数加:）有最小值1.答案：d2. （2009天津高考）设qo, b>0.若书是3“与3的等比中项，贝的最小值为0 1（）a. 8b. 4c. 1d.|解析:由题意有3灯=（羽）2 = 3, .a +方=1.* + + =（* + *）（0 + ）= 2+号+彳$4, 等号

8、当且仅当<7 = /?=*时成立，故选b.答案：b3. （2009重庆高考）已知g>0, b>0,贝i£+*+2倔的最小值是（）a. 2b. 22c. 4d. 5解析：* + * +.等号当且仅当 a = b 且 = 7，即 a = b = 1 时成立.故选c.答案：c4. （2009-江西高考）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”， 封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”.下图四个平面区域（阴影部 分）的周率从左到右依次记为刁，r2, t3, %,贝i下列关系中正确的为a. ti>t4>t3c t4>t2&g

9、t;t3b- wnfd ty>t4>t解析：第1个区域：先补成一个长方形，设长为宽为b,则周率为第2个区域：设大圆半径为2,则=7t.周率为第3个区域：将原图补成一个正三角形，设边长为q,则周率为肓=3.第4个区域：设此区域的外接圆半径为则其中大的正 abc的边长为萌几 周率为也券国=2羽，故选c.答案：c5. （2009-广东六校联考）某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是 半圆形，屮间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能 大，试问如何设计矩形的长和宽?解：设中间矩形区域的长，宽分别为xm, pm, 中间的矩形区域面积为s,则半

10、圆的周长为罗，因为操场周长为400,所以" + 2x号= 400,2x + 7iy = 400(0<x<200,0<pv竽)11 2x + 7uv ? s =心=-(2x)-() 2-(厂)-=200007v2x = 7ry 由l+。x= 100，解得200v=x= 100当且仅当v200时等号成立，y =r 7i即把矩形的长和宽分别设计为100 m和型 m时，矩形区域面积最大. 7t备选精题6. 已知：x,尹都是正实数，且x+y3xy+5 = 0f求xy的最小值.求兀+尹的戢小值.ft?： (1)由 x+ y 3xy + 5 = 0 得 x +尹+ 5 = 3xy.2yxy + 5 wx + y + 5 = 3xy.3xy - 2y/xy - 520,+ 1 )(3-7- 5)20,.、用即等号成立的条件是x=y.525此时x=y = y故号的最小值是厂解法一：由 x+y+5 = 3xy3-(£|2)2= l(x+y):扌(x +