传递函数模型

1、应用时间序列分析应用时间序列分析第六章第六章 传递函数模型传递函数模型2本章要点和要求本章要点和要求 本章从简单的例子出发，定义了传递函数模型的形式，本章从简单的例子出发，定义了传递函数模型的形式，研究了传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，以研究了传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，以及传递函数模型的稳定性。之后讨论传递函数模型的识别、及传递函数模型的稳定性。之后讨论传递函数模型的识别、估计和诊断校验，并用实例循序渐进说明建模的过程。作为估计和诊断校验，并用实例循序渐进说明建模的过程。作为传递函数模型的特例在本章的最后一节讨论了干预变量模型传递函数模型的特例在本章的最后一节讨论

2、了干预变量模型的理论和建模过程。的理论和建模过程。 要求学生掌握有关传递函数模型的理论、脉冲响应函数要求学生掌握有关传递函数模型的理论、脉冲响应函数与互相关函数的关系和传递函数建模过程。与互相关函数的关系和传递函数建模过程。3第一节第一节 模型简介模型简介我们研究具有一个或多个输入变量的单输出的线性系统.动态系统输入xt输出yt随机干扰at4一、模型的形式一、模型的形式( )( )( )( )btttB BBYXaE BB其中 01( )ssBBB1( )1rrE BBB 1( )1qqBBB 1( )1ppBBB （B）、E(B)、(B)和(B)为B的多项式，其阶数依次为s、r、q及p，称b

3、为延迟参数。at是随机干扰项，独立同正态分布。( )( )bB BE B称为传递函数。 5多变量输入传递函数模型的一般形式1( )( )( )( )bjkjttjtjjB BByXaE BB本节仅讨论单变量传递函数模型。6二、传递函数的性质二、传递函数的性质设传递函数为( )( )( )bB BV BE B （9.5） 由于V(B)是有理函数，从理论上讲V(B)是B的无穷高阶的多项式，可以表达为2012( )V BBB称vi(i=1，2，)为脉冲相应函数。 72101201(1)()()rsbrsBBBBBBB 21012(1)()rrBBBB101()bbs bsBBB根据（9.5）式，有8

4、112111210,1,2,jjjrj rj bjjrj rjbvvvjb bbbsvvvjbs有如下结论：010bvv前b个脉冲函数值为零，即1121tjjrj rj bvvvv当j=b，b+1，b+s时，脉冲函数vt由确定，这时的脉冲响应函数无固定形式；由待定系数法，可得91121jjjrj rvvv12,b s rb s rb sv 当jb+s，有 这恰好是一个r阶的差分方程，可见当jb+s时的脉冲响应函数vj是该方程的解，所以当jb+s+1脉冲响应函数呈指数衰减，r个初始响应函数为10三、常见的传递函数的形式三、常见的传递函数的形式 为了加深对脉冲响应函数的理解，我们来讨论几个常见的传

5、递函数的情形。（一） r=0的情形230123()bb sbb sBBBv BvB01()sbsBB B11表表91 r=0情形的脉冲响应函数表情形的脉冲响应函数表( , , )b r s传递函数脉冲响应函数（2，0，0）（2，0，1）（2，0，2）220120BBB01020 230123()BBB201()B B0102031 23401234()BBBB22012()BBB0102031 42 12（二）r=1的情形 在这个情况下，当s=0时，从 开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=1时，从 开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=2时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减。231012301(1)()

6、()b sb ssbsBBBBvBBB Bb1b13表表92 r=1情形的脉冲响应函数表情形的脉冲响应函数表（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1）（2，1，2）20121(1)BBB201()B B2301231(1)BBBB22012()BBB01020211v 0102031 21v 3 12v通常在实务中r和s很少超过2。14四、传递函数的稳定性四、传递函数的稳定性特征方程110rrr 的根在单位圆之内，这时此系统称为稳定系统，这个条件相当于ARMA序列平稳的条件。110ppp 的根在单位圆之内。 模型残差部分为平稳时间序列。 特征方程15第二节第二节 传递函数模型的识别传递函

7、数模型的识别 ARMA模型的识别工具是自相关和偏自相关函数，这些相关函数均是同一个变量在两个不同时刻的相关，这是因为ARMA模型涉及的是单变量问题，而传递函数模型是多元的时间序列分析，模型的识别会同时涉及到互相关和自相关问题，因为自相关在前面的章节已经讨论，所以这里只讨论互相关的问题。16一、互协方差函数和互相关函数一、互协方差函数和互相关函数 给定二时间序列xt和yt，t=0,1, 2,且均为一元平稳时间序列，如果不是平稳的时间序列，总可以通过适当的差分，转化为平稳的时间序列。称cov( ,)()()()tstxsyxyx yE xyst为互协方差函数。称()()( ,)()txsytsxy

8、xyE xyx yst 为互相关函数，记为CCF。 （一）互相关函数（一）互相关函数17n 注：特别值得注意的是互相关函数不仅与时间间隔有关，而且不对称，如（9.9）和（9.10）式所示。()()( ,)()txt sytt sxyxyE xyx ys ()()( ,)( )txt sytt sxyxyE xyx ys （9.9）（9.10）18互相关系数与方向有关互相关系数与方向有关(,)()tt syxy xst syt syt sxtxt sxty(,)( )tt syxy xs图图9-3 互相关函数示意图互相关函数示意图19（二）样本互相关函数（二）样本互相关函数 由于总体的互相关函数

9、是未知的，通常需要用一个跨度为N的样本来估计总体互相关函数，假设(X1，Y1)，(X2，Y2)，(XN，YN)如果Xt和Yt是非平稳的，那么我们总可以经过d阶差分将其转换为平稳的时间序列，不妨记差分后的序列为(x1，y1)，(x2，y2)，(xN，yN)。样本的互协方差函数为111()()0,1,2,( )1()()0,1,2,N ktt ktxyN ktt kt kxxyykNkyyxxkN （9.11）20( ) ( )0, 1,2,xyxyxykkkS S样本的互相关系数为（9.12） 在实际中，为了获得互相关函数有统计意义的估计，样本容量要求为50对观测值，为了了解其计算的原理，下面模

10、拟一个二变量的时间序列。给出计算的过程，以进一步了解互相关函数的计算。, x, y,xSyS其中 分别是两个序列的均值和标准差。21ttxtytxxtyy【例【例9.1】 用表9-3中模拟的序列，计算互相关系数。111 70-12710-42396-2-241271-15148306131022计算两个序列的均值分别为11和8，标准差分别为2.38和1.53。225111(1)()()6xytttxxyy10 2( 4) ( 2)( 2) ( 1)1 03 26 1162.66765111( 1)()()6xytttyyxx1( 4) (1)( 2)2 1 ( 2)3 ( 1)2 06 1(

11、13)2.1676 互协方差函数为：互协方差函数为：23(1)2.667(1)0.7322.38 1.53xyxyxyS S( 1)2.167( 1)0.5952.38 1.53xyxyxyS S 互相关函数 从计算的结果可以看出互相关系数是不相等的，即互相关系数与间隔的方向有关。24 【例【例9.2】本例的数据来源于Box与Jenkins合著时间序列分析预测与控制序列M。序列M是1970年销售额与销售额的领先指标共150对数据，图9-1是领先指标的数据图，图9-2是销售额指标的数据图，图9-3是利用SAS8.2计算的原始数据分别做一阶差分后的数据和的互相关函数。25xt91011121314

12、time0102030405060708090100110120130140150tx图图9-4 领先指标领先指标的数据图的数据图26yt190200210220230240250260270time0102030405060708090100110120130140150图图9-5 销售额的数据图销售额的数据图27 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

13、-7 0.00094366 0.00208 | . | . | -7 0.00094366 0.00208 | . | . | -6 -0.048176 -.10622 | . -6 -0.048176 -.10622 | .* * *| . | . | -5 0.030690 0.06766 | . | -5 0.030690 0.06766 | . |* * . | . | -4 -0.013401 -.02955 | . -4 -0.013401 -.02955 | . * *| . | . | -3 0.024782 0.05464 | . | -3 0.024782 0.05464

14、| . |* * . | . | -2 -0.026508 -.05844 | . -2 -0.026508 -.05844 | . * *| . | . | -1 0.043985 0.09698 | . | -1 0.043985 0.09698 | . |* * *. |. | 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 1 0.032168 0.07092 | . | 1 0.032168 0.07092 | . |* * . | . | 2 -0.172487 -.38029 | 2 -0.172487

15、-.38029 | * * * * * * * * *| . | . | 3 0.326598 0.72007 | . | 3 0.326598 0.72007 | . |* * * * * * * * * * * * * * * | | 4 0.047392 0.10449 | . | 4 0.047392 0.10449 | . |* * *. |. | 5 0.049176 0.10842 | . | 5 0.049176 0.10842 | . |* * *. |. | 6 0.019792 0.04364 | . | 6 0.019792 0.04364 | . |* * . | .

16、 | 7 0.064040 0.14119 | . | 7 0.064040 0.14119 | . |* * * * | |. marks two standard errors. marks two standard errorstxty的的 互相关函数图互相关函数图图图9-69-6 28txty “.”标志相关系数两倍标准差处，可以看出当滞后期数k1时，互相关函数显著为零，接着滞后期数k2和k=3时的互相关函数分别为-0.38029和0.72007，从统计的角度显著不为零，说明 的滞后2期和3期对 显著性影响。29（三）互相关函数与传递函数的关系（三）互相关函数与传递函数的关系 互相关函

17、数是识别传递函数模型的工具，脉冲响应函数是传递函数模型的关键，因为一旦脉冲相应函数确定，那么传递函数模型就随之而确定。下面讨论互相关函数和脉冲响应函数的关系。假设Yt的模型为2012( )tttttYV B XaBBXa容易得到（9.13）式， 01( )( )(1)(0)xxyxxkxykkkv （9.13）0, 1, 2,k 30 从（9.13）式可以看出互相关函数明显地受输入序列Xt的自相关函数和脉冲响应函数的影响，如果能从（9.13）式中解出脉冲响应函数，那么模型的传递函数就得到了。然而（9.13）式的未知参数有无穷项，直接求解是不可能的，但是如果输入时间序列Xt是白噪声序列，问题则大

18、为不同了，这时（9.13）式的右边除了 项之外，其余的项均为零，则（9.13）式简化为(0)kxv( )xxykykv( )ykxyxk （9.14）（9.15）或31二、模型的初步识别二、模型的初步识别 （一）预白化过程 如前所述，如果输入的时间序列是白噪声，则可以得到如（9.15）式那样简单的脉冲响应函数与互相关函数的关系式，为了达到这个目的，分别对Xt和Yt做如下预白化处理，使输入的序列是白噪声序列。预白化过程如下：设传递函数为( )tttYB Xa假定输入序列Xt是一个平稳序列，其适应的模型为( )( )ttB XB ( )( )ttBXB（9.16）32 如果我们把(B)/(B)看成

19、一个滤波器，也对Yt进行滤波。得( )( )ttBYB （9.17）( )tttYB Xa( ) ( )( )tttBB XaB( )( ) ( )( )( )ttBBBaBB( )( )( )ttBBaB将代入（9.17）式，则33( )( )ttBaB( )tttB a( )kvk令 则 不难得到（9.18）34( )k22( )k 可见预白化处理后，输入的数据转化为一个带有Xt信息的白噪声序列t，当分别计算出样本的统计量 脉冲响应函数的初估计就得到了。（9.18）式还给我们另一个信息，脉冲响应函数和互相关函数成比例，比值为 这说明脉冲响应函数和互相关函数有相同的模式，同大同小，且符号相同

20、，由此我们可以用互相关函数来识别传递函数的阶数。35 例【9.3】继续利用例【9.2】的数据计算预白化后的序列和的互相关函数。 (1 0.4492 )ttxB(1 0.4492 )ttxB0.2793Stx(1 0.4492 )ttYB1.9480Sty 通过识别，差分后的序列 服从一阶移动平均模型，建立模型为：预白化变换后的标准差 。对 施加同样的变换，得预白化数据的标准差 36互相关函数 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -7 -0.0013061 -.00240 | . | . |

21、-6 -0.034684 -.06374 | . *| . | -5 0.013016 0.02392 | . | . | -4 0.0012583 0.00231 | . | . | -3 0.022045 0.04051 | . |* . | -2 0.0054125 0.00995 | . | . | -1 0.051478 0.09460 | . |*. | 0 0.034232 0.06291 | . |* . | 1 0.043060 0.07913 | . |*. | 2 0.010062 0.01849 | . | . | 3 0.367442 0.67523 | . |* |

22、 4 0.246112 0.45227 | . |* | 5 0.185447 0.34079 | . |* | 6 0.140160 0.25757 | . |* | 7 0.145861 0.26804 | . |* | 8 0.107803 0.19811 | . |* | 9 0.094235 0.17317 | . |* | 10 0.053115 0.09761 | . |*. | 11 0.078822 0.14485 | . |* | 12 0.038038 0.06990 | . |* . |. marks two standard errors图9-7 预白化变量序列t和t

23、的互相关函数图37 预白化变量序列和的互相关函数第一个显著不为零的为 ，即滞后期是3时， 0.67523。图9-6和图9-7的图形略有不同，这是因为图9-6是 和 的互相关图，而图9-7是 和 被预白化后序列的t和t的互相关图。进一步根据（9.18）可以计算出模型的脉冲相应函数，以 k=-7为例，计算脉冲相应函数(3)(3)tytxtxty71.9480( 7)( 0.0024)0.01670.2793v 38表表9-4 互协方差、互相关和脉冲响应函数的计算表互协方差、互相关和脉冲响应函数的计算表滞后期（滞后期（k）互协方差函数互协方差函数互相关函数互相关函数脉冲响应函数脉冲响应函数-7-0.

24、00131-0.0024-0.01674-6-0.03468-0.06374-0.44456-50.0130160.023920.166832-40.0012580.002310.016111-30.0220450.040510.28254-20.0054130.009950.069397-10.0514780.09460.65979500.0342320.062910.43877110.043060.079130.55189820.0100620.018490.1289630.3674420.675234.70944540.2461120.452273.15439350.1854470.34

25、0792.37686760.140160.257571.79644270.1458610.268041.86946680.1078030.198111.38173490.0942350.173171.207788100.0531150.097610.680789110.0788220.144851.010268120.0380380.06990.48752339图图9-8 脉冲响应函数数据图脉冲响应函数数据图40 将表9-4的脉冲相应函数在直角坐标系中画出，如图9-8，将图9-8和图9-7相比较，可以看出脉冲响应函数和互相关函数几乎具有相同的模式，这就从非常直观的角度说明，我们完全可以依据互相

26、关函数来判定传递函数分子和分母多项式的阶数r和s以及延迟参数b。41（二）传递函数模型的识别和估计（二）传递函数模型的识别和估计 1、根据传递函数的性质可得如下的判定s、r和的方法 由由（9.6）式的第一式可知脉冲相应函数的前面个为零，即 根据根据（9.6）式第三式 可知 1121jjjrj rvvvv当jb+s时，脉冲响应函数vj是r阶差分方程的解。所以如果jb+s时脉冲响应函数表现出r阶差分方程的模式，则r就等于差分方程的阶数；如vj表现出r阶差分方程的模式，那么这种模式从 才开始，则 。 1kbs 0110b1skb42 如果如果脉冲响应函数vj不呈现任何模式，则r=0，那么101()b

27、bb ssBBB230123()b sb sBBBvB 根据待定系数方法，则s为显著非零的vj的个数减1。这是因为从上式可以看出，左边的为零的vj有b个，显著不为零的vj从vb到vb+s，共(b+s)-b+1=s+1，所以s为显著非零的vj个数减1。432、传递函数部分参数估计的矩估计、传递函数部分参数估计的矩估计 当r、b和s被识别，对Xt和Yt进行预白化处理后，得（9.18）式 ,将22( ),k代入（9.18）式，得脉冲响应函数的估计( )kvk(9.19）将kv代入（9.6）式，得4401121122,1,2,jjj brj rj bjjrj rjbvvvjb bbbsvvvjbs（9

28、.20） i(1)ir j(1)js根据（9.20）式解出传递函数部分的参数的初估计. 至于初步估计的 和 结果是否适宜，可以通过检验来得到，检验的方法在后面介绍。453、噪声部分的识别与估计、噪声部分的识别与估计 根据已有的假定模型 ( )tttYB Xu则 ( )( )btttB BuYXE B估计传递函数部分之后，计算残差序列 ( )( )btttB BuYXE B 把残差序列看成随机干扰项的一段样本，然后识别残差序列是否是ARMA模式，其ARMA模型的阶p和q等于多少。根据以上的识别结果，已经对整个模型的结构有了比较完整的了解，则可以对整个模型进行估计了。46 例【9.5】 继续例【9

29、.2】，判定传递函数的阶数r，s和b。 从图9.6可以看出，预白化变量序列t和t的互相关函数第一个显著不为零的为r(3)，r(3)=0.67523，所以延迟参数为b=3。从开始 ，脉冲响应函数快速衰减到零，则s=0，r=1。初步传递函数的模型为 14ksb 301(1)tttBYXuB47第三节第三节 传递函数的拟合与检验传递函数的拟合与检验 一、模型的估计一、模型的估计 根据前面一节的识别过程，通过对系统脉冲响应函数的矩估计，已经对系统的传递函数部分的阶数(r，s，b)和随机干扰项的阶数（p，q）进行了初步识别，用 ， ， 和 分别表示（），（），E(B)和（）的系数向量，它们是待估计的参数

30、向量，根据传递函数的模型 ( )( )( )( )btttB BbYXaE Bb可以改写模型为 ( )( )( )( )( )( )btttbB BbaYXbE Bb （9.21）48( ,)(1,2,)ttx ytNtat ( , , ,)taa 在给定样本序列 的条件下，求得样本的残差序列 ，且 是未知参数的函数，即使 21( , , ,)( , , ,)NttSa , ,211 ( , , ,)NqattaN 达到极小的 就是参数的最小二乘估计，而的方差的估计量。49 例【9.6】续例【9.2】对模型进行估计 （1）首先对模型的传递函数部分 301(1)tttBYXuB进行估计，得 34

31、.6874(1 0.726 )tttBYXuB50参数估计相应的统计量为：01参数名估计值估计量的标准差 t统计量 p值4.687410.0780860.03.00010.726000.0070209103.41.0001 从t检验的结果可以知道0和1在统计上是显著不为零的，即传递函数部分的模型显著。51Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 1.00000 | |*| 0 1 -.31447 | *| . | 0.083045 2 0.07467 | . |* . | 0.090888 3

32、0.00882 | . | . | 0.091310 4 -.03802 | . *| . | 0.091315 5 0.15943 | . |*. | 0.091425 6 0.02877 | . |* . | 0.093322 7 -.07483 | . *| . | 0.093383 8 0.08285 | . |* . | 0.093796 9 -.10321 | . *| . | 0.094299 10 0.13444 | . |*. | 0.095075 11 -.00392 | . | . | 0.096377 12 -.00336 | . | . | 0.096379 . ma

33、rks two standard error图图9-9 传递函数部分残差传递函数部分残差ut的自相关图的自相关图 （2）识别传递函数部分模型的残差序列遵从的模型，从残差序列ut的自相关图可以知道，其自相关函数一阶结尾，如图9-9，则初步识别ut是一阶移动平均模型。52 （3）根据（2）的结果，得传递函数模型的初步形状3011(1)(1)tttBYXB aB估计整个模型，得 34.71987(1 0.32534 )(1 0.72496 )tttBYXB aB或 34.71987(1 0.32534 )(1 0.72496 )(1)tttBBYXaBB53101参数名估计值估计量的标准差t值P值0

34、.325340.080004.070.0014.719870.0700167.41.00010.724960.0053377135.82.0001 从t统计量可以看出 ， 和 在统计上显著不为零，即传递函数模型显著。该系统可以解释为输入变量Xt 通过 10134.71987(1 0.72496 )BB对输出变量 Yt产生影响，随机干扰项通过 (1 0.32534 )(1)BB叠加到系统上，广告费对产品销售有滞后3期的影响。54二、模型的检验二、模型的检验 在系统被识别和估计之后，还需要鉴定模型的可信程度，这就需要检验。检验的内容有两种 : 其一是整个传递函数模型的是否欠拟合； 其二是残差序列与

35、Xt派生的预白化序列是否互相关。（一）残差序列自相关检验 整个传递函数模型包括传递函数部分和随机干扰部分，传递函数模型是否欠拟合，即整个模型是否欠拟合。如果欠拟合，则残差序列表现出自相关，如果模型是适应的，则无序列相关。 55 检验的假设为残差序列不存在自相关，检验的统计量为：1221(2)()( ) ()KakQm mmkkKpq（9.22）其中：p和q是干扰模式的参数个数，K一般取得足够大。 max( ,)ur sb20()pKpqQ20()pKpqQ 如果检验的P值 时，Q0为由样本计算出的统计量值，则接受无序列相关的假设，模型是适合的；否则当 模型有序列相关，需要修正改进。，其中56（

36、二）残差序列互相关检验因为传递函数模型为( )( )( )( )btttB BBYXaE BB可以改写为( )( )( )( )( )( )btttBB BBYXaBE BB( )( )( )( )btttBB BYaBE B（9.23）57 从计量经济的经典假定看，输入序列Xt与 Xt的派生序列t应该与随机干扰项相互无关，所以检验它们是否存在互相关是必要的。检验的统计量为1220(2)()( ) (1 (1)KakSm mmkkKrs （9.24） 其中r+s+1是传递函数部分的参数个数，对于给定显著性水平 ，如果，如果20()pKpqS 其中S0为由样本计算出的统计量值，则接受无序列相关的

37、假设，模型是适应的；否则模型存在输入变量与残差序列互相关，需要修正改进。 58 【例9.6】续【例9.5】，对模型进行残差自相关和输入变量与残差序列的互相关检验。( )k表表9-5 自相关函数自相关函数表表滞后期k 自相关函数16-0.004 0.0920.0420.0280.1870.075712-0.035 0.060-0.0450.1280.031-0.0151318-0.059 0.028-0.0200.064-0.0980.06718240.070-0.0120.022-0.081-0.0770.08259 根据模型的结构b=3，r=1和 s=0，再有模型做了一阶差分，则max( ,

38、)3ur sb所以有效的样本容量为 14930146mnup 根据（9.22）式，分别计算K6，12，18和24统计量，如K=6 时，222222146(1462)0.0920.0420.0280.1870.075( 0.004)146 114621463146414651466Q 7.88560 计算的结果列在表9-5，可以看出该模型的残差不存在自相关。表表9-5 残差自相关检验统计量表残差自相关检验统计量表K自由度 统计量P值657.8850.163121111.7520.383181715.5590.555242319.8770.649261( )ak表表9-6 变量变量输入变量与残差的

39、互相关函数滞后期k变量变量输入变量与的互相关函数的互相关函数050.0040.106-0.1280.053-0.0530.1976110.0140.0050.0430.0650.0200.09412170.018-0.019-0.016-0.0300.0830.0451823-0.1280.1030.0300.064-0.0450.11262根据（9.24）式 120(2)()( )KakSm mmkk计算K=5 时的统计量值5120146(1462)()( )akSmkk146(1462)2222220.0040.106-0.1280.053-0.0530.197146146-1146214

40、631464146510.93563表表9-7 残差互相关检验统计量表残差互相关检验统计量表2K自由度统计量P值5410.9350.027111013.4020.202171615.1880.511232223.1780.392 从计算的结果可以看出，不能拒绝残差与输入变量无互相关的假设，故认为残差与输入变量显著无关。当模型的诊断检验确定模型是适宜的，则进而可以利用模型进行结构分析和预测了。64第四节第四节 干预模型干预模型 时间序列常受诸如节假日、罢工、促销和其他政策变化之类的外部事件的影响，我们称这类外部事件为干预。由于外部事件的干预使时间序列呈现出一些异常，如果不对这些异常值进行处理，直

41、接对观测值建模，其模型会缺乏代表性，不处理异常值的模型既不能代表发生干预以前的数据，也不能代表干预发生以后的数据。那么如何处理这些由于外部事件的干预所产生的异常值，从而使模型有更好的拟合优度呢？一种比较直观和常见的处理方法是在模型中引入一个仅仅取0和1的变量，用以评估外部事件的发生对经济变量的影响，这种变量称为干预变量，相应的分析通常称为干预分析。本节讨论干预发生时间已知的情形，通常干预变量分析也用来分析时间序列是否有异常值发生。65二、干预变量的类型和组合 实际上干预模型就是在模型中引入干预变量，下面我们引入干预变量形状。 （一）简单的干预变量 有两种最简单的干预变量是阶跃函数和脉冲函数。当

42、外部事件在T时刻发生后，一直对经济变量有影响，这种干预可用阶跃函数（9.25）式表示，图9-10是阶跃函数的图形。66TtS 01TttTStTt1T（9.25）图图9-10 阶跃函数阶跃函数67 10TttTPtT( )TtPt1T 另一种干预在时刻T，仅对该时刻有影响，马上会快速回到干预没有发生前的情形，这种干预变量用脉冲函数（9.26）式表示，图9-11是脉冲函数的图形。（9.26）图图9-11 脉冲函数脉冲函数68（二）常见的干预变量的形状（二）常见的干预变量的形状 有许多可能的阶跃和脉冲干预变量的结构，常见的列举如下。 69 0TbtB S（9.27）-4-2024681020304

43、05060708090100Z3(39)3(1 0.35)tttZB SBa图图9-12 随机模拟序列随机模拟序列1、突然发生持续时间长久的干预影响变量的结构为70 1bTtBSB-4-2024681012102030405060708090100Y(39)31 0.65tttBYSaB 2、缓慢发生持续时间长久的干预影响结构为 （9.28）图图9-13 随机模拟序列随机模拟序列713、突然发生持续时间短暂的干预影响结构为 TbtB P-4-202468102030405060708090100Z2(39)5(1 0.45 )tttZB PB a（9.29）图图9-14 随机模拟序列随机模拟序

44、列72 1bTtBPB-20246810102030405060708090100Y(39)51 0.8tttBYPaB4、缓慢发生持续时间短暂的干预影响结构为（9.30）图图9-15 随机模拟序列随机模拟序列73 在估计干预变量模型时，我们可以根据系统数据输出的特点，考虑干预变量有如何的结构。在较复杂的情况时，还可以将上面的四种情况组合起来。模仿传递函数的模型，一个干预模型有如下形式： 1( )( )( )( )jjbkjtttjjB BBycIaBB（9.31） 其中 为干预变量 或 ， 是在整个时间序列中时刻 发生了干预。限于篇幅，本节仅仅讨论干预发生的时间是已知的情形。 jtI jtt

45、S jttP (1,2, )jtjkjt74三、实例分析三、实例分析 SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。2002年底到2003年8月期间SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，图9-10的数据是1997年1月到2003年8月到北京的海外旅游人数资料。我们以该数据为例说明干预变量模型的应用。 从表9-8可以发现，在2003年2月和4月以后，序列发生了很大的变化。究其原因，非典流行影响了到北京的海外旅游人数。75表表9-8 1997年年1月到月到2003年年8月到北京的海外旅游人数月到北京的海外旅游人数 单位：万人单位：万人年1月 2月 3月 4月 5月 6月

46、 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26

47、.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.276表表9-10 残差自相关检验结果表残差自相关检验结果表2滞后期 统计量自由度P值65.5630.13531211.3090.25591814.11150.51732421.01210.4582 表9-10给出了模型残差自相关检验，从检验的结果可以看出，残差无自关，模型是适应的。277图图9-16 1997年年1月到月到2003年年8月到北京海外旅游人数曲线图月到北京海外旅游人数曲线图78 从图9-16中的趋势线可以看出在T=74期（2003年2月）时有一个大幅度的下降，这是突发事件对经济变量的影响，为此引入干预变量07417