第五讲高分辨率格式初步

1、第五讲 高分辨率格式初步一目的为什么那么重视高分辨率格式？是为了提高捕获激波和间断面的质量。对于光滑流动，无论是中心差分格式，还是矢通量分裂格式，其结果都是令人满意的，彼此之间无优劣之分。对于含激波这样强间断的流动，格式的优劣就显现出来了。中心差分是频散格式，求解过程中，激波前后会产生强烈的数值振荡。加入人工粘性，能够抑制数值振荡但是过大的耗散使激波变得很宽（5个网格点左右），从而降低了激波的分辩率。矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的数值振荡，但由于精度较低（一阶）、耗散较大使得激波的梯度被抹平，激波宽度仍然较大（3个网格点左右）。与中心差分格式不同，矢通量分裂格式属于迎风格式，与后

2、面要讲的高分辩率格式属同类，它为什么分辩率不高呢？解释如下：迁移方程 （11-1）令 （11-2）式中， ， （11-3）结合式（11-2），（11-3），式（11-1）成为： （11-4）迎风格式（与矢通量格式相当）为 （11-5）经过整理，可将迎风格式写成如下形式， （11-6）从上式可见，当时，二阶耗散消失了，这时差分格式会得到非物理解。实际上的点在实际流动中就是音速点。一维Euler方程扰动传播速度为和（这里表示音速）而音速点恰恰是激波区不可避免的！二预备知识（一）激波管（黎曼问题）状态L初始状态（）膈膜状态R初始条件为：膈膜左侧：，当膈膜右侧：，当假定：，而膈膜破裂之后，将会发生什么

3、？膈膜的初始位置膨胀波接触间断激波流动状态（）5接触间断：，压力（Pa）熵/Rgas速度 （m/s）流量 （Kg/m2s）马赫数M密度 （Kg/m3）激波管内流场情况（膈膜破裂之后6.1msec）初始条件为：，1区：设，根据Rankine-Hugoniot条件（简称R-H条件）有：2区根据间断面的定义，可得而满足下列关系式：可用牛顿迭代法从上式中求出，于是区和区的气流状态完全确定。3膨胀波扫过的区域设膈膜位置为，膈膜破裂时间点为。则根据Riemann不变量的规律。沿特征线（），有常数沿特征线（），有常数沿特征线（），等熵，有常数可得：可见，当膈膜破裂之后，激波管内气流参数完全由膈膜两侧的状态参

4、数所决定，当然考察的位置和时间也是决定因素。（二）Riemann问题的理论分析1对于一维问题，非线性守恒方程系统： （11-7a） （11-7b）古典解：如果方程（11-7a）的解U连续且U的一阶偏导数分段连续，则称U为古典解。弱解：对于方程（11-7a），如果它的解U为间断的不连续函数，则称其为弱解（也可称为广义解）。弱解满足下列条件：1）解U在所有连续点满足初始条件（11-7b）；2）在解U的光滑处，方程（11-7a）局部成立；3）在解U的间断处满足Rankine-Hugoniot条件 （11-8）式中，C为间断面的移动速度；下标“R”表示间断面右侧变量，“L”表示左侧变量。也可写成：式中

5、，表示函数f在间断左右的跳跃。2Riemann（黎曼）问题：对于Euler方程： （11-9）式中 如果初始条件为：当之后，由初始间断的左右状态确定波态、波的强度和波之间的流动特性的问题称为Riemann问题。3间断面的分类：1）弱间断：参数连续，而参数的导数不连续，例如膨胀波（稀疏波）；2）强间断：参数不连续（产生间断），例如激波和接触间断。激波：满足R-H条件的间断；接触间断：流体不穿过波面，即满足：， 即，间断前后压力和速度不变，只有密度发生跳跃可以证明，Riemann问题的解是由一个向左移动的波，一个处于中间的接触间断和一个向右移动的波构成，向左向右移动的波或为激波、或为膨胀波（稀疏波

6、）。三个波之间的参数呈定常状态。显然，之后，Riemann问题的解只由初始间断的左右状态、所确定，所以Riemann解可写成：上标表示Riemann解。三Godunov格式（一）Godunov格式的基本原理Godunov格式的基本原理：在离散点的界面上求解Riemann问题。Godunov认为从时间层的已知解求得下一时间层的未知解可以分成三步走：第1步：将已知解在单元内进行平均，即 （11-10）并得到相邻单元的平均值， 第2步：根据激波管原理，在相邻单元界面上，求得Riemann解（即求解一维Euler方程的解析解）：（11-11）在界面 在界面 第3步：下一时间层的未知解由Riemann解

7、在单元内积分获得： （11-12）由于界面和界面上的Riemann解是不同的，需要分段积分，于是（11-12）式可写为 （11-13）在以上三步中，第1和第3步均为在单元内的积分，与方程的物理本质无关，而第2步则利用了激波管的物理特性，Godunov求解控制方程的独特之处就是这第2步：将离散的数值求解化为求单元界面上的Riemann问题。激波膨胀波接触间断第1步：在时间层的分段平均量分布第2步：在界面处的黎曼解第3步：在时间层新解的平均Godunov方法的三个基本步骤由图可见，为了防止界面上的Riemann解（波系）与界面上的波系相交，必须对时间步长进行约束。设为波的传播速度，应满足下列关系：

8、即， 重要结论1：Godunov格式必须满足CFL条件。下面以线性迁移方程为例，说明Godunov的求解思路迁移方程： （）迁移方程的解具有不改变初始函数的形状只将之向下游迁移的特性。如下图所示。第1步：在时间层的分段平均量分布第2步：间断在界面上的正确输运第3步：对时间层的新解进行平均在n时间层（）迁移方程的解析解为 （）于是，下一时间层上的解为如图所示，上述积分就是求面积，于是即 Euler后差格式 重要结论2：对于迁移方程，Godunov格式与迎风格式是一致的。（二）求解Euler方程的Godunov格式Euler方程： （） （11-14）式中， 第1步：将Euler方程写成积分形式在

9、空间区间内积分（11-14）即再在时间区间内积分上式设 ； 上式便成为： （11-15）上式称为守恒律型的Euler方程，它是一种积分方程。 从（11-15）式可见守恒量是区间上的平均量，所以实际上已完成了分段平均的工作。 若设，那么式（11-15）就成为： （11-16） 上式称为守恒型差分格式，各种不同的差分格式均可表示成（11-16）这种形式。第2步：在界面和界面上求出Riemann解，即第3步：在时间层将新解进行平均新解是将在界面和界面上求出的Riemann解在区间上积分平均所得的，即（11-13）由于Riemann解是Euler方程的解析解，所以它一定满足守恒律型的Euler方程。

10、（11-15）在区间（设）上有下列关系：（11-17） 在区间（设）上有下列关系：（11-18）将（11-17），（11-18）代入式（11-13）就有：（11-19）设 于是就得到求解一维Euler方程的Godunov格式 （11-20）在上式中为空间平均值，但为方便计省略了上标“”。可见，Godunov格式与守恒型差分格式具有相同的形式。（三）Godunov格式举例非线性迁移方程： （） （11-21a）初始条件为 （11-21b）其间断解满足Rankine-Hugoniot条件： （11-22a）式中，C为间断解的传播速度，也可写成 （11-22b）对于初始条件（11-21b），Riem

11、ann解为可以证明，有下列关系式成立（Osher公式）：（设）如果 （11-23a）如果 （11-23b）考察单元。在界面和产生Riemann解，因此在和处，于是有1）在处 （11-24a） 2）在处 （11-24b）求出界面上的通量（11-24a），（11-24b）之后，Godunov格式就确定了： （11-25）若设，方程（11-21）成为Burgers方程 （11-26）可以求得Burgers方程的特征线斜率（特征值）为下面，我们利用Osher公式，将求解Burgers方程（11-26）的Godunov格式的具体形式写出来。讨论，和，之间的大小：1）、< 0由（11-24a）式可得

12、：这时Godunov格式为 （11-27a）2) 、> 0 （无论<，>） （无论<，>）这时Godunov格式为 （11-27b）3）、<0; > 0 （无论<，>） （，不可能大于）这时Godunov格式为 （11-27c）4）<0，、>0 （<） （无论<，>）这时Godunov格式为 （11-27d）5）>0，<0，>0 （<）这时Godunov格式为 （11-27e） （11-27f）6）<0，>0，<0 （<）这时Godunov格式为 （11-27g）

13、 （11-27h）C 激波移动速度（2）（1）：激波膨胀波：膨胀波C 激波移动速度（2）（1）：激波膨胀波：膨胀波（四）Godunov格式的特点1在每个离散单元的界面上求解Euler方程的解析解（Riemann问题），因此将激波（间断）的宽度限制在01个网格点之间（）2严格保持迎风特性，并且比矢通量分裂格式考虑得更详细更周密，避免了“音速点”附近的非物理解；3由于采取分片平均，因此只有一阶精度；4在每个界面上求解Riemann问题解析解计算量巨大。（五）近似求解Riemann问题的方法Roe格式的原理Roe认为，Godunov格式实际上是对一组近似的数据作精确的求解，人们完全可以选择一种近似的

14、Riemann问题求解方法以简化求解过程而不会损失很多。求解Riemann问题的近似格式应包含两方面的内容：1提高精度：采用斜线平均代替Godunov格式原始的分片平均，如图所示。下图表示，采用斜线平均之后，求解迁移方程的Godunov格式的三个步骤。初始分布（斜线平均）随时间的迁移时间层的新解的斜线平均2简化计算考虑求解非线性迁移方程 （）的矢通量分裂格式写成守恒型差分格式：式中： 研究对于求解Euler方程的矢通量分裂格式，其数值通量可写成Roe指出，矢通量分裂格式的问题就出在上式第2项：。他认为Euler方程中的若改成具备U特性的常数矩阵，就能克服矢通量分裂格式的缺陷，与Godunov格

15、式的本质相符。Roe建议求解如下之方程以代替Euler方程 （11-28）其中为常数矩阵，在某种意义上是Jacobian矩阵A的平均矩阵，并具有如下性质：（1）；（2），其中；（3）有实特征值和完备的特征向量。Roe称上述性质为U特性。性质2保证了光滑区内的连续性；性质1表明若和两点间仅有一个间断面，则近似解是原微分方程的准确解。通过间断面的跳跃条件为其中考虑到性质1，则有 （11-29）由此可知为矩阵的特征向量，而间断面的速度C为对应的特征值。Roe方法具有最高分辩率定态激波的能力，能在个网格之内捕获激波，而其它数值通量却无法做到这一点。通常的算术平均方法如 或 求得的都不能满足U特性，Ro

16、e通过引入参变量的方法给出了一种求得满足U特性的矩阵的办法，即对一维Euler方程取Roe格式可写成：式中：上式中，界面的两侧气流状态就是，。当然，在使用Roe格式求解Euler方程时，要进行特征值分解的工作，比较繁琐，不一一列举。四TVD格式简介（一）保单调差分格式与单调差分格式设迁移方程 （11-30a）现考虑纯初值问题，设有初值 （11-30b）则其解析解为 （11-31）从方程（11-30a）的精确解（11-31）中可以看出，如果初始函数是的单调函数，则时的解也是的单调函数。于是自然想到，对于差分格式如果初值是单调的非增函数（或非减），希望差分方程的解也能保持非增（或非减）。对于非线性

17、迁移方程 （11-32a） （11-32b）定义：求解（11-32）的点守恒型格式的一般形式可写为如果是单调函数而也是单调函数，则称该格式为保单调的。如果满足关系式 ， （11-33）则称该格式为单调差分格式。注意单调差分格式与保差分格式不同：在定义保单调差分格式时只谈到了在时间层上的量与时间层上量之间的关系，而未直接涉及到格式本身结构，在定义单调差分格式时涉及到了格式的结构，要求式（11-33）得到满足。Godunov证明了如下这定理。定理：差分格式 （11-34）是单调差分格式的充要条件是所有。Godunov在这里讨论的是线性方程的差分格式。对线性情况单调差分格式和保单调差分格式是一致的，

18、即保单调格式也是单调格式。Godunov还证明了，常系数单调差分格式的截断误差是一阶的。在一般情况下（非线性方程）单调差分格式一定是保单调的，但保单调差分格式不一定是单调格式。考察迁移方程 （）（1）Euler后差格式 （）可写成可见，Euler显式格式是单调格式（满足稳定性条件）；（2）Lax-Wendroff格式可写成：可见Lax-Wendroff格式是非单调格式；格式的单调性质对于避免在激波附近产生非物理振荡具有决定作用。需要指出的是真正严格意义上的单调格式只能是一阶精度格式。（二）TVD格式的物理考虑具有下列特性的格式被称为TVD（Total Variation Diminishing

19、，总变差递减）格式或TVNI（Total Variation Nonincreasing，总变差非增）格式。1对标量非线性方程及常系数双曲型方程组，格式的解是总变差衰减的；2与守恒律和熵不等式是相容的。对于偏微分方程数值解，总变差定义为 （11-35）下面来讨论非线性迁移方程 （11-32a） （11-32b）解的总变差变化情况。该方程的解沿特征线是常数，因为此时式中。设从时刻到时刻特征线没有相交（如图所示）。在时刻有任意划分，可在时刻找到相应的划分，使得，反之亦然。由此可知，在特征线相交之前方程（11-32）的解对于的总变差为常数。现假设特征线和于时刻相交（如图所示），此时时刻点之左方的总变

20、差与时刻点之左方的总变差相等，的和点之右方的总变差相等，而因而当有激波时总变差是下降的。由上而简单讨论中可知，方程（11-32）的解随时间的推移总变差是下降的。它一定满足以下两点：（1）方程随时间的增长解中不可能产生新的局部极值点；（2）解的局部最小值在时间推移过程中不再减小，而局部最大值不再增加。因此，如果在初始时刻解是单调的，在以后的时刻将保持这种单调性。可见，总变差递减与格式的单调性相关。Harten证明了下述结论：1任何单调格式都是TVD格式；2任何TVD格式都是保单调格式。由于任何线性的保单调格式必为单调格式，而单调格式只有一阶精度，因此高精度的TVD格式就只能是非线性的保单调格式。（三）TVD格式的充分条件以常用的三点（）显式格式为例。对于非线性迁移方程（11-32a）显式 守恒型差分格式可写为 （11-37）式中，为数值通量，它们的不同取值代表了不同的显式差分格式。例如取=，式（11-37）就是Euler后差格式；取式（11-37）