n维欧氏空间中某些概念

1、1第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 DxyzOM xyP),(yxfz 2第一节第一节 n n维欧氏空间中某些概念维欧氏空间中某些概念N维欧氏空间维欧氏空间邻域邻域内点，外点，边界点，聚点内点，外点，边界点，聚点开集，闭集，区域开集，闭集，区域小结小结 思考题思考题 作业作业 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用3一、一、 N维欧氏空间维欧氏空间1. 平面点集平面点集 n 维空间维空间一元函数一元函数1R平面点集平面点集2R n 维空间维空间nR实数组实数组(x, y)的全体的全体,即即,),( 2RyxyxRRR 建立了坐标系的平面称为坐标面建立了坐标系的平面

2、称为坐标面.坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合,称为称为平面点集平面点集, 记作记作.),(),( PyxyxE具有性质具有性质 (1) 平面点集平面点集 二元有序二元有序4n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体的全体;nR n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中称为空间中 kx数数称为该点的第称为该点的第k个个坐标坐标. .记作记作(2) n 维空间维空间n 维空间维空间.称为称为即即., 2 , 1,),( 21 iRxxxxin的一个的一个点点, , RRRRn下面在中引进代数运算及内积和范数。nR5

3、定义.设1212(,),(,),nnnxx xxyy yyR定义()相等,1,2,.iixyxy in()和1122(,)nnxyxy xyxy()数乘12(,),.nxxxxR()差11221(,)nnxyxyxy xyxy 6()零向量或原点:0(0,0,0).()内积(或点积):1,niiix yx yx y()范数(或模):21niixx xx范数称为xyxy与之间的距离或度量.7范数满足下列基本性质.定理.设,nx yR则有 10,=00.xxx且 2,.xxR 3xyyx 4, x yxy柯西-施瓦兹不等式 5xyxy三角不等式8在中选取一组单位向量nR11,0,0 ,0,0,1n

4、ee称为中的单位坐标向量(或一组基).nR则对12(,),nnxx xxR 有1 12 2,nnxx ex ex e9二二、邻域邻域 (Neighborhood) 设设P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示：几何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0邻域邻域的的点点 P令令, 0 ).(0PU有时简记为有时简记为2R称之为称之为 将邻域去掉中心将邻域去掉中心, 也可将以也可将以P0为中心的为中心的某个矩形内某个矩形内(不算周界不算周界)注注称之为称之为的全体点称之为点的全体点称之为点P0邻域邻域.去心邻域去心邻域.),(0

5、PU 10000,(, )nnPRU PPRPP设则称为0.P点的 邻域11 (1) 内点内点显然显然, E的内点属于的内点属于E.,EP 点点( , ),U PE使设设E为一平面点集为一平面点集, 0 若存在若存在称称P为为E的的内点内点.)(1P (2) 外点外点 如果存在点如果存在点P的某个邻域的某个邻域),(PU则称则称P为为E的的外点外点.(3) 边界点边界点 如点如点P的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于E的点的点,也有不属于也有不属于E的点的点,称称P为为E的的边界点边界点.)(2PE2P 1P 3P )(3PE的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界,记作记作.E

6、 使使U(P) E = ,内点的全体称为内点的全体称为E的内部的内部,记为记为:0E孤立点也是边界点孤立点也是边界点.4( )P4P三三、内点内点,外点外点,边界点边界点,聚点聚点12聚点聚点 如果对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 点点P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点则称则称P是是E的的聚点聚点.(P本身可属于本身可属于E,也可不也可不属于属于E ),),(200RyxP 点点, 212020 yx若若则则P为为E的的内点内点;12020 yx若若, 22020 yx或或则则P为为E的的边界点边界点,也是也是E的聚的聚点点.E的边界的边界E 为集合为集合聚点的

7、全体称为导集聚点的全体称为导集,记为记为:E E或但是点但是点(6,6)为为E的的边界点边界点,不不是是E的聚的聚点点.例如例如, 设点集设点集22( , )12(6,6)Ex yxy2222( , )1 ( , )2(6,6) .x y xyx y xy13 开集开集 若若E的任意一点的任意一点都是内点都是内点, 称称E为为开集开集.EE即即, 闭集闭集 若若E的余集为开集的余集为开集,则称则称E为闭集为闭集.或或,若若,EE 则称则称E为闭集为闭集.例例 判断下列集合哪些为开集判断下列集合哪些为开集,闭集闭集221(1)( , )14Ex yxy222(2)( , )1(0,2)Ex y

8、xy3(3)( , )0,0Ex y xy四四、开集开集,闭集闭集,区域区域14平面区域平面区域(重要重要)设设D是是开集开集. 连通的开集称连通的开集称区域区域连通的连通的.如对如对D内任何两点内任何两点,都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于D,称开集称开集D是是 或或开区域开区域.如如都是区域都是区域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx0 yx0 yxOxy结起来结起来, 15 开区域连同其边界开区域连同其边界,称为称为有界区域有界区域否则称为否则称为都是闭区域都是闭区域 .,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如总可以被包围在一个以原点为中心、总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域适当大的圆内的区域, 称此区域为称此区域为半径半径 (可伸展到无限远处的区域可伸展到无限远处的区域 ).闭区域闭区域.有界区域有界区域.无界区域无界区域16OxyOxyOxy Oxy有界