D11-2-2数项级数习题课

1、一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别部分和极限13. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nnu称条件收敛例例1. 若级数11nnnnba 与均收敛 , 且nnnbca, ),2, 1(n证明级数1nnc收敛 .证证:

2、 nnnnabac0, ),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛练习题练习题: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5解答提示解答提示:P257 题2. 判别下列级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) 据比较判别法的极限形式, 原级数发散 .因调和级数发散,利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数12nnn因 n 充分大时,ln1110nn原级数发散 .

3、 :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛 .1s1a时发散.1a1a21nn发散,收敛,P257 题3. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu存在 N 0,01,01nnuv又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时2)(nnvu 22,nnnnuuvvP257 题4. 设级数1n

4、nu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(;1ln) 1()3(1nnnnP257 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .故 ,111收敛nn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛 .kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛 ;0limnnu11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2