-基本初等函数的导数公式及四则运算

1、1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则公式及导数的运算法则一、复习一、复习1.1.导数的导数的几何几何意义：意义： 曲线在某点处的切线的斜率曲线在某点处的切线的斜率; ;( (瞬时速度或瞬时加速度瞬时速度或瞬时加速度) )物理物理意义：意义： 物体在某一时刻的瞬时度。物体在某一时刻的瞬时度。2 2、由定义求导数（三步法、由定义求导数（三步法）步骤步骤: :);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值)(, 0)3(xfxyx当00()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致发生混淆时，在不

2、致发生混淆时，导函数导函数也简称为也简称为导数导数000( )()( ).yf xxfxfxx 函数在点处的导数等于导函数在点处的函数值二、新课二、新课 由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到, f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数. 那么那么, 当当x变化时变化时, f(x)便是便是 x的的一个函数一个函数, 我们叫它为我们叫它为f(x)的的导函数导函数.即即:(一）一）.导函数导函数.yxy例:已知，求00limlimxxyxxxyxx 解：011lim.2xxxxx 0()()lim()xxxxxxxxxxx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函

3、数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0:( ),()( ),0,( )lim0.xyyf xCyf xxf xCCxyf xCx 解1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数.公式公式1:1: = 0 (C为常数为常数)C请同学们求下列函数的导数请同学们求下列函数的导数:22)( ),3)( ),14)( ),yf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象上每一点图象上每一点处的切线斜率都为处的切线斜率都为1这又说明什么这又说明什么?公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 公式公式3:3:公式公式4:4:

4、xxcos)(sinxxsin)(cos公式公式5:5:对数函数的导数对数函数的导数1(1) (log )(0,1).lnaxaax a1(2)(ln ).xx公式公式6:6:指数函数的导数指数函数的导数(2)().xxee (1) ( )ln (0,1).xxaaa aa注意注意: :关于关于 是两个不同是两个不同的函数的函数, ,例如例如: :axxa 和 )3)(1 (x )(2(3xaxln323x总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6

5、.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则例例1 1：求下列函数的导数求下列函数的导数xxxyxy) 2 () 1 (5).2(,) 1 (3fxy求已知213333)(xxxy 解解：12) 2 (3) 2 (2f312222)( xxxy解解：2722712) 3 (2) 3 (3f).3(,1)2(2fxy求已知例例2:2:例例3.求下列函数的导数求下列函数

6、的导数)2cos()3(3sin)2()2sin() 1 (xyyxy例例4.求下列函数的导数求下列函数的导数3(1)4(2)logxyyx );( )( )()(xgxfxgxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf( )( )cf xcfx(三三)函数的和、差、积、商的求导法函数的和、差、积、商的求导法则则设设f(x)、g(x)是可导的是可导的（1）（2）（3）特殊地特殊地（c为常数为常数） 21()( )( )gxg xgx 注意：注意：1 1、前提条件导数存在；、前提条件导数存在； 、和差导数可推广到任意有限个；、和差

7、导数可推广到任意有限个；、商的导数右侧分子中间、商的导数右侧分子中间“”，先先 子导再母导。子导再母导。32( )2sin 0 .f xxxxx例1求在时的导数例例 2设设 y = xlnx ， 求求 y .解解根据除法公式，有根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3设设,112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx切线问题切线问题1:1:求过曲线求过曲线y=cosxy=cosx上点上点P( ) P( ) 的切线的直线方程的切线的直线方程. .21,3

8、 .233sin)3(,sin)(,cos)(fxxfxxf解：，处的切线斜率为故曲线在点23)21,3(P. 033123),3(2321yxxy即所求的直线方程为 2.如果曲线如果曲线 y=x3+x- -10 的某一切线与直线的某一切线与直线 y=4x+3 平行平行, 求切点坐标与切线方程求切点坐标与切线方程.解解: 切线与直线切线与直线 y=4x+3 平行平行, 切线斜率为切线斜率为 4.又又切线在切线在 x0 处斜率为处斜率为 y | x=x03x02+1=4.x0= 1.当当 x0=1 时时, y0=- -8; 当当 x0=- -1 时时, y0=- -12. 切点坐标为切点坐标为

9、(1, - -8) 或或 (- -1, - -12).切线方程为切线方程为 y=4x- -12 或或 y=4x- -8.=(x3+x- -10) | x=x0 =3x02+1.3 3、若直线若直线y=3x+1y=3x+1是曲线是曲线y=axy=ax3 3的切线的切线, ,试求试求a a的值的值. . 解解:设直线设直线y=3x+1与曲线与曲线y=ax3相切于点相切于点P(x0,y0),则有则有: y0=3x0+1, y0=ax03, 3ax02=3.由由, ,得得3x0+1=ax03,由由得得ax02=1,代代入上式可得入上式可得:3x0+1=x0,x0=1/2.所以所以a(- -1/2)2=

10、1,即即:a=4:a=41,.yxbyxb 练习：若直线为函数图象的切线求 的值和切点的坐标 4.已知曲线已知曲线 C: y=x3- -3x2+2x, 直线直线 l: y=kx, 且直线且直线 l 与与 曲线曲线 C 相切于点相切于点 (x0, y0)(x0 0), 求直线求直线 l 的方程及切点坐标的方程及切点坐标.解解: 由直线由直线 l 过点过点(x0, y0)，其斜率，其斜率 k= , x0y0点点 (x0, y0) 在曲线在曲线 C 上上, y0=x03- -3x02+2x0. =x02- -3x0+2.x0y0又又 y =3x2- -6x+2,在在点点 (x0, y0) 处曲线处曲

11、线 C 的切线斜率的切线斜率 k=y |x=x0.x02- -3x0+2=3x02- -6x0+2.整理得整理得 2x02- -3x0=0.解得解得 x0= (x0 0) ). 32这时这时 y0=- - , k=- - . 3814直线直线 l 的方程为的方程为 y=- - x, 14切点坐标是切点坐标是 ( , - - ). 38322.1,?yxPyxP5 已知直线点 为上任意一点 求在什么位置时到直线的距离最短;3)()1(,14333 xxxyxy解解：. 043),1(31, 3|)1 , 1(1 yxxyykPx即即从从而而切切线线方方程程为为处处的的切切线线的的斜斜率率为为曲曲

12、线线在在设直线设直线m的方程为的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公由平行线间的距离公式得式得:;146,10|4|1013| )4(|2 bbbb或或故所求的直线故所求的直线m的方程为的方程为3x+y+6=0或或3x+y-14=0.练习练习:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平平行且距离等于行且距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.31xy 10 1、设设 f (x) = (1+x)(1+2x) (1+10 x)， 求求 .) 0 (f 2、求曲线、求曲线 上与上与 轴轴 平行的切线方程平行的切线方程.32xxy xf（x）=（x-1）（）（x-2）

13、（x-9）（）（x-10） )10(f则则! 9 解：解：232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和3.求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切线方程轴平行的切线方程.32xxy x0k 4 、 求曲线求曲线y=xlnx平行于平行于x-y+1=0的切线方程的切线方程解：设切点解：设切点00yxp 切线的斜率为切线的斜率为11ln)(lnln)()ln(xxxxxxxy 0ln0 x 1ln10 x 10 x00y 切线方程为y=x-1 即x-y-1=05、 求曲线求曲线y=ln(2x-1)上的点到

14、直线上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离的最短距离解：设曲线点在平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为所求00yxp处的切线与2x-y+3=0 122xy21220 x 10 x切点为（1，0） 555mind小结:基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式

15、若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则注意注意:牢记公式呦牢记公式呦（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的

16、改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。三、巩固练习三、巩固练习222)2(2xxxyxxxy2cos222sin xxfcossin)(则则1 1、函数、函数)(f、函数、函数的导数是的导数是22xxxy、函数、函数的导数是的导数是xxytan、函数、函数a=则则212)(axxxf2) 1 (f0或 解：)sin(xxy )(sinsinxxxx)cossin(xxy xxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2cos1xxxcossin（2 2）y=tanxy=tanx5 5、求下列函数的导数、求下列函数的导数（