第6章线性系统的校正方法

1、1第6章 线性系统的校正方法 前面几章讨论了控制系统几种基本分析方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。 本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。2目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。6.1 系统的设计与校正问题6.1.1 控制系统的性能指标时域指标稳态 静态误差动态 超调量、峰值时间、调节时间频域指标闭环带宽、谐振峰值、谐振频率幅值裕度、相位裕度 36.1.2系统带宽的选择 带宽是一项重要指标。它能反应闭环系统对输入信号的跟踪能力及对噪声扰动信号的抑制能力。 在控制系统实际运行中，输

2、入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。如果输入信号的带宽为M0则Mb)105(6-11)请看系统带宽的选择的示意图4图6-1 系统带宽的选择噪声输入信号dB)(Lb30M1n)(jF)(jR)(jNL(0)5校正方式串联校正 )(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sGc)(sGo反馈校正 )(sR)(sC)(sH)(sE)(sGo)(sGc校正装置校正装置前馈校正复合校正 6前馈校正(b)前馈校正（对扰动的补偿）复合校正 + +- - -+ +R(s)E(s)N(s)C(s)图3-26 按扰动补偿的复合控制系统)(2sG)(1sG)(sGn)(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)

3、(sG)(sGc(a)前馈校正（对给定值处理）)(sC)(sG)(sN)(sG)(sGc7按输入补偿的复合控制)(sR)(sG)(sE)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sGc+86.1.4基本控制规律 - -)(tr)(tm)(tc)(tepK（a）P控制器- -)(sR)(sE)(sM)(sC)1 (sKp+(b) PD控制器（2）比例-微分（PD）控制规律dttdeKteKtmpp)()()(+(6-13)（1）比例（P）控制规律)()(teKtmp(6-12)本质是可调增益的放大器。提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。lPD控制规律中的微分控制规律

4、能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的动态性能。1l在串联校正时，可使系统增加一个 的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统稳定性的改善。9积分控制器的输出信号积分控制器的输出信号m(t)与输入与输入信号的积分成比例信号的积分成比例,即即tidtteKtm0)()(l不宜采用单一的不宜采用单一的积分积分控制器。控制器。 （3）积分（）积分（I）控制规律）控制规律- -)(sR)(sE)(sM)(sCsKiI控制器控制器 Ki为可调比例系数。为可调比例系数。)(te消失后，输出信号消失后，输出信号)(tm有可能是一个不为零的常量。有可能是一

5、个不为零的常量。当当l在串联校正中，采用在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的型别，控制器可以提高系统的型别，有利于提高系统稳态性能；有利于提高系统稳态性能；l但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生产生90的相角滞后，于系统的稳定性不利；的相角滞后，于系统的稳定性不利；10 - -)(sR)(sE)(sM)(sC)11 (sTKip+PI控制器+tippdtteTKteKtm0)()()(PI控制器输出信号同时与其输入信号及输入信号的积分成线性关系：pK为可调比例系数,iTl开环极点，提高型别，减小稳态误差。l左半平面的开环零点，减小

6、系统阻尼，缓和PI极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数足够大，PI控制器对系统的不利影响可大为减小。（4）比例-积分（PI）控制规律(6-15)为可调积分时间常数lPI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。11（5）PID控制规律具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称为PID控制器。dttdeKdtteTKteKtmptipp)()()()(0+(6-16)11 ()(ssTKsGipc+)1(2ssTsTTKiiip+sssTKip) 1)(1(21+（如果 ）14iT- -)(sR)(sE)(sM)(sC)11 (ssTKip+PID控制器两个零点一个极点l增加一个极点，提高型别，

7、稳态性能l两个负实零点，动态性能比PI更具优越性12一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。6.2 常用校正装置及其特性无源校正网络超前校正有源校正网络1.无源超前校正滞后校正滞后超前校正13rucu1R2RC 假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为图6-8无源超前网络2121( )( )( )1ccrUsRGsRUsRR Cs+CsRRRRCsRR2

8、11212)1 (+2121RRCRRT+时间常数221RRRa+分度系数(a)TsaTsasGc+111)(6-18)( )cG s 记为14TsaTsasGc+111)(6-18)注：j采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降 倍因此需要提高放大器增益加以补偿TsaTssaGc+11)(6-19)rucu1R2RCa图6-9带有附加放大器的无源超前校正网络此时的传递函数15超前网络的零极点分布l超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数 决定。al改变a和T(即电路的参数CRR,21超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。T1T10j)的数值，1610

9、-210-11001010510152010-210-11001010102030405060aT1T120dB/dec 显然，超前网络对频率在 之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。TaT11至画出对数频率特性曲线：17由传递函数arctgTarctgaTc)(2)(1) 1(TaTaarctg+aTm111arcsin21+aaaaarctgm(6-24)1aa21+ammasin1sin1+(6-22)(6-23)故在 处m具有最大超前角mm正好处于频率aT1与T1的几何中心TaT11与的几何中心为mmaTTaTlglg21

10、1lg21)1lg1(lg2122+(6-25)最大超前角频率求导并令其为零1810-210-11001010510152010-210-11001010102030405060(a)频率特性1,10Ta20dB/decaT1T1malg20alg10m19ma但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于65如果需要大于65的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。 11arcsin21+aaaaarctgm2002468101214161820010203040506

11、0700246810121416182002468101214(b) 最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线alg10malg10dBmoa212.无源滞后网络1Rrucu2RC如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为sCRRsCRsGsUsUcrc11)()()(122+1)(1212+CsRRCsRCRRT)(21+时间常数1212+RRRb分度系数TsbTssGc+11)(图6-11无源滞后网络2210-1100101102-20-15-10-5010-1100101102-60-50-40-30-20-100图6-12无源滞后网络特性1, 1 . 0

12、Tb-20dB/decbT1T1mblg20m23同超前网络，最大滞后角，发生在bTT11与几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为bTm1(6-28)bbm+11arcsin( 6-29)j同超前网络，滞后网络在T1时，对信号没有衰减作用bTT11时，对信号有积分作用，呈滞后特性T1时，对信号衰减作用为blg20b越小，这种衰减作用越强由图6-12可知24采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度。滞后网络怎么能提高系统的相角裕度呢？25在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率 c附近。选择滞后网络参数时，通常使网络

13、的交接频率bT1远小于 c一般取101 cbT此时，滞后网络在 c处产生的相角滞后按下式确定2(1)()1()ccccccbTarctgbTarctgTarctgb T +将bTc10 代入上式)1( 1 . 0100) 1(10)10(110) 1()(2 +barctgbbarctgbbbbarctgccb与和20lgb的关系如图6-13所示。(6-30)(6-31)26-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-40-200-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-10-50图6-13 b与)( cc和20lgb的关系b0

14、.010.1120lgb)( cc6100dB273.无源滞后-超前网络1Rrucu2R1C2C图6-14 无源滞后-超前网络传递函数为2211221111)()()(sCRsCRsCRsUsUsGrcc+1)() 1)(1(212211222112211+sCRCRCRsCRCRsCRsCR) 1)(1() 1)(1(21+sTsTsTsTba11CRTa22CRTb设baaTTTT,1aTTTTba1211a则有aaTT 1aTTb221CRTTaTaTbaba+式(6-32)表示为) 1)(1() 1)(1()(+saTsaTsTsTsGbabac(6-32)a是该方程的解2810-21

15、0-1100101102103-20-15-10-5010-210-1100101102103-60-40-200204060图6-15 无源滞后-超前网络频率特性aaabbadB)()(L1) 1)(1() 1)(1()(+jaTjaTjTjTsGbabac(6-33)29求相角为零时的角频率10)(11111+aTarctgarctgaTarctgTarctgTbaba01)(1)(211211+aTaTaTaTarctgTTTTarctgbabababa121baTT baTT11baTT11(6-34)1的频段，1的频段，当校正网络具有相位滞后特性校正网络具有相位超前特性。baaaba

16、j030实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正，但在放大器级间接入无源校正网络后，由于负载效应问题，有时难以实现希望的规律。此外，复杂网络的设计和调整也不方便。因此，需要采用有源校正装置。6.2.2有源校正网络31频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点：6.3串联校正6.3.1串联超前校正（基于频率响应法）超前校正的基本原理：超前校正的基本原理：利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目的。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。中频段的幅频

17、特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带，这一要求是为了系统具有满意的动态性能；高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声的影响。 低频段的增益满足稳态精度的要求；32用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为：根据稳态误差的要求，确定开环增益K。根据所确定的开环增益K，画出未校正系统的波特图，c 关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即cm 以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。显然，cm 成立的条件是()()10lgoccmLLa由上式可求出a aTm1验证已校系统的相角裕度 计算未校正系统的相角裕度根据截止频率的要求，计算超前网络参数a和T；(6-36)(6

18、-35)求出33补偿校正前给定的+ m是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相角滞后量。值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为-40dB/dec，一般取105如果为-60dB/dec则取2015根据所确定的最大相位超前角m按mmasin1sin1+算出a的值。 34计算校正装置在m处的幅值10lga 由未校正系统的对数幅频特性曲线，求得其幅值为-10lga处的频率，该频率m就是校正后系统的开环截止频率c即mc确定校正网络的转折频率21和am1am2画出校正后系统的波特图，并演算相位裕度是否满足要求？如果不满足，则需增大值，从第步开始重新进行

19、计算。 35确定开环增益K稳态误差的要求画出未校正系统的波特图,并求补偿校正前给定的+ mmmasin1sin1+1052015未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为-40dB/dec-60dB/dec求未校正系统幅值为-10lga处的频率mc am1am2满足要求？结束YN36例-1.设一单位反馈系统的开环传递函数为)2(4)(+ssKsG试设计超前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数120sKv,相位裕度 50，增益裕量hlg20不小于10dB。解：j根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益K。202)2(4lim0+KssKsKsv10K10K时，未校正系统的开环频

20、率特性为290)2(120)2(40)(2arctgjjjG+绘制未校正系统的伯特图，如图6-16中的蓝线所示。由该图可知未校正系统的相位裕量为17 当*也可计算1)2(1202+17. 696.1737100101102-60-40-2002040100101102-180-160-140-120-10038根据相位裕量的要求确定超前校正网络的相位超前角+38517501由式(6-37) 2 . 438sin138sin1sin1sin1+mma超前校正装置在m处的幅值为dBa2 . 62 . 4lg10lg10据此，在为校正系统的开环对数幅值为dB2 . 6对应的频率19sm这一频率就是校

21、正后系统的截止频率c*也可计算2 . 641lg20lg2020lg202+ 93. 839计算超前校正网络的转折频率aTm1 4 . 42 . 491am4 .182 . 492amsssssGc054. 01227. 01238. 02 .184 . 4)(+为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使附加放大器的放大倍数为a=4.2 sssssaGc0542. 01227. 014 .184 . 42 . 4)(+40100101102-60-40-2002040100101102-200-150-100-5005041100101102-60-40-2002040100

22、101102-200-150-100-5005042校正后系统的框图如图6-17所示，其开环传递函数为 )0542. 01)(5 . 01 ()227. 01 (20)2()2 .18()4 . 4(402 . 4)()(sssssssssGsGoc+ )(sR)(sC)0542. 01)(5 . 01 ()227. 01 (20ssss+图6-17 校正后系统框图对应的伯特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕量为 50，增益裕量dBhlg20，均已满足系统设计要求。 43超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统的相频特性在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，

23、收效不大。因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截止频率处，由于未校正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量。 基于上述分析，可知串联超前校正有如下特点：j这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的斜率为-20dB/dec，且有足够大的相位裕量。超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例6-1知，校正后系统的截止频率由未校正前的6.3增大到9。这表明校正后，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快；但系统抗高频噪声的能力变差。对此，在校正装置设计时必须注意。44由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与系统的不可变部分串联相连时，会使系统开环频

24、率特性的中频和高频段增益降低和截止频率c减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影响频率特性的低频段。由此可见，滞后校正在一定的条件下，也能使系统同时满足动态和静态的要求。c处，滞后校正网络会产生一定的相角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小，理论上总希望)(sGc两个转折频率c比21,越小越好，但考虑物理实现上的可行性，一般取 6.3.2 串联滞后校正(基于频率响应法)不难看出，滞后校正的不足之处是：校正后系统的截止频率会减小，瞬态响应的速度要变慢；在截止频率45cT1 . 025. 012为宜保持原有的已满足要求的动态性能不变，而用以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差。 j在系统

25、响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求 较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正。如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，则应用频率法设计串联滞后校正网络的步骤如下： 46确定开环增益K稳态误差的要求画出未校正系统的波特图,并求c)(dBh伯特图上绘制)(c 曲线已校正系统的截止频率c 根据 要求 + 6)()(可取指标要求值ccc确定滞后网络参数b和T 0)(lg20 +cLbcbT 1 . 0147结束验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度 48例6-2 设控制系统如图6-18所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于30/s，相角裕度40度，幅值裕度不小于10dB，截止频率不小于2.3rad/s，

26、试设计串联校正装置。)(sR)(sC) 12 . 0)(11 . 0 (+sssK图6-18 控制系统解：j首先确定开环增益K30)(lim0KssGKsv未校正系统开环传递函数应取) 12 . 0)(11 . 0(30)(+ssssG画出未校正系统的对数幅频渐近特性曲线，请看下页! 4910-210-1100101102-100-5005010010-210-1100101102-300-250-200-150-100-50sradc/12由图可得sradc/12272750*也可算出sradsradcgg/12,/07. 7180)(2 . 01 . 090180ccarctgarctg6

27、 .2738.6719.5090说明未校正系统不稳定，且截止频率远大于要求值。在这种情况下，采用串联超前校正是无效的。可以证明，当 30+ 6 .7720)6 .27(30m73.84sin1sin1+mma而且截止频率也向右移动。考虑到，本例题对系统截止频率值要求不大，故选用串联滞后校正，可以满足需要的性能指标。5110-210-1100101102-100-5005010010-210-1100101102-300-200-1000计算)2 . 0()1 . 0(90)(cccarctgarctg )()(cc + 46)6(40)()(cc52由cc 与)(的曲线（玫瑰红色），可查得sr

28、adc/7 . 2 时，5 .46)7 . 2(可满足要求。由于指标要求sradc/3 . 2 故c 值可在sradsrad/7 . 2/3 . 2范围内任取。考虑到c 取值较大时，已校正系统响应速度较快滞后网络时间常数T值较小，便于实现，故选取。sradc/7 . 2 在图6-19上查出dBLc21)( 计算滞后网络参数0)(lg20 +cLb b=0.09cbT 1 . 01 sbTc1 .411 . 01 bT=3.7s，则滞后网络的传递函数ssTsbTssGc4117 . 3111)(+*也可计算。然后，再利用利用5310-210-1100101102-100-5005010010-2

29、10-1100101102-300-200-1000500GcG0GGc)2 . 0()1 . 0(90)(cccarctgarctg 5 .46dB21sradc/7 . 2 54验算指标(相位裕度和幅值裕度)2 . 5)1( 1 . 0)( barctgcc+21. 5)(1) 1()(2 ccccTbTbarctg + 403 .412 . 55 .46)()(cc未校正前的相位穿越频率g180)(gsradggg/07. 7,02 . 01 . 01校正后的相位穿越频率sradg/8 . 6幅值裕度dBdBjGjGdBhgogc105 .10)()(lg20)(满足要求55超前校正需要

30、增加一个附加的放大器，以补偿超前校正网络对系统增益的衰减。串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点j超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正，而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性；用频率法进行超前校正，旨在提高开环对数幅频渐近线在截止频率处的斜率(-40dB/dec提高到-20dB/dec)，和相位裕度，并增大系统的频带宽度。频带的变宽意味着校正后的系统响应变快，调整时间缩短。对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统，因此，如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应，则采用超前校正。当噪声电平较高时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对于这

31、种情况，宜对系统采用滞后校正。56滞后校正虽然能改善系统的静态精度，但它促使系统的频带变窄，瞬态响应速度变慢。如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应，又有高的静态精度，则应采用滞后-超前校正。有些应用方面，采用滞后校正可能得出时间常数大到不能实现的结果。57串联滞后-超前校正，实质上综合应用了滞后和超前校正各自的特点，即利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕度，以改善其动态性能；利用它的滞后部分来改善系统的静态性能，两者分工明确，相辅相成。6.3.3串联滞后-超前校正这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度快，超调量小，抑制高频噪声的性能也较好。当未校正系统不稳定，且对

32、校正后的系统的动态和静态性能(响应速度、相位裕度和稳态误差)均有较高要求时，显然，仅采用上述超前校正或滞后校正，均难以达到预期的校正效果。此时宜采用串联滞后-超前校正。58绘制未校正系统的对数幅频特性，求出未校正系统的截止频率 、相位裕度 及幅值裕度 等；c)(dBh在未校正系统对数幅频特性上，选择斜率从-20dB/dec 变为-40dB/dec的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率b串联滞后-超前校正的设计步骤如下：j根据稳态性能要求，确定开环增益K；这种选法可以降低已校正系统的阶次，且可保证中频区斜率为-20dB/dec，并占据较宽的频带。59baaabaj0)1)(1 ()1)(1 (

33、) 1)(1() 1)(1()(babababacasassssaTsaTsTsTsG+根据响应速度要求，选择系统的截止频率 c和校正网络的衰减因子a1要保证已校正系统截止频率为所选的 c0lg20)(lg20 +cbcTLa(6-41)下列等式应成立：600lg20)(lg20 +cbcTLa c lg20)(cbcTL+可由未校正系统对数幅频特性的-20dB/dec延长线在 c处的数值确定。求出a值未校正系统的幅值量滞后超前网络超前部分在 处贡献的幅值滞后-超前网络贡献的幅值衰减的最大值61根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率a校验已校正系统开环系统的各项性能指标。 62) 1

34、21)(161()(0+sssKsGvsKKv作为校正系统对数幅频特性渐近曲线，如图6-21所示由图得未校正系统截止频率sradc/6 .12 5 .55216190180ccarctgarctgsradgg/464. 3180)(dBjGdBhgo30)(lg20)(表明未校正系统不稳定例6-3 未校正系统开环传递函数为设计校正装置，使系统满足下列性能指标：j在最大指令速度为时，位置滞后误差不超过相位裕度为幅值裕度不低于10dB；过渡过程调节时间不超过3s解：j确定开环增益看下图6310-210-1100101102-100-5005010010-210-11001

35、01102-300-250-200-150-100-50sradc/6 .12dB01805 .55-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec2664如果采用串联超前校正，要将未校正系统的相位裕度从4555，至少选用两级串联超前网络。显然，校正2sin1rM05. 3) 1(5 . 2) 1(5 . 122+rrMMKsKtcs38. 0还有几个原因：伺服电机出现饱和，这是因为超前校正系统要求伺服机构输出的变化速率超过了伺服电机的最大输出转速之故。s/180ssrad/1432/18025/25于是，0.38s的调节时间将变得毫无意义；系统带宽过大，造成输出噪声电平过高；需要附加前置放大器，从而使系统结构复杂化。 分析为何要采用滞后超前校正？后系统的截止频率将过大，可能超过25rad/s。利用，比要求的指标提高了近10倍。65如果采用串联滞后校正如果采用串联滞后校正，可以使系统的相角裕度提高到45左右，但是对于该例题要求的高性能系统，会产生1 cdBLc1 .45)( 由0)(lg2