第二章电磁学

1、Wuhan University of TechnologyElectromagnetics 电电 磁磁 学学第二章第二章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 2-1 2-1 静电场中的导体静电场中的导体 2-2 2-2 电容和电容器电容和电容器 2-3 2-3 电介质电介质 2-4 2-4 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度+感应电荷感应电荷 2-1 2-1 静电场中的导体静电场中的导体一、静电感应一、静电感应 静电平衡条件静电平衡条件 在外电场作用下，导体在外电场作用下，导体中中电荷重新分布而呈电荷重新分布而呈现出的带电现象现出的带电现象 ，叫作，叫作静电感应现象静电感应现

2、象。导体的静电感应过程导体的静电感应过程无外电场时无外电场时导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外

3、+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程+加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程+加上外电场后加上外电场后E外外+E+E外外E感感+=内内0E外外E感感静电平衡：静电平衡：静电场中，导体上的静电场中，导体上的电荷不再发生电荷不再发生定向定向移动移动，称导体达到了称导体达到了静电平衡静电平衡。 。导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件导体内部任意点的场强为零。导体内部任意点的场强为零。导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。导体表面附近的

4、场强方向处处与表面垂直。表表面面表表面面内内EE0静电场中的导体静电场中的导体证明：证明：等势体等势体等势面等势面-babal dEUU0内E-QPQPQPdlEl dEUU090cos0QPUUabbaUU pQ导体内导体内导体表面导体表面推论：推论：静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面。静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面。+ +neeEldPQ二、静电平衡导体上的电荷分布二、静电平衡导体上的电荷分布净电荷分布在导体表面，导体内处处无净电荷。净电荷分布在导体表面，导体内处处无净电荷。SiqsdE0100iqE导体内任取高斯面导体内任取高斯面S1. 实心导体实心导体证：证：+qS+E

5、0E2.导体表面电荷及场强导体表面电荷及场强),(zyx),(zyxE表SSEd-SSSSESEdd表SE 表0表E设导体表面某处电荷面密度为设导体表面某处电荷面密度为该处的电场强度为该处的电场强度为设设P是导体外紧靠导体表面的一点是导体外紧靠导体表面的一点由高斯定理有由高斯定理有0SSE表得得nE0表写作写作仅在导体表面附近适用仅在导体表面附近适用, , ，且，且E E由导体上和外部电荷共由导体上和外部电荷共同产生。同产生。E0【例题例题1 】金属平板金属平板A和和B，长宽对应相等，长宽对应相等, 在真空中对齐平在真空中对齐平行放置，板间距比长宽小得多行放置，板间距比长宽小得多,分别让每板带

6、分别让每板带qA及及qB 的电荷的电荷，求每板表面的电荷密度。，求每板表面的电荷密度。 解：把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分布，在解：把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分布，在A、B板内分别取两点。板内分别取两点。 AqS )(21BqS )(430222204030201-ME0222204030201-NE3 2 3 4 1q1q204321-04321-4132-SqA/21SqB/2143-41)2/()(SqqBA32)2/()(-SqqBAABqq-041讨论：如果则 2 3 4 1q1q23.孤立带电导体表面电荷分布孤立带电导体表面电荷分布（1）一般情况较复杂）一般情况较

7、复杂 孤立的带电导体孤立的带电导体 电荷分布电荷分布实验的实验的定性分布定性分布在表面凸出的尖锐部分在表面凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大曲率是正值且较大)电荷面电荷面密度较大；密度较大；在比较平坦部分在比较平坦部分(曲率较小曲率较小)电荷面密度较小；电荷面密度较小；在表面凹进部分带电面密度最小；在表面凹进部分带电面密度最小； 孤立导体处于静电平衡时孤立导体处于静电平衡时, ,表面各处的面电荷密度表面各处的面电荷密度 与与各处表面的曲率有关各处表面的曲率有关, ,曲率越大的地方曲率越大的地方, ,电荷密度也越大。电荷密度也越大。1101220212121244qURqURUUqqRR定量证明定

8、量证明：两导体球处于静电平衡，用细导线连接。：两导体球处于静电平衡，用细导线连接。11212222112244,qrRqRRR E又亦然1R2R1Q2Q 在带电尖端附近，电离的在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周分子与周围分子碰撞，使周围的分子处于激发态发光而围的分子处于激发态发光而产生电晕现象。产生电晕现象。+ + 尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕，故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。晕，故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。但尖端效应也有应用：如避雷针、静电喷涂、静电除尘等。但尖端效应也有应用：如避雷针、

9、静电喷涂、静电除尘等。 例：尖端放电例：尖端放电“电风电风”高压线附近的辉光高压线附近的辉光避雷针的应用避雷针的应用静电除尘静电除尘图2.11 范德格拉夫起电机示意图图2.10 范德格拉夫起电机展示图2. 空腔导体空腔导体（1）腔内无带电体时：）腔内无带电体时：净电荷分布在导体外表面净电荷分布在导体外表面；导体内表面处处无净电；导体内表面处处无净电荷。荷。空腔内没有电场，空腔内空腔内没有电场，空腔内电势处处相等。电势处处相等。S00diSqSE，0d lEUABAB如果空腔内表面有电荷如果空腔内表面有电荷S+-AB+0d lEUABAB则与处于静电平衡的导体则与处于静电平衡的导体是等势体相矛盾

10、。是等势体相矛盾。qq-2S00d1iSqSE，qq -inqQ1S导体壳内部无电荷，电荷导体壳内部无电荷，电荷只分布在导体壳表面只分布在导体壳表面导体壳内表面有无电荷？导体壳内表面有无电荷？00d2iSqSE，（2）腔内有带电体：）腔内有带电体： 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。三三 静电屏蔽静电屏蔽 1 1屏蔽外电场屏蔽外电场E外电场外电场 空腔导体可以屏蔽外电场空腔导体可以屏蔽外电场, , 使空腔内物体不受外电使空腔内物体不受外电场影响场

11、影响. .这时这时, ,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等. .E空腔导体屏蔽外电场空腔导体屏蔽外电场 接地空腔导体接地空腔导体将使外部空间不受将使外部空间不受空腔内的电场影响空腔内的电场影响.问：问：空间各部分的电场强度如何分布空间各部分的电场强度如何分布 ？接地导体电势为零接地导体电势为零 2 2屏蔽腔内电场屏蔽腔内电场q-q+q总之，可以利用导体空腔的静电特性形成静电屏蔽总之，可以利用导体空腔的静电特性形成静电屏蔽 可用导体空腔来保护内部不受外场影响，如所有电可用导体空腔来保护内部不受外场影响，如所有电气仪表的表头外部均有一金属外壳。气仪表的表头外部

12、均有一金属外壳。 导体空腔接地的情况下，可使金属壳内的场对导体空腔接地的情况下，可使金属壳内的场对外界不产生影响。外界不产生影响。 +R2R1QRq解：解：小球在球壳内外表面感应出电荷小球在球壳内外表面感应出电荷- -q、q球壳外总电荷为球壳外总电荷为q+Q。 【例题例题2】在内外半径分别为在内外半径分别为R R1 1和和R R2 2的导体球壳内，有一的导体球壳内，有一个半径为个半径为R R的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量别带上电荷量q q和和Q Q. .试求：试求：(1)(1)小球的电势小球的电势U UR R，球壳内、外表面的电

13、势；，球壳内、外表面的电势；(2)(2)两球的电势差；两球的电势差；(3)(3)若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。)(41210RQqRqRqUR-20211041)(411RQqRQqRqRqUR-202220241)(41RQqRQqRqRqUR-球壳内外表面的电势相等。(1)(1)小球的电势小球的电势U UR R，球壳内、外表面的电势，球壳内、外表面的电势R2R1Qrq（2）两球的电势差)(41101RqrqUURr-（3）外壳接地时的各量)(4110RqrqUr-012RRUU)(41101RqrqUURr-R2R1Qrq1R2R3Rqq-q2 【

14、例题例题3 】有一外半径有一外半径R1=10cm 和内半径和内半径R2=7cm的金的金属球壳，在球壳内放一半径属球壳，在球壳内放一半径R3=5cm 的同心金属球的同心金属球.若使球若使球壳和金属球均带有壳和金属球均带有q=10-8C的正电荷，的正电荷，问问:两球体上的电荷两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？如何分布？球心的电势为多少？ 解：由静电平衡条件可求出电荷分布。解：由静电平衡条件可求出电荷分布。)( 031RrE)(423202RrRrqE)( 0213RrRE)( 421204rRrqEV1031. 2)211(431230-RRRqUO 2-1 2-1 静电场中的导体静电场中

15、的导体 2-2 2-2 电容和电容器电容和电容器 2-3 2-3 电介质电介质 2-4 2-4 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度一 孤立导体的电容VQC 例如 孤立的导体球的电容RRQQVQC0044RQF107m,104 . 64E6E-CR 地球单位 C/V1F1F10pF112-F10F16-2-2 2-2 电容和电容器电容和电容器二二 电容器电容器电容器电容电容器电容UQVVQCBA- 电容的大小仅与导体的电容的大小仅与导体的形状形状、相对位置相对位置、其间的、其间的电电介质介质有关有关. . 与所带电荷量与所带电荷量无关无关. .三三 电容器电容的计算电容器电容的计算AVBV

16、Q-Q1 1）设两极板分别带电设两极板分别带电 ； 2 2）求求 ； QEUC3 3）求求 ；4 4）求求 . .步骤步骤lEUABABddS1 平板电容器平板电容器+ + + +QQ-SQE00（2）两带电平板间的电场强度两带电平板间的电场强度（1）设两导体板分别带电设两导体板分别带电QSQdEdU0（3）两带电平板间的电势差两带电平板间的电势差dSUQC0（4）平板电容器电容平板电容器电容 例例1 1 平行平板电容器的极板是边长为平行平板电容器的极板是边长为 的正方的正方形，两板之间的距离形，两板之间的距离 . .如两极板的电势差如两极板的电势差为为 ，要使极板上储存，要使极板上储存 的电

17、荷的电荷, ,边长边长 应取多大才行应取多大才行. .lmm1dV100C104-l解解F10F1001064-UQC2lS m6 .100CdlARBRlBRl 平行板电平行板电容器电容容器电容2 圆柱形电容器圆柱形电容器,AABRRRd-dSdlRCA002ABRRlUQCln20ABRRRRlQrrUBAln22d00（3） )(,20BARrRrE（2）（4）电容电容+-（1 1）设两导体圆柱面单位长度上设两导体圆柱面单位长度上分别带电分别带电1R2R例球形电容器的电容例球形电容器的电容球形电容器是由半径分别为球形电容器是由半径分别为 和和 的两同心金的两同心金属球壳所组成属球壳所组成

18、1R2R解解设内球带正电（），外球带负电（）设内球带正电（），外球带负电（）QQ-rr204erQE)(21RrR2120d4dRRlrrQlEU)11(4210RRQ-,2R104RC孤立导体球电容孤立导体球电容P*R2d-E)(2200 xdxEEE-xxdxxEURdRRdRd)11(2d0-RdRRdlnln00-单位长度的单位长度的电容电容RdUCln0解解 设两金属线的电荷线密度为设两金属线的电荷线密度为E-E 例例3 3 两半径为两半径为 的平行长直导线中心间距为的平行长直导线中心间距为 ，且且 , , 求单位长度的电容求单位长度的电容 . .RdRd oxPxxd-三三 电容器

19、的串联和并联电容器的串联和并联电容器的并联21CCC电容器的串联21111CCC1C2C-1C2C- 2-1 2-1 静电场中的导体静电场中的导体 2-2 2-2 电容和电容器电容和电容器 2-3 2-3 电介质电介质 2-4 2-4 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度QQ-+ + + + + + + - - - - - - -一一 电介质对电容的影响电介质对电容的影响 相对电容率相对电容率r0EE 0rCC0r1UU1r相对电容率电容率r00U0CCUrQQ-+ + + + + + + - - - - - - -1、电介质的电结构、电介质的电结构 按分子的电结构，电介质可分为有极分子和

20、无极分子按分子的电结构，电介质可分为有极分子和无极分子两种物理模型。两种物理模型。 一个中性分子所带正电荷与负电荷的量值总是相等的。一个中性分子所带正电荷与负电荷的量值总是相等的。但一般情况下，每个分子内的正、负电荷都不是集中在一点但一般情况下，每个分子内的正、负电荷都不是集中在一点而是分布在分子所占体积之中的。而是分布在分子所占体积之中的。 等效的正、负点电荷所在的位置称为等效正、负电荷的等效的正、负点电荷所在的位置称为等效正、负电荷的“中心中心”（或（或“重心重心”）。）。 无极分子：正负电荷中心完全重合无极分子：正负电荷中心完全重合 微观：电偶极矩微观：电偶极矩p p分子分子0 0，(

21、(l l=0)=0) 宏观：中性不带电宏观：中性不带电-+HeH+-+H+H+H+CH4（甲烷）（甲烷）CHe+-n有极分子：正负电荷中心不重合有极分子：正负电荷中心不重合n微观：电偶极矩微观：电偶极矩p分子分子 0，(l 0)n宏观：中性不带电宏观：中性不带电 -+OH+H+H2OH+-+H+H+NNH3（氨）（氨）+-eP+-eP电介质无外场时呈电中性电介质无外场时呈电中性 无外电场时无外电场时无极分子电介质，固有电矩为零，显然呈中性。无极分子电介质，固有电矩为零，显然呈中性。有极分子电介质，无规则热运动的结果，使得每个分子固有有极分子电介质，无规则热运动的结果，使得每个分子固有电矩的取向

22、都是杂乱无章的，因此，在介质内任取一个小体电矩的取向都是杂乱无章的，因此，在介质内任取一个小体积元，各个分子电矩的矢量和必定为零，故呈电中性。积元，各个分子电矩的矢量和必定为零，故呈电中性。EEEE 1)1)无极分子电介质的位移极化无极分子电介质的位移极化均匀极化时，只在表面出现极化电荷均匀极化时，只在表面出现极化电荷q/。由于这种电荷不能。由于这种电荷不能移动，故又称为束缚电荷。移动，故又称为束缚电荷。/q/q- 在外电场作用下，分子正电荷等效中心和负电荷等效中心在外电场作用下，分子正电荷等效中心和负电荷等效中心发生相对位移，形成附加分子偶极子发生相对位移，形成附加分子偶极子 p pm m叫

23、叫位移极化。位移极化。2 2、电介质的极化、电介质的极化沈沈辉辉奇奇制制作作-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+无无外外场场有有外外场场均匀极化均匀极化+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-非均匀极化非均匀极化+-l qPeEE+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-2)2)、有极分子电介质的转向（取向）极化、有极分子电介质的转向（取向）极化 各向同性均匀介质的极化，在沿电场方向两端产各向同性均匀介质的极化，在沿电场方向两端产生面束缚电荷。生面束缚电荷。 有极分子和无极分子的极

24、化，微观机理不同，有极分子和无极分子的极化，微观机理不同，但宏观结果相同，效应相同。但宏观结果相同，效应相同。 否则，除产生面束缚电荷外，还可产生体束缚电荷。否则，除产生面束缚电荷外，还可产生体束缚电荷。 电介质在外电场的作用下出现极化电荷的电介质在外电场的作用下出现极化电荷的现象称为电介质极化。现象称为电介质极化。电极化强度矢量是表征介质被极化程度的物理量。电极化强度矢量是表征介质被极化程度的物理量。P二极化强度矢量二极化强度矢量1、电极化强度矢量电极化强度矢量介质极化后介质极化后内在表现，单位体积内内在表现，单位体积内0epVpPiVlim0 电极化强度矢量等于单位体积电介质内分子电电极化

25、强度矢量等于单位体积电介质内分子电矩的矢量和矩的矢量和 单位单位: 库仑米库仑米， Cm-2由电荷守恒由电荷守恒-内SSqSP)(d穿过穿过dS 之电量之电量ddqnqlSPS -)()(ddVSVSP2 与与 的关系的关系Pq在极化了的电介质内取一个面元矢量在极化了的电介质内取一个面元矢量 ,其中其中 为单为单位法线矢量。因极化而穿过此面元的极化电荷。位法线矢量。因极化而穿过此面元的极化电荷。ndSe dS nenen为单位体积内分子数，为单位体积内分子数，l为正负电荷中心相对位移为正负电荷中心相对位移+ +电介质n0,2ell电介质n0,2edddqnqlSPS 电解质表面极化电荷分布电解

26、质表面极化电荷分布ndqP edS 例: 求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷. 已知极化强度矢量已知极化强度矢量P 均匀极化均匀极化P为常数为常数 球关于球关于z轴旋转对称轴旋转对称 其表面任意一点的极化电荷面密度其表面任意一点的极化电荷面密度 e 只与只与 有关有关,则有则有 最最大大9 90 0左左半半球球9 90 0右右半半球球eeeeeP00,20,0,cos，、，EEE0E/q/q-3、退极化场、退极化场0EEE u在电解质外，在电解质外，和和E0成一定夹角成一定夹角u在电解质内，在电解质内，E和和E0处处相反。处处相反。u对于球形和椭球形，电解质内对于球形和椭球形，电解质内E是匀

27、强场。是匀强场。极化电场分布极化电场分布 求极化电荷在球心求极化电荷在球心O处产生的退极化场处产生的退极化场 即已知电荷分布求场强的问题即已知电荷分布求场强的问题 电荷是面分布，电荷是面分布， 可以在球坐标系中取面元可以在球坐标系中取面元dS dS上的极化电荷上的极化电荷ddPRdSPdSdqsincoscos2ddPRdqdEosincos441020n对称性分析：对称性分析：n退极化场由面元指向退极化场由面元指向O（如图）（如图）n只有沿只有沿z轴电分量未被抵消，且与轴电分量未被抵消，且与P相反相反 整个球面在球心整个球面在球心O处产生的退极化场处产生的退极化场ddPdEdEozsinco

28、s4)cos(20-02020sincos4ddPE03P-ddPdEosincos40实验证明实验证明EPe02) 适用于大多数各向同性介质适用于大多数各向同性介质3) e极化率极化率，介质之属性，与，介质之属性，与 无关无关E4、 与与 的关系的关系PE1) P E，这里是，这里是 ，而不是，而不是 EEE00E三电位移矢量三电位移矢量)(0)(1d内SSqSE在各向同性介质中：在各向同性介质中：)(00)(1内Sqq)(0)(0d)(内SSqSPE-)()(d内SSqSP1. 电位移矢量电位移矢量D【定义定义】：电位移矢量：电位移矢量001eDEPE 2、介电常数、介电常数 er 1PE

29、D0EDe100rDE EPe0 介质的相对介电常数介质的相对介电常数（无限大、各向同性均匀介质）（无限大、各向同性均匀介质） 对各向异性介质，对各向异性介质， 、e 均为张量，线性关系式亦较复杂。均为张量，线性关系式亦较复杂。 对非线性介质，除线性项外，还有非线性项。对非线性介质，除线性项外，还有非线性项。3、介质中的高斯定理、介质中的高斯定理)(0)(d内SSqSD(V)0)(ddVSDS或或01eDE介质中的静电场介质中的静电场场源电荷场源电荷 自由电荷自由电荷 极化电荷极化电荷 外来电场外来电场E E0 0 退极化电场退极化电场E E 空间任一点空间任一点的电场：的电场： E=E=E

30、E0 0+ +E E120R1R2多层介质球的场多层介质球的场1113311 01044QrQrrRDERR 【例题例题1】介质中高斯定理的应用举例。介质中高斯定理的应用举例。已知：已知：球外：球外：0 球体：球体：R1、1、均匀带电、均匀带电Q球壳：球壳：R2、2 【解解】：1. 场强场强1222222 044QQRrRDErr 20323244rQErQDrR2. 电势电势rQUrR03241222 02021144QQRrRUrR R -2211131 012 01202()110844Q RrQQrRURRR R - -120R1R2多层介质球的场多层介质球的场电位移、电场强度和电势随矢径变化曲线电位移、电场强度和电势随矢径变化曲线120R1R2021设D,E,UrD,E,Ur 曲线曲线【例题例题2】球形电容器内外半径分别为球形电容器内外半径分别为R1与与R2，其间充以其间充以相对介电常数为相对介电常数为 1和和 2的均匀介质，两介质界面半径为