【精品专题】初中数学最短路径问题总结

1、培优专题训练版权所有：明光二中 邱良志专题训练之最短路径问题【问题概述】 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结 点之间的最短路径算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ，“造桥选址” ，“费马点” 【涉及知识】 “两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“三角形三边关系” ，“

2、轴对称” ，“平移”【出题背景】 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】 找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【 十二个基本问题 】【问题 1】作法图形原理AAlP两点之间线段最短连 AB ，与 l 交点即为 PPlBPA+PB 最小值为 AB在直线 l 上求一点 P，使BPA+PB 值最小【问题 2】“将军饮马”作法图形原理AAB作 B 关于 l 的对称点 B B两点之间线段最短l连 A B ，与 l 交点即为 PlPA+PB 最小值为 A B在直线 l 上求一点 P，使PB'PA+PB 值最小【问题 3】作法图形原

3、理l1P' l111分别作点 P 关于两直线的两点之间线段最短PMl对称点 P和 P，连 PP ，PPM +MN +PN 的最小值为l2与两直线交点即为 M， NPl线段 PP 的长在直线 l1、l2 上分别求点Nl2M 、N，使 PMN 的周长P''最小【问题 4】作法图形原理l1l1Q' l 1Q分别作点 Q 、P 关于直线QPMQ两点之间线段最短l1、l2 的对称点 Q和 PMP四边形 PQMN 周长的最小l2连 QP，与两直线交点即ll2值为线段 PP的长在直线 l1、l2 上分别求点为 M， NNM 、 N ，使四边形 PQMNP'的周长最小【

4、问题 5】“造桥选址”作法图形原理AMm将点A 向下平移 MN 的长AnA'M两点之间线段最短N度单位得 A，连 AB，交 nMB于点mAM +MN +BN 的最小值为N，过 N 作 NM m 于n直线 m n ，在 m 、 n ， 上分别求点 M 、N，使 MN m ，且 AM+MN+BN 的 值最小MBAB+MN【问题 6】作法图形原理AAA'B将点A 向右平移 a 个长度Bl单位得 A，作 A 关于 l 的两点之间线段最短M a Nl对称点 A，连 A B，交直线MNAM +MN +BN 的最小值为在直线 l 上求两点 M 、N(Ml 于点 N，将 N 点向左平A B+M

5、N在左)，使 MN a ，并使移a个单位得 M A''AM+MN+NB 的值最小【问题 7】作法图形原理l1P'l1PP作点P 关于 l1 的对称点P点到直线，垂线段最短lP，作 PB l2 于 B，交 l2APA+AB 的最小值为线段 Pl2在 l1 上求点 A，在 l2 上求于AB的长Bl2点 B，使 PA+AB 值最小【问题 8】作法图形原理NB'All2作点A 关于 l2 的对称点l12MB作点 B 关于 l1 的对称两点之间线段最短A为 l1上一定点，B为 l2上A， 点BANAM +MN +NB 的最小值为 线段 AB的长，连 AB交l2于 M，交l

6、1Ml2一定点，在 l2 上求点 M ， 在 l1 上 求 点 N ， 使 AM+MN+NB 的值最小于 N BA'【问题 9】作法图形原理AA垂直平分上的点到线段两B连 AB ，作 AB 的中垂线与 直线 l 的交点即为 PB端点的距离相等llPPA PB 0在直线 l 上求一点 P，使PA PB 的值最小 【问题 10】作法图形原理AA三角形任意两边之差小于Bl作直线 AB，与直线 l 的交 点即为 PBl l第三边PA PBAB在直线 l 上求一点P，使PPA PB的最大值ABPA PB 的值 最大 【问题 11】作法图形原理AA三角形任意两边之差小于l作 B 关于 l 的对称点

7、 B 作直线 A B，与 l 交点即 为 P B'B'Bl第三边PA PBAB在直线 l 上求一点P，使PBPA PB 最大值 ABPA PB 的值 最大 【问题 12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点” ，即满D足 APB BPC APC120°以 AB、 ACAE E两点之间线段最短BC为边向外作等边 ABD 、 ACE，连 CD、 BE 相交PPA+PB+PC 最小值 CD ABC 中每一内角都小于BC120°，在 ABC 内求一点 P，使 PA+PB+PC 值最小于 P ，点 P 即为所求精品练习 】E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC

8、 上有1如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形，点 一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A 2 3B 2 6C 3D 62如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， ABC 60 °，若将 ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC 、CD交于点 E、F，则 CEF 的周长的最小值为（）A2B 2 3C 2 3D 48 -3四边形 ABCD 中， BD90°，C70°，在 BC、CD上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时， AMN+ ANM 的度数为（）A120°B 130°C110

9、D1404如图，在锐角ABC中，AB4 2 ， BAC45°， BAC的平分线交 BC于点 D，M、N分别是 AD和AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是N5如图， RtABC 中，C90°，B30°，AB6，点 E在AB 边上，点 D在BC边上（不与点 B、C重合），且 ED AE，则线段 AE 的取值范围是6如图， AOB30°，点 M、N分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、 Q分别在边 OB、OA 上， 则 MP PQ QN 的最小值是 （注“勾股定理” ：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 RtABC 中， C 9

10、0°，则有 AC2 BC2 AB2 ）7如图，三角形 ABC中， OABAOB15°，点 B在 x轴的正半轴，坐标为 B（6 3，0）OC平分 AOB，点 M 在OC的延长线上，点 N为边 OA上的点，则 MAMN 的最小值是 8已知 A（2，4）、B（4，2）C在y轴上， D在x轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为此时 C、 D 两点的坐标分别为9已知 A（ 1，1）、B（4，2）（1）P为 x轴上一动点，求 PA+PB的最小值和此时 P点的坐标；Ox2）P为x轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P点的坐标；yABOx3）CD为 x轴上一条动线段， D在C点右边且 CD 1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C点的坐标；10 点 C 为 AOB 内一点（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点 E，使 CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（ 1）的条件下，若 AOB30°，OC10，求CDE 周长的最小值和此时 DCE的度数A11（ 1 ）如图， ABD和 ACE均为等边三角形， BE、CE交于 F，连 AF，求证： AF+BF+CFCD； （2）在