详解数列求和的方法+典型例题

1、_详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前n 项和公式n( a1an )na1n(n1)dSn222、等比数列的前n 项和公式na1 (q1)Sna1 (1 qn ) a1an q(q 1)1q1q3、常用几个数列的求和公式n1 n( n 1)（ 1）、 Snk 1 2 3nk12nk 2122232n 21 n( n 1)(2n 1)（ 2）、 Snk16nk 3132333n3 1 n(n 1) 2（ 3）、 Snk12第二

2、类：乘公比错项相减（等差等比）-可编辑修改 -_这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 anbn 的前 n 项和，其中 an ， bn 分别是等差数列和等比数列。例 1 ：求数列 nq n 1 ( q 为常数 )的前 n 项和。解：、若q =0 ， 则 Sn =0、若q =1 ，则 Sn123n1 n(n 1)2、若 q 0 且 q 1，则 Sn1 2q 3q2nq n 1qSnq 2q 2 3q3nq n式式： (1q) Sn1qq 2q3q n 1nq nSn1 (1 q q 2 q 3qn 1nq n )1qSn11q nn)1(qnqq 1Sn1q

3、 nnqn(1q) 21q0(q0)综上所述： Sn1 n(n1)(q 1)21qnnqn(q 0且 q 1)(1q) 21 q解析：数列 nq n 1 是由数列n 与 q n 1 对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法-可编辑修改 -_这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：（ 1）、 an111n(n1)nn1（ 2

4、）、 an(2n(2n) 211 (11)1)(2n 1)22n 1 2n1（ 3）、 ann(n12)1 11)(n11)( n2n(n1)(n2)（4）、n 212(n 1) n 111,则 Sn 11an2nn(n1)2nn2n 1(n1)2n1) 2nn(n 1)(n2、根式形式，如：an1n1n1nn例 2 ：求数列1，1，1，1，的前 n 项和 Sn123n(n2341)1=11解：nn1n(n1)Sn11111112233nn1Sn11n1例 3 ：求数列1，21，1，1，的前 n 项和 Sn13435n(n2)解：由于：1111）n(n2)=(nn22-可编辑修改 -_则： S

5、n1 (11) (11)( 11 )2324nn 2Sn1 (111n1 )22n 12311Sn42n22n4解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2 一样剩下首尾两项，还是像例3 一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 ( 1an )。a例 4 ：若函数 f ( x) 对任意 xR 都有f ( x)f (1x)2。（ 1） anf (0)f ( 1) f ( 2)f ( n 1)f (1)，数列 an 是等差数列吗？是nnn证明你的结论；（ 2）求数列 1

6、的的前 n 项和 Tn 。an 1an解：（1 ）、 anf (0)f ( 1 )f ( 2)f ( n1)f (1) （倒序相加）nnnanf (1)n1n 21)f (0)f ()f (n)f (nn101n12n21nnnn则，由条件：对任意xR 都有 f (x)f (1x)2 。2an2 2 22 （2 n 1）ann1an1n2an 1an1-可编辑修改 -_从而：数列 an 是 a12, d1的等差数列。（ 2）、1111anan 1( n 1)(n 2)n 1 n 2Tn =1111233445（ n1） (n 2)11111111nTn = 23 3 4n 1 n 2 2 n

7、2 2n 4故：=n2n4Tn解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中， 要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 5：求数列 1+ n2 n 1的前 n 项和 Snn(n1)解：令 an11)bnn2n 1n(nSn(a1b1 ) (a2b2 ) (a3b3 )(an bn )Sn(a1a2a3an ) (b1b2 b3bn )Sn(111111n

8、1)(122322n 2n 1 )21233n1Sn(1)(122322n 2n 1 )n1-可编辑修改 -_令 Tn122322n 2n 12Tn2222323n 2n式式： (1 2)Tn122 2232n 1n2nTn(1222232n 1n 2n )Tn(12 nn2 n )12Tn(n1)2 n1故： Sn(11 ) ( n 1)2n1 21(n 1) 2nn11n 1例 6：求数列 ( xn2的前n 项和Snxn )分析：将 an(x n1) 2 用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。1x n1111an(xn2=( xn)22 xn2= x2 n22 n2 (2

9、n解：x n )x n( x n)x2 n = xx )Sn x22 ( 1 )2 x42 (1)4 x 2n2 ( 1) 2n xxxSn( x2x4x 2n ) (2 22) ( 1)2(1)4( 1 ) 2n xxx（首项 x 2 ，公比 x 2 等比数列）（常数列）（首项 ( 1)2 ，公比 (1) 2 等比数列）xx、令Tx 2x4x2 nn x 1时， Tnx2x 4x2n = 1 11 n x 1 时， Tnx 2x4x 2n=x2x 2nx2x 2n 2x 21x 2x 21、令M n2222n、令 Gn(1)2(1) 4( 1 ) 2nxxx-可编辑修改 -_ x 1时， G

10、n( 1)2(1)4( 1 ) 2n1 11 nxxx x 1 时， Gn(1)2(1) 4(1 ) 2nxxx1)212n1)211x2 n 2x2( )(= x2x2 n 2= x2x 2n 2= xx1x1()2x21x 21xx2x2x 2n 2x 2x2=x 2( x2n1)=2x2 n 2x22n x2( x21)x1 x=x2n12n (x 21)x综上所述： x 1时， SnTnM nG nn2n n4n x 1 时， SnTnM nx2 n 2x22nx2n1Gnx21x 2n (x 21)这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中

11、， 我们先研究通项， 通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。例 7 ：求数列9， 99 ，999 ，的前 n 项和 Sn分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式an10 n1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：an10n1则： Sn99999-可编辑修改 -_Sn(1011)(10 21)(1031)(10n1)Sn(10110210310 n )(11 11)Sn1010 n10n110Sn10n110n91111例 8 ：Sn = 1 22 43 8n 2n解：由于： an1n1nn2n21111则：Sn = (1 23n)() （等差 +等比，利用公式求和）2482n11(1(1) n )=1)22n(n1212=1 n(n1)1 ( 1 )