2017离心率及范围专题

1、求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。 离心 率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在 每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求 离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。六种求 解这类问题的通法。一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式2 2例1若椭圆笃爲 1 a b 0上存在一点P,使 0PA 90，其中0为 a b原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率 e的取值范围。解：设P x°,y°为椭圆上一点，贝U2 2乌乌1.a b因为0PA 90，所以以OA为

2、直径的圆经过点P,所以2xax02y°0.联立、消去y°并整理得2X。(X0a)aXo)0当X。a时，P与A重合，不合题意，舍去。所以X0ab22 ab2又0X0a，所以0ab22 , 2a，a b即2 a2b2 a22 c得7 2，即3汙又0 e 1，故e的取值范围是,12二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系， 构造关于a,b,c不等式2 2例2已知双曲线冷爲1 a 0,b 0左、右焦点分别为Fi、F2,左准线 a2 b22为,p是双曲线左支上一点，并且PF|d PF2，由双曲线第二定义得PF ed，所以PF2 ePF1 .由又曲线第一定义得P

3、F2PFi2a由-得葺PF2e 1PF2eaeF1PF2 中,PFPF21F1F22c,所以2a e 1 1e.12eae 12c，即-e又e 1，从而解得e的取值范围是1,12 。三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式22例3设椭圆x2占1a b0的两焦点为F1、F2,问当离心率E在什么范围内取值时，椭圆上存在点P,使F1PF2=120O .解:设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知PF1PF2 2a.F1PF2中，由余弦定理得F1F2PF1PF2 2 2PFPF2cos F1PF2= PF1PF1 PF2=(PFiPF2)2 |PFPF2所以4a24c2PFi PF2PFi| 門

4、|所以3a24c2,得£三a 21，故e的取值范围是,12四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c 的不等式例4 如图1,已知椭圆长轴长为4,以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2 x 1上，求椭圆离心率e的取值范围。解：设椭圆的中心为0i A，并延长交y轴于N,则O1 A = a 2, NA X0.因为y20x。1 0，所以x。所以e a 20iN2Xo 2所以椭圆离心率e的取值范围为0'彳。五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式2 22、5V，例5如图2,已知椭圆亍 1a b 0的两焦点为F1、F2,斜率为K的直线 过右焦点F2

5、,与椭圆交于A、B,与丫轴交于C,B为CF的中点，若k 求椭圆离心率e的取值范围。2c4a2c2k24b2又b22C2,所以静c2k24(a2所以1e2e2k24(1 e2)1，解得k2e4 5e24因为k所以k25e24e2六、利用圆锥曲线参数方程设点, 的不等式结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c2例6若椭圆笃a2y0上存在一点P,使 0PA 90，其中O为原点，A为椭圆的右顶点,求椭圆离心率e的取值范围。解：设 P( a cos ,bsin)，由 0PA90，bsin bsin得acosacos a即（a222b )cos2na cos b 0解得cos1或 cosb2a2 b2当cos 1时，P与A重合，不合题意，舍去因此要使有解，需 1 J 21,a2 b2即匚U 1,解得£ 2.ca 2又0 e 1，故e的取值范围是2,12总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的