上海中学自主招生数学试题[带答案

1、111ba1.已知 abab，则 a b 114ba【变式】已知：aba b ，则 ab .114ba【变式】已知：aba b ，则 ab .114b a2【变式】已知2：ab22a b ，则 a b .114ba【变式】已知：aba b ，则a b .2.有个实数x，可以使得 120 x 为整数 .【变式】x 为 1,2,3 ， 2014，使得100 x 为有理数的 x 有【变式】x 为 1,2,3 ， 2014，使得5x为有理数的 x 有个.【变式】有 _个整数 x ，可以使得 120 2 x 为整数 .2014年上海中学 “创新素养培育项目 ”数学测试卷、填空题 (8×9=72

2、)个.3.如图，在 ABC 中， AB AC，CD EDF =.BF，BD CE ，用含 A 的式子表示EDF ，应为0变式】如图，在等腰直角 ABC 中， A 90 , AB AC，CD BF，BD CE ，则 EDF =.y2 3 2 x mx m (m0)x4.在在直角坐标系中，抛物线与 轴交于 A、B 两点，若 A、B两点112到原点的距离分别为OA、 OB ，且满足 OB OA3，则 m .FAED变式】如图，在等腰直角 ABC 中， A BC、CA、AB 上的点，且 CD BF，BD900，AB AC 1，D、 E、F 分别是边CE，则 S DEF 面积最大值为 5. 定圆 A的半

3、径为 72，动圆 B的半径为 r ，r 72且r 是一个整数，动圆 B保持内切于圆 A且 沿着圆 A 的圆周滚动一周， 若动圆 B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点， 则 r 共有 个可能的值 .6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下 20人，如果每船坐 8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有 人 .7. 对于各数互不相等的正整数组a1，a2， ，an （ n是不小于 2的正整数 ），如果在 i j 时有ai aj，则称 ai与a j是该数组的一个 “逆序”，例如数组 2,3,1,4 中有逆序 “2,1”，“4,3”，“4,1”， “3,1”，其逆序数为 4，现若各数互不相

4、同的正整数组a1，a2，a3， a4，a5，a6 的逆序数为 2，则a6，a5，a4， a3，a2，a1 的逆序数为11 n8. 若 n为正整数， 则使得关于 x 的不等式 21 x n11变式】若 n 为正整数，则使得关于 x的不等式 211019 有唯一整数解的 n 的最大值为n 10x n 19 有唯一整数解的 n 的最小值为二、选择题 (4×10=40)29已知 x2 ax 12 能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为 ( )DA. 3个B. 4个C. 6个D. 8个 10如图， D、E 分别为 ABC的底边所在直线上的两点， DB EC，过 A作直线

5、l ，作 DM /BA交l于M ，作 EN/CA交l于 N ，设 ABM 面积为 S1， ACN面积为 S2，则 ( )word.C. S1 S2D. S1与 S2的大小与过点 A的直线位置有关12 223210072a,b12设1 352013近 a b 的整数为 ()A 252B.504C.100711.设p1， p2， q1，q2为实数，p1 p2 2(q1q2) ，若方程，2甲： x p1x q1 0乙：2x p2x q20 ，则 ()A甲必有实根，乙也必有实根B.甲没有实根，乙也没有实根C甲、乙至少有一个有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定A.S1S2B.S1S212 22 3

6、2100723 5 72015 ，则以下四个选项中最接D. 2013三、解答题 (38分， 13题18分， 14题20分)13.直角三角形 ABC和直角三角形 ADC 有公共斜边 AC(B、D 位于 AC 的两侧 )， M、N 分 别是 AC、BD的中点，且 M、N 不重合，(1)线段 MN 与 BD 是否垂直？证明你的结论 .(2) 若 BAC 300 ， CAD 450, AC 4，求 MN 的长 .D14.是否存在 m个不全相等的正数 a1，a2， ，am(m 7) ，使得它们能全部被摆放在一个圆周 上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的 m 值，若不存在，说明理由ab

7、答案： 1. ab22 ab abbaab1 a ba b, ab2a b 2abab1,2abab212事实上，这道题是一道错题：abab1, a b,2ab件就错了，同样结果也错了，12.11, 3. EDF 90° 2baab2ab4ab ，已知条4.2, 5.11,6.44, 7.13. 8. 220, 9 C6210B， 11 C.12B.13.(1) MN BD (2) 2a1 x，a2 y，a3 y ，14.【解析】设x一个周期为 6的数列，a1 ama2a1amam 1(1) 当m0(mod 6),a1a2amama1am 1(2) 当m1(mod6) ,a1a2am(3) 当m2(mod 6),ama1am 1a1a2amama1am 1(4) 当m3(mod 6) ,a1a2amama1am 1(5) 当m4(mod 6),a41，xa51，a6yyx,a7 x,a8 y, y，xxyx0yy0x1xxyyyxyxxxy1xxy与不全相等矛盾；xyyxy1yxx与不全相等矛盾；yxyxxy1yxyx与不全相等矛盾；1xyxxy11xyxx与不全相等矛盾；显然是(6) 当综上所述，a1 a2 am a1 5(mod 6) , 当 m 0(mod 6) ，amam 1m 7 时，1 x