三角函数经典习题

1、三角函数经典练习题1在直角三角形中，两锐角为1A 有最大值 和最小值2C 既无最大值也无最小值A、B，则 sin A sin B ( B)1B有最大值 ，但无最小值2D 有最大值 1，但无最小值提示： sin Asin B sin AcosA1sin2A ，2注意到角度的取值范围，所以选B2已知集合 E |cossin ，0，F |tan sin ，则 EF 是区间（ A ）3456A（2，提示：即 函数 f (x)A周期为|4sin2(xB(4，3554 |tan4)sinB）C( ，32) ，所以选AD(35)444） sin （x 4） 是的偶函数 B周期为 的奇函数 C 周期为提示：

2、f(x) sin2(x) sin 2(x ) cos2 ( x44Bsin2x ，所以选函数 y cos(2xA x2 提示：对应的 x2 的偶函数 D 周期为 2 的奇函数4)sin2(x) cos(2 x )=422）的图象的一条对称轴方程为（B）B x4的值应该使得函数取得最值，所以选2函数 y arccos（sin x）（x ） 的值域为（ B）33B 0，5 ）6A(6，56)提示： sin x列函数中以Cx8BC（3，23)23)（ 3 ，1 ，再由 arccos u， u （ 3 ，1得，所以选22B为周期的函数是（ D ）2A y sin2x cos4x B y sin2xco

3、s4x C y sin2x cos2x Dy sin 2xcos2x提示： D 中 y sin2xcos2x 1 sin 4x ，且用定义可以检验得其余都不满足，所以选D27在直角坐标系中，曲线C 的方程是 y cos x ，将曲线 C 沿向量（ ， ） 平移，则平移后的曲线22方程是（ B）Aysin xB/ sin xC y/ sinx/2D提示：，解出/sin xx、y 代入已知式化简得，所以选B22x22Word 文档8函数 y 4 sin( 3x ) 3cos(3x ) 的最小正周期是( C )A6BC23D提示： y 5sin(3x4) ，所以选 C 9已知 是第三象限的角，且44

4、 sin cos5 ，那么 sin29A)22A3B2232 C3D提示： 2在第一二象限， sin20，由 (sin 22cos)22sin22cos5 ，解得9sin228 ，取算术根即得，所以选9A10 使得 tan(2x) 3 成立，且 x330，2)的x个数是( B)A5B4C3D提示：函数 y tan(2x 3) 的周期为因此在 4 个周期长的区间里使tan(2x 3)3的x必3有 4 个，所以选 B 11 若 是第三象限的角，sin2425 ，4A3Btan( D )23C4D提示： cos275 ， tan 22sin cos2 2 sin1 cos，代入求得，所以选 D 12

5、 当x2时，函数2f (x)A 最大值是1，最小值是C 最大值是2，最小值是提示： f(x)2sin(x，且2cos2 2sinx3cosx 的( D )B最大值是1 ，最小值是D最大值是2，最小值是x ，所以选 D 213函数 y sin( 2x) cos2x 的最小正周期是(3B)A2BCD提示：用诱导公式和差角公式得y cos(2x6) cos2x 2cos(2x 12)cos12 ，所以选 BWord 文档14已知点 P（ sincos ，tan ）在第一象限，则在 0，2 内 的取值范围是（ B）A（2，4）（，4） B（4，2）（ ，4 ） C （ ， ） （ ， ） D2 4 4

6、 2提示：sincos ，tan0 ，且在指定范围内，利用三角函数线分析，选15 若 sintancot （22） ，则（B）A（2，4）B（ ，0）4C（0， ）D 4提示：即在（，0） 内 tancot，所以选 B16 已知 sinD）sin ，那么下列命题成立的是（4，2）B（34，）A若是第一象限的角，则 coscosB若是第二象限的角，则tantanC若是第三象限的角，则 coscosD若是第四象限的角，则tantan提示：当是第四象限的角时，由已知可设2k11，2k21，其中0117 函数 y1 ，由诱导公式和正切函数的单调性知21tan 1tan1 ，即 tantan，所以选 D

7、的最大值是（ B）2 sinx cosx2A2B 2 12CD提示：，所以选 B2 2 sin（x 4）18设个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（D）A tantan1 B sinsin 2C coscos1 D 1tan（2tan2提示：2 ， 0tan1 ， tan（） 2tan2tan 2tan219 振动量 yA 4 ，3（1 tan2x3sin（ x2提示：由概念知振幅为1）2tan21tan20 ，所以选 D）的周期3B振幅依次是（ A ）C3，3得周期，所以选 A 20若 A B是锐角 ABC 的两个内角，则点 P (cos B sin A，sin B cosA)

8、 在(B)A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限提示：ABBA 0 ， sin Bsin(A) cos A ，同理 sinA cosB ，2222所以选B21 若 0sincosa， sincosb ，则( B )4AabBabC ab1D ab 1提示： a 2sin( )， b 2sin( ) ，由正弦函数的单调性得，所以选 B 4422 下列命题中正确的命题是( D)A若点 P ( a，2a)( a 0) 为角终边上的一点，则 sin2551B 同时满足 sin，cos23的角有且只有一个2C当|a| 1时， tan(arcsin a) 的值恒正D满足条件 tan(x 3) 3 的角

9、的集合是x|x kk Z提示：由 tan(x ) 3 ，得 x 33 23若 sin cos 0，则 在( B) A 第一二象限B 第一三象限提示： sin 与 cos 同号，所以选 B 24在 ABC 中，若 2cosBsin A sinC ，A 等腰直角三角形B直角三角形3 ，所以选DC 第一四象限D第二四象限则 ABC 的形状一定是(C 等腰三角形C)D等边三角形提示： A B C ， 2cosBsinA sin(A B) ，展开化简得 sin(A B) 0，所以选 C25设 y f (t) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t(时)的函数，其中 0 t 24 下表是该港口某天从 0

10、时至 24 时记录的时间 t与水深 y 的关系：t03691215182124y121511219111914911989121经长期观察，函数 y f (t) 的图象可以近似地看成函数yk Asin(t) 的图象 下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(A)A y 123sin t,t 0,246By123sin( t6),t0,24C y 123sin t,t 0,2412Dy123sin( t122),t0,24提示：当 t 0 时，有 y 12 ， t 3 时， y 15 ，这只有 A 适合，故选 A 26已知 sin2a,cos2b,则 tan 的值为( D )4A 1

11、a b1 提示： 点：B a b 1a b 1ab已知条件中的角度是欲求式中角度的C 1 aD bb 1 a2 倍，能否整体利用已知条件进行变换是解题的一个思考tansin42sin cos4sin244cos42cos21 cos2cos21 sin2b1a27 sin 150 cos1650的值等于(1 A4提示：即 sin150 (28下列等式正确的是(Asin(180o )C cos(提示： tan( )29 若ABC 内角满足A(0，4)11BC42cos150)1 sin 300 2D)sin2B sin2()2 sincos() D tan() tantan()tan Asin

12、A 0 ， sinAcosAB( ， )C(B)0，则角，3 )4DA 的取值范围是(D(34，C)提示：已知 tan A(1 cosA) 0 ， tanA0 ，又 2 sin( A )0 ，综合得30函数f (x) 3 cos(3x ) 是奇函数，则的一个值是( D )ABC3D2提示：3 cos(3x ( )23 sin 3x 31函数 y cos x tan x (2x 2) 的大致图像是C)C提示： x 0 时， y sin x ， 0 2432 给出下列三角函数： sin（n ） ；3 cos（2n 1） ； sin（ 2n 1）6A Bx 时，y sin x 2 cos(2n) ；

13、 sin(2n）；63(n Z)；其中函数值为 sin的是（ C ）33C D 5Word 文档33若 sin()3255是第二象限角， sin（2 ）5, 是第三象限的角， 则 cos（） 的值是（ B）A 5B55C 11 5D555 25提示：即 sin3，2545cos，求得 cossin 555534设一个半径为10 的水轮，水轮的圆心距水面为7，已知水轮每分钟旋转4 圈，水轮上的点 P 到水面提示：根据诱导公式逐一检验得，或对于n 取一系列特殊值检验的距离 y与时间 x （秒）之间满足函数关系 y Asin（ x） 7 ，若0 ，则其中的（ A ）AC2， A 101522， A

14、171515B， A 102D2 ， A 1715提示： A=10 ，转动的频率为 f11115 （圈/秒），周期 T 1f 15，而T，故得35函数f (x) sin( x)cos()(0）以2为最小正周期，且能在 x=2 时取最大值，则的一个值是AA)34BC7D1提示： f（x） sin（2 x2236 函数 sin x是 tanx2A 充分而不必要条件C 充要条件提示：注意角的取值范围变化1cos2x2），且 222 ，反代即得21成立的（ D ）B必要而不充分条件D既不充分又不必要条件37 函数 y3cosx52的最小值为B）A2BC14D提示：112(2cos2 x 1)3cosx

15、2，y2cos x 3cosx 2 ，且 |cosx| 138将函数sin(x )(x6R） 的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐4标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的解析式为（ B）sin(2x 5 )12xB y sin(2512)Cy sin(2 12)D yx5sin(2x 524)Word 文档5x 提示：左移得 y sin(x ) ，即 y sin(x)，再将 x变为 4 6 12 239函数 f(x) tan x(cos4 x sin4 x) 的最小正周期是( A) 22A2BCD24提示： f(x)tanxcosxsin x(x k,k2Z

16、) ，选 A40 已知 sin1 ,cos(3)1,则 sin(2)1 答案 13提示： sin(2) sin( ) 41设 t cosxsin x ，若 sin3x cos3 x0，则实数t 的取值范围是 _ 答案 2t0提示：对已知的第一式平方，变形得sin x cos x t2 1，且 2 t2 ，而2第二式即 (sin x cos x)(1 sin xcosx) 0， t(1 t 1) 0，即 t(t2 3) 0，3 t 0 ，或t 3 ；综合得 2 t 0 42函数 y cos( 2x) cos2x 的最小正周期为313 答案 提示： y cos2x sin 2x2243关于三角函数

17、的图像，有下列命题：cos2xcos2x23 sin 2xcos(2x) 3 y cos( x) 与 y cosx 的图 y sin x 与 y sinx 的图像关于 y 轴对称；像相同； y sinx 与 y sin( x) 的图像关于 y 轴对称； y cosx 与 y cos( x) 的图像关于轴对称； 其中正确命题的序号是 答案 提示：逐一作图判断44 已知一扇形的中心角为，其所在的圆的半径为 R(1)若600 ，R=10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；2)若扇形的周长为定值p ，当 为多少弧度时，该扇形有最大的面积？这一最大面积是多少？ 解析 计算弧长和扇形面积都存在有由

18、角度和弧度制表示的两种公式，显然，用弧度表示的相应公式易于记忆、便于使用，其核心公式是周长公式形，作相应的计算只需将两个核心公式中的(1)设弧长为 l ，弓形面积为 S弓 ，则12C (2 )r 和圆的面积公式 S (2 )r2 ，对于一般扇 22 换之以扇形的圆心角的弧度数 即可：600，R=10 ， l 10 (cm)，33S弓S扇 S 21 1031010 2 sin33250(3 23)(cm2) ；2)扇形周长 p2R2RR，45已知 f(x)R24，2 (2p )22 p 242 得 S扇 16 ，当且仅当sin x1 3 tan(4x100)2 p 2时，扇形取得最大面积16ta

19、n(x350)1 tan(x 350 )求 f (500) 解答 f (500) sin 500 (1 3 tan1900 )1 tan1501 tan150tan 450sin500(1 tan600 tan100 ) tan45 0tan15001 tan 450 tan150sin50 (0 cos600 cos10 0 sin 600 sin1000 cos60 ccooss16000 cossin16000 sin10 )tan 600sin 50 0 cos50010cos1022 sin 500 cos500cos10046 已知函数 y a b cos3x(b0) 的最大值为3

20、3 ，最小值为21 ，求函数 y24a sin 3bx 的单调区间、大值和最小正周期 解答 由已知条件得3，2 解得1；21，2， y1；2sin3x ，其最大值为2，最小正周期为在区间6在区间62k3 ，62k3 ，232k 3 2k(k Z )上是减函数 3k Z )上是增函数，47 已知 tan1,tan32,求sin(3)sin(22 sin cos) 的值 解答 利用和角、差角公式展开，并借助分式的性质，分子分母同除以cos2 cos2可得(sin cos ) * 2 (cos sin ) 2 tan2tan2原式sin2 cos2tan21(tan )2(tan )2( 13 )2

21、 1 ( 2)21 3已知 tan,tan 是方程 x64mx 30 的两个根( 1)证明对于任意实数 m，都有 cos()4coscos ；(2)若tan( ) 2m23，求实数m 的值 解答 (1 ) tan tan4m, tantan3，sinsin sin4m,sin3，coscos coscos即 sin cos sin cos4m,sin sin3coscos ，cos cossin() 4mcos cos,cos cossinsin4cos cos即 cos() 4cos cos；(2)由(1 )可得 tan() m ，2m23 m ，即 2m2m 3 0 ， m1 ，或 m32

22、482cos2 x3sin2x a.(a R为常数)49已知 f (x)1 )若 xR，求 f(x) 的单调递增区间；2 )若 x0，2 时，f (x) 最大值为 4，求 a 的值解答 ( 1)f (x)当 2k22x2k时，f (x)为单调增函数 ，2即当 k x3同理，当 k 6时， f ( x)为单调增函数，62k 2 时， f ( x)为单调减函数 ；32)当 x时， f ( x)有最大值 2 a 1 4, a 1650如图扇形 AOB 的半径为 1，中心角为 600 ，PQRS 是扇形的内接矩形，问 P 在怎样位置时， 矩形 PQRS的面积最大？并求出这个最大值解答 设 AOP x,

23、(x (00,600)，则 PS sinx,RS cosx sin x cot 600 ，01S (cosx sin xcot 600 )sin x sin2x23 1 cos2x 3sin(2x )3 2 333 ，所以当 2x31sin2x2其中 tan3 2 x sin x33，6，3900,即 x 300时 S 有最大值 3 351 判定函数 y log 1 1 sin 2 x sin x 的奇偶性，并求函数的最值2解析 判断函数的奇偶性，先看定义域，然后考查f(x)同 f(-x)是否具有相等或相反的关系，为方便运算，常常根据题目本身的特点而转化，为考查 f (x) f ( x) 是否

24、为 0，甚至也可考查 f(x)与 f ( x)的比值，观察本题的特点是对数函数， 不妨先考查 f( x) f (x) ,求最值时若注意到 sin x的有界性以及函数的单调性，则最值易求：函数 f(x) log1 1 sin2 x sinx 的定义域为 R,又 f( x) f(x) log1 1 sin2 x sinx 22log 1 1 sin2 x sin x log 11 0.22f ( x)f (x),即函数 f ( x)为奇函数 .令t sinx 1,1,y log1 u是单调递减函数 ,u 1 t 2 t在 1,1上是单调递减函数，2则ylog11t2t 在-1,1 上是增函数当t1

25、时， ymaxlog1 2 1log22 1 ,22当t 1时， ymin log 1 2 1 log2 2 1 2点评 (1)函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件；(2)要掌握利用函数单调性求函数最值的方法5sin52 已知函数 f0,222 2sin21 )将 f 表示为 cos 的多项式；2)求曲线 y kcos k 与 y至少有一个公共点的实数k 的取值(注 :sin3 3sin 4sin3 ) 解析 这是一道带指令性的三角形问题，欲为关于 cos 的多项式，必须考虑去分母，这就需要在做出一定变换之后，能够约分，注意到552 2 ,52 2 3,52 2 2 ,有下列解法：

26、1 ) f5 sin 12cos222sincos221 3sin4sin32sin ?22sin1 21 cos22cos 2cos cos 1;155sinsin1222222sincos1322sin2cos22122 sin3 sin2sin2)令 cos t, 0, ,t 1,1kt k 2t2 t 1.22t 2 1 k tk10,t-1（舍），或 t k21.则1< k21<1，3<k<1点评 第（ 1）问的求解方程不止上面给出的一种，还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做； 而第（ 2 ）问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解53 如图，在矩

27、形 ABCD 中， AB 1 ， BC3 ，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线 BC 与地面所成角为，矩形周边上最高点离地面的距离为f （ ） 求：1）的取值范围；） 的解析式；3） f（ ）的值域AD解答（1） BC与地面所成的角，就是直线与平面所成的角的范围为0, 2（ 2）连 BD ，则 DBC，过 D 作地面的垂线，垂足为 E ，6在 Rt BDE 中，DBE， DB 2 ，6f ( ) 2sin()(06)2216 23 ， 12 sin( 6) 1，( 3) f ( ) 2sin()(06) ， Q26即 f （ ） 的值域为 1,2 54 已知奇函数 f

28、 x 的定义域为实数集 R，且 f x 在 0, 上是增函数 是否存在这样的实数 m ，使0, 均成立？若存在， 求出适合条件的实255数 m 的值或范围；若不存在，说明理由 解答 Q fx为奇函数， f 0 0 Q f cos23f 4m 2mcos f 0 ，f cos23f 4m 2mcos ，即 f cos2Q f x 在0,上是增函数，且 f x 为奇函数，f x 在上也为增函数f 0 对所有的3f cos2 3 f 4m 2mcosf 2mcos 4m cos22 即 cos令 t cos22mcos4m ，即 2cos 4 2mcosmcos 2m 2 0 0, 2 ,4m ，c

29、os0,1 ,t设 g t t2m0,则2g00,1 ，则满足条件的m 应该使不等式 t2 mt 2m2 0 对任意的 t 0,1 均成立mt或0,解之得 4 2 22m 22m 2 ，2，1,或0,或m故满足条件的 m 存在，取值范围是m2g12，uuur uuur在 ABC 中， CBgAC 0,a,b,c 为角1 ）求 t=sinA+sinB 时， t 的取值范围；222 a b c b c a c 2）化简abcuuur uuur解答 （1）Q CBgAC1,0,2 2,A,B,Cab所对的三条边用（ 1 ）中 t 表示）uuur uuur0, CB AC, ABC 为直角三角形，又

30、sin A sin B sin A cosA 2sin Asin A1 sin A cosA cosAsin AcosA21 t t 2 t 2 t 2 2tt2 1 t 1 t 121, 2Q0A,A3,12sin A224444（2）Qbc cos A, acsin A,2b22ac b c ac2 a b4abc2 2 2 2 2c sin A ccosA c c cos A csin A c c csin A ccosAc3 sin AcosA2 2 2 2sin AcosA sin A cos Asin A cos A sin A cosAsin AcosA56 等比数列 an 中，

31、a2sincos ,a31 sin2 ，其中2（ 1）问： 2sin 21cos43 是数列an 的第几项？2242）若tan34 ，求数列 an 的前n项和Sn 解答 （ 1）设数列an 的公比是 q ，则有 q1 sin2sin cos2sin cossin cos 所以sin cosq从而通项 an sin cos131又 2sin 2cos44sin 2 cos4222故 2sin 21cos43 是数列an 的第 5 项22（ 2）Q tan4, tan4，又33211，于是 q sin cos，即 an5n5n13 1 sin22sincos4a5 ，43，可得 sin,cos55

32、n1n111511Sn 1 Ln55445n157已知函数 y asinx bcosx c 的图像上有一个最低点 ,1 ，如果图像上每点纵坐标不变，横 63坐标缩短到原来的倍， 然后向左平移 1 个单位可得 y f x 的图像， 又知 f x 3的所有正根依次为一个公差为 3 的等差数列，求 f x 的解析式，最小正周期和单调减区间解答 yasinxbcosx c a2 b2 sin xc.（其中满足 tanab,与 点 a,b 同象限），由于161 ,1是图像上最低点，所以所以yc1 sin x 2k 73112k2k6a2 b2 cc c 1 sin x将上述函数图像上每点纵坐标不变，横坐

33、标缩短到原来的1.c，.k Z,a2 b21.倍，然后向左平移1 个单位可得y c 1 sin x 1 c c 1 sin x3 3 3c,由于 f x 3 的所有正根依次成等差数列，即曲线f x 与直线 y3的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图像和性质，直线y 3 要么与曲线y f x 相切，即过 f x 的最高点或最低点，要么过曲线的拐点，又11 ,1 是图像上的最低点，故 y 3 与曲线6y f x 在最高点相切当 sin x 1时， f x 2c 1 3，所以 c 2 ，此时周期应为公差 3，这与上面已知周期 6 矛盾， 3故舍去若过曲线的拐点，当 sin x 0 时，3以 f

34、x 2sin x 3 ，由 2k323 ，此时周期 6 恰为公差3的 2倍，符合题意所x 2k 3 ,k Z得6k 3 x 6k 9 ，3 2 2 2即函数 yf x 的减区间为396k ,6k ,k Z 2259证明：2 2 2(3 cos4x) tan x cot x1 cos4x58设函数 f (x)422cos x 2cos x2 ，求函数 f(x) 的最大值和最小正周期 22tan( x)sin 2(x) 解析 虽然本题并没有要求我们化简所给函数的解析式，但可以看出化简是解决问题的一条必由之路 同样我们也不能预测化简的具体结果， 但总的目标应该是相对清楚的， 那就是设法不断地 “化繁

35、为简” 从函数解析式的结构看，首先可以想到的方法是“降低解析式的次数，减少所含的三角函数的名数”(4cos4 x 4cos2 1) 原式 22sin( x)4cos2 (x)4cos( x)4(2cos2 1)24sin(x) cos(x)442cos 2x2sin( 2 2x)1cos2x ，2即最大值为 1 ，最小正周期为2121 sin 2x21 1sin 2 2x212sin 2x418(1cos4x)228 4sin 2x 4 4cos 2x1 cos4x 1 cos4x4 2(1 cos 4 x)1 cos4x2(3 cos4x)1 cos4x右边；方法二：右边22(2 1 cos

36、4x) 2(2 2cos2 2x)2sin2 2x2sin2 2x2 2 2 2 2 22(1 cos 2x) (sin x cos x) (cos x sin x)2 2 2 24sin xcos x 2sin xcos x2 sinxcos2 x4 sin x4 cos x2 2 2 (sin x cos x)2sin 2 xcos2 x222212 sin4cosxsinxsinxcos x2x 解析 观察欲证等式两边，可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”的证明路线，也可以考虑运用从右 到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路 .方法一：左边2(sin 4 x cos4 x)2sin 2

37、xcos2 xtan2 x cot 2 x 左边60 已知函数 f (x)2sin 2 x 3sin4x4tan2x(1 ta2n 2x2) ，求该函数的定义域、最小正周期和最 sin 8x(1 tan2 2x)2大、最小值解答 f (x)4tan2xcos4x1 cos4x 3sin4x 2sin 8 x sec2 2x1 2 sin(4x2 sin 2x cos2x) 2sin(4x) ，6 sin4x 6由sin8x 0和 tan2 x有意义知 8x k (k Z)且 2x l (l Z ) ，即函数的定义域为2kx R|x ,k Z ，且 f (x)的最小正周期是 ，最大值是 2，最小值是 2 8261设 a 0，0 x 2 ，已知函数 f(x) cos2 x asinx b的最小值和最大值分别是4和0，求实数 a、b 的值解析 这是一道三角函数最值问题的逆问题， 可以按照求函数最值的思路求解， 用 a、b 表示出所求函 数的最大值和最小值后，对照已知条件建立方程组求解 .f(x)1 sin2x asin x ba2(sin x 2a)2b 1,令tsinx ，则1，且a 0 ，有 y2( (ta2)22 a2b 1，410当0，2时，ymaxyt0 ， yminyt 1ab4，此时解得 a2，b2；20 当 a21，即 a2时，62ymax yt 1 a b 0， ym