高数极限习题

1、精品资料第二章导数与微分典型例题分析客观题例1设f(x)在点X。可导,a,b为常数，则lim 丄一 =(aA abf (xo) B (a b) f (xo) C (a -b) f (xo)D f (xo)bf (x0a=x) - f (x0 b=x)-lim.x0答案Cf(x。 a x) f(x。) 一f(x° b ：x) - f(x。)Ax二 a limJ0f (Xo a x) - f (Xo)ax-b limxf(X。 b x)b xf(x°)=(a -b)f (Xo)例2( 89303 )设f (x)在x = a的某个邻域内有定义，则f(X)在X = a处可导的一个充

2、分条件是()一''丄 1!一、.f (a + 2h) - f (a + h)(A) lim h if a + I - f (a) 存在(B) lim存在hT鈕L i h丿I0h(C) lim f(a h) f(ah)存在(D) lim 心厂心一存在t2hjh答案D解题思路1(1) 对于答案(A)，不妨设x，当h ' :时， x > 0 ，则有h, 丄 1 !、丨f (a + 卫x) 一 f (a)、lim h If a+|f(a)l= lim*存在，这只表明 f(x)在 x= a处hT咼 f I hj_ 厶T0+氐 X右导数存在，它并不是可导的充分条件，故(A)不

3、对(2) 对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点 a处的函数值f (a)，因此与导数概念不相符和例如，若取1, x = af (x)=0, x 式 a则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但lim f (x) = 0 = f (a) = 1，从而f (x)在X二a处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证 (a)存在，从而(B)与(C)也不对记x=：h,则x > 0与h > 0是等价的，于是f (a) - f (a - h)f (a - h) - f (a)f (a - h) - f (a)-hf (a 二x) - f (a)Z所以条件D是f (a)存在

4、的一个充分必要条件例3(00103)设f(0)=0,则f (x)在点x = 0可导的充要条件为()1(A) lim 2 f (1 - cosh)存在 hT。h1(C) lim 2 f (h - sinh)存在 h刃h1 h(B) lim f(1_eh)存在(D) lim f(2h) - f (h) 存在h >0 h答案B解题思路当h>0时，晋冷.所以如杲f(0)存在,则必有讪 f(1 - cosh)hjh2f(1 - cosh) - f(0)二 lim f (1 一 cosh) 一 f (0) h >01 - cosh-cosh若记 u = 1 - cosh,当 h ； 0

5、时,u ； 0 ,所以lim f(1cosh)f (叭 lim f (叭 f (0)h；01 - coshh-；ouf (0)于是limh0屮中(0)这就是说由f(0)存在能推出o但是由于当h > 0时，恒有f (1 - cosh)存在u=1-cosh0 ,而不是u0lim 丄f (1 - c o s存在只能推出f(0) = lim . 存在，而不能推出he h2x )0x因此f (0)存在当 h > 0 时，1 - eh 二-h o(h),于是limfeh)hT二 limh0f (-h o(h) - f (0)h-0f (-h o(h) - f (0)-h o(h)由于当h)0时

6、，-h o(h)既能取正值，又能取负值，所以极限lim(。(心存在与 he - h o(h)卫(0)存在是互相等价的.因而1 h极限lim f (1 -e )存在与f (0)存在互相等价0 hIn ai mln 彳当h T 0时,用各比塔法则可以证明腔°=石，所以f(h s inh) lim 2h卩 h2f (h - sinh) - f (0)h -sinhhsi nh lim3一h >0 h3f(h-sinh)-f(0)广 h-sinh ,由于h > 0,于是由极限limlim 3h存在未必推出j h-si nhJ0hlim f(h 竺 空 也存在,因而f (0)未必存

7、在.h0h - sinhf (x)在点x = 0可导一定有(D)存在但(D)存在不一定f (x)在点x = 0可导23例4 (98203)函数f(X)=(X -X-2)|X - x|有()个不可导点(A) 0(B)1(C) 2(D)3答案CXo = 0,为=1,X2 = - 1考察导数的解题思路当函数中出现绝对值号时，不可导的点就有可能出现在函数的零点，因为函数零点是分段函数的分界点因此需要分别考察函数在点 存在性.解将f(x)写成分段函数f(x)(X2(X2(X2-x - 2)x(1 - x2),- x - 2)x(x2 -1),-x - 2)x(1 - x2),(x2 -x-2)x(x2

8、-1),X ： -1, -仁 x ： 0,0 乞 x : 1, 仁X.(1)在Xo = 0附近,f (x)写成分段函数f(x) =(x2jX(x2x(x2-x _2)(x2 -1)-x _2)(1 _ x2),x ： 0,x-0容易得到f_(0) = Hm _f (x) - f (0) = lim_(x2 - x - 2)(x2 -1) = 2 XT。XXT。f (0) = lim f (x) - f (0) = lim (x2 - x- 2)(1 - x2) - -2 XTOxXTO由于f _(0) = f (0),所以f (0)不存在.在X1 = 1附近，f (x)写成分段函数f (x)

9、= (x2 _ x _ 2) | x3 _ x | = «f (X) f (1)f_(1) = lim -11 一 x -1”f (X) f (1)f (1 limXT1 + X - 1x(1 x)(x2 _x_2)(1 _x)x(1 x)(x2 - x-2)(x-1)二 lim x(1 x)(x2 - x - 2) - -4X >1 _二 lim x(1 x)(x2X >1 '由于f_(1) - f (1),所以f (1)不存在. 在x2 =1附近,f (x)写成分段函数：f (x) = (x2 _ x _ 2) | x3 _ x| 口f (_1) = lim

10、便 g i/一 x +1f .(-1) = lim f(x) 一 3) XT1由于 f_( -1)二综合上述分析,X ：: 1,X_1x(1 - x)(x22x(1 x)(x2 - x - 2)(x - 1) , x _ -1-lim x(x -1)(x2 - x - 2) =0X /lim x(x-1)(x2 -x-2) = 0x )0_f (-1) =0,所以 f (-1)存在.,f (x)有两个不可导的点.设 f (x)具有一阶连续导数,F(x) = f (x) (1 | sin x|),则 f (0) = 0 是 F (x)在x =0处可导的()(A)必要但非充分条件(C)充分且必要条

11、件答案C分析 从F(x)在x二0的导数定义着手例 5(95103)将(B)充分但非必要条件(D)既非充分也非必要条件F (x) = f (x) (1 | sin x I) = f (x) f (x) | sin x |解F.(0)7mF)0XT0X _ 0x >0x-0二 f (0) f(0)lim f(x)|sinx|-f(0)|sin0|X=.0 'x- 0”F(X)-F(0)F_(0) = limXT0X0二 f (0) - f(0)于是推知F (0 F_(0)的充分必要条件是 例 6 (92103)设函数 f(X)=3X3 ' X2 n =().(A)0答案C(B

12、)1(C)2+ iim f (x) |sinx| -f (0) |sin 0|XrO 一f(0) = 0.|x| ,则使f (n)(0)存在的最高阶数(D)3解题思路 应先去掉f(X)中的绝对值2x34x32x34x3f(x)二 3x3解由 f(x) =3x3得 f (x)二且 f (x)二6x212x2”12x24xf (x)-f(0)将f (x)改写为分段函数X :： 0x _01224f (0 lim 少xT _x _ 0f (X) - f (0)f (0) = limXTX_0所以f (0)存在lim4=0x )0 X - 0lim 空 0=OXQ _ x _ 0f(x)-f(0)广

13、6x2-0 门 f_(0)=limlim0xT_x _0i0_ x _ 0f(x)-f(0)广 12x2-0 门f (0) = limlim0xto+x-0xto+ x-0所以f “(0)存在.f (x)-f (0)12x-0“f_(0)=limlim12xt_x _0x _0“f"(x)-f“(0)24x-0f (0) = limlim24XTOX - 0XTO X - 0即f_(O)f (O) 因而使f(n) (0)存在的最高阶数是2.例7 f (XCOS| X | X2| X |存在的最高阶导数的阶数等于(二 ix0A 0B 1C 2D 3答案C2解题思路 注意cos| X F

14、 cosx,所以只需考察X I X I在点X = 0的情况例8(96203)设0, f(x)在区间(f )内有定义，若当f(X)- X2，则 X = 0 必是 f(X)的(A)间断点，(C) 可导的点，且f'(0) =0)(B) 连续而不可导的点，(D) 可导的点，且f'(0) = 0答案 C解由题目条件易知f(0) = 0,因为2|f(x)-f(0)b|f(x)Mx |xxx所以由夹逼定理2f (x) - f (0)f (x)xlim |=lim|K lim | k 0X 小x1 X 2 xX Q x1 e例 9 (87103 )设 f (x)二x0,(A)0(B)1x =

15、0，则 f (0)为()x =0.(C)1(D)-1是 f (0) = 0.答案(C)解题思路因f(x)为分段函数，故它在分段点处的导数应按导数的定义,又由于是0型0f(0)“imf(x) f(0)j x 0lim01 -e"x2彳丄21 _ e=lim 2x >0x2_x22x > 0时，1-e 与x是等价无穷小因而未定式，可用洛必达法则求极限.解1 -e门0=limxx >0x - 0当u > 0时,eu -1与u是等价无穷小，所以当10 (88103)设 f(x) 可导且 f (X。)二12,则> 0时,f (x)在Xo处的微分dy与x比较是()的

16、无穷小.(A)等价(B)同阶 (C)低阶 (D)高阶答案B解题思路 根据y = f(x)在x = x0处的微分的定义:d f (x0) x.lim业0 _ xlim丄x0x212可知dy与 x是同阶的无穷小例 11 (87304)函数f (x).1xsin-,£ x0,在X = 0处(x =0(A)连续,且可导(B)连续，不可导(C)不连续(D)不仅可导,导数也连续答案B解题思路一般来说，研究分段函数在分段点处的连续性时，应当分别考察函数的左右极限；在具备连续性的条件下，为了研究分段函数在分界点处可导性，应当按照导数定义，或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在因此

17、，本题应分两步：(1)讨论连续性；(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点X = 0处的连续性1由于lim f (x) = lim xsin 0 = f (0)，可知函数f(x)在点x=0处是连续的. JOox(2)讨论函数在点X = 0处的可导性1xsin 0xf (x) f (0)由于limlimJOx _ 07x = 0处不可导.二lim sin1不存在，所以，函数f (x)在点 x >0x例12 设f (X)p1x sin , x = 0x0 ,x = 0在点x = 0可导,但是f (x)导数在点X二0不连续,则p必须满足(A 0 ： p ： 1答案B解题思路(1)当p乞1时,下述

18、极限不存在： p 1xsin.f (x) - f (0)xlimlimxQxx >0x因此f (0)不存在.当p 1时，)B 1 ： p ： 2= lim x_00 ： p 2 D 1 ： p 3pJsi n1x.f (X) - f (0) limx_QX所以 f (0) = 0.这就是说，只有当p 1时，(2)当p 1时0p -11px sin xxf(X)二二 limx >0p .1x sinxx= lim xpJx=0sin- = 0xf (0)才存在,所以选项A,C可以被排除，x = 0p -21cos ， x = 0 Xx当且仅当p -20 ,即p 2时,lim f (x

19、) =0二f (0),所以当且仅当1 ： p乞2时,xt0f (x)在点X =0可导，但是f (x)在点X = 0不连续例13 (95403)设f(X)可导，且满足条件limf(1)-f(1-x)x »02x-1,则曲线y = f (x)在(1, f (1)处的切线斜率为(A)2,(B) -2,(c)2,(D)-1答案B解记u = -x,则有limf(1)-f(1-x)x >02xlim2 耳一；0f (1 u)-f(1)f (1)例 14 设 y 二 ln(1 - 2x),则 y(10) =(9!(B)-9!10 (B) 10 -2x)(1-2x)(A)-(1答案D解题思路

20、高阶导数* _ _2y '：1 -2x(C)10! 29(1 _2x)10-9!210(D) (1 - 2x)10求高阶导数的一般方法是：先求出一阶、二阶、三阶导数；找出规律，即可写出2 1y 珂-2)(-1)2 十2)(-1)(-2)2(1 _ 2x)(1 _ 2x)y =(-2)(-1)(-2)(-2)务(1 _2x)(10)- 9! 210y莎(1 -2x)例 17(90103)f(n)(x(A) n! fn d(x)答案A设函数f (x)有任意阶导数，且 f (x) ),(n 2).(B) nfn1(x)2二 f (X)，则(C) f2n (x)(D) n!f 2n(x)解题思

21、路这是一个求高阶导数的问题，涉及到求抽象函数的导数.解 由f (x)有任意阶导数且f (x)二f 2(x),可知Ff (x)二 f 2(x)丨=2f (x) f (x) = 2 f (x) f 2(x) =2f 3(x),Ff (x)二 2f3(x) 1 =3 2f 2(x) f(X)=3 f 4(x) 依此由归纳法可知f(n) (x) = n! fn 1(x)注意 当n =1,n=2时虽然(B)也正确 但当n 2就不正确了，所以将(B)排除之;F(2)在求导数-f 2(x) I时，可将函数f2(x)看成是由y=t2与t = f(x)复合而成的F则根据复合函数的求导法则，故f 2 (x) =

22、(t2)： f (x) = 2t f (x) = 2 f (x) f (x).(初学者可能会这样做：f 2 (x)丨=2 f (x)，后面丢掉一个因子f (x).23例18 (91303) 若曲线y = x ax b和2y = -1 xy在点(1,-1)处相切，其中 a,b是常数,则()(A) a 0,b 二-2(B)a =1,b 二-3(C) a 一3,b =1(D) a 一 1,b 一1答案D解题思路 两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线，从而两曲线的斜 率也应相等.2解 曲线y = x ax b在点(1, -1)处的斜率是2 |k(xax b) x< = (2x a)

23、x厂 2 a3另一条曲线是由隐函数 2-1 xy确定，该曲线在点(1,-1)处的斜率可以由隐函数求导 数得到：323对于方程2-1 xy两边求导得到2y"3xy y - y，解出y得到此曲线在点(1,-1)处的斜率为3y2=1y*令k - k2，立即得到a = -1.再将 a - -1,x = 1,y2二-1代入y = x ax b中得出2 - 3xy2且都在x = 0处连续，若 Hm0g(x0且 g'(0)=1(D)!im°g(x) =0 且 g'(0) = 2xm0g(x)=0 .于是又有 g"(0) = iJm；了1 - COSX 例 20

24、(99103)设 f(x) =A2g(x)(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续b = -1.例 19 设 f (x),g(x)定义在(-1,1) 站x"f (X)二 x，则(2 x = 0(A)叫 g(x) = 0且 g'(0)=0，(C)xm0 g(x1且 g'(0)=0答案D解题思路 分析函数f(x)的表达式，并运用f(x)在x=0处连续这一关键条件解 既然f (x)在x =0处连续，于是必有lim f (x)二lim g(x) = 2 ,于是必有I。0 xg(x)-g(0)=|im_g =2.x >° x0其中g (x)是有界函数，则f (x

25、)在x = 0乞0(C)答案D 解题思路 解连续，但不可导(D)可导若能首先判定f(x)在X=0处可导，则(A)、(B)、(C)均可被排除f (0)二lim f(x)f(0)j°x - 01 -cosx-lim3x；o -x2x >0 -2x lim -23x 3x2斗x2(x- 0时 1 -cosx)2f(°r lim f(x) f(0)j° _x _ 0x2g(x) lim x幻一 x由于f (x)在x = 0点的左导数等于右导数，因而例 21 设 f(x)二 sinx,则(f(f(x)=(xg(x)=0 ( g(x)是有界函数)lim :x >0

26、 _f (x)在x = 0处可导.)A cos(sin x) cosxB. sin(sin x) cosxC. cos(cosx)sinxD. sin(cosx)sinx答案 A例22设f (x)是可导函数，则()A若f(x)为奇函数,则f (x)为偶函数B. 若f(x)为单调函数，则f (x)为单调函数C. 若f (x)为奇函数，则f (x)为奇函数D. 若f (x)为非负函数，则f (x)为非负函数答案A解题思路根据导数定义，利用函数的奇性解由于f (-u) - - f (u)，所以”f(x + Ax)_f(X)f (x lim' 应T0Axf-x (- x) - f (-x) lim0- x因此f (x)为偶函数.讪 m f(-x).X0f (-x)例 23 设 y = esin x，则 dy =(-2 - 2sin xsin x A e B. 2e sinxC. 2esnxcosxD.sin2 x esin2x答案D解题思路运用复合函数微分法i1 cos f (x)例 24 设 f (0)存在，lim (1)x =e,则 f (0)=()xtsin zA 0 B. 1 C. 2 C. e答案C解由x叫（11-cosf(x)“ c : )-e sin