高联平面几何训练题附答案

1、平几综合问题【例1】 在 ABC中，AB AC，其内切圆I分别切三边于点 D,E,F , P为弧EF (不含点D的弧)上一点.设线段BP交圆I于另一点Q.直线EP,EQ分别交直线BC于点M,N.证明:(1)P, F,B,M四点共圆;EM BDEN BP【例2】如图，在锐角厶ABC 中，AB AC， cosB cosC1. E、F分别是AB、AC延长线上的点,且 ABF ACE 90 .求证：BE CF EF ;设 EBC的平分线与 EF交于点P，求证：CP平分 BCF .【例3】 在三角形 ABC中，AB AC , CAB和 ABC的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和E 设K是三角形 A

2、CD的内心若 BEK 45，求 CAB所有可能的值.【例4】(* )过圆外一点P向圆0作切线PA、PB及割线PCD，过C作PA的平行线，分别交 AB、AD于 E 、 F 求证： CE EF F【例5】 在厶ABC中， B C , ABC的内切圆 Ol与BC , CA , AB的切点分别为 D ,E ,F .记AD与OI的不同于点 D的交点为 P .过点P作AD的垂线交 EF于点Q , X，丫分别是AQ与直线DE , DF的交点.求证：A是线段XY的中点.OC上任取一点 P，连结 AP，过点B作直线【例6】 如图，C为扇形AOB的弧Ab上一点，在射线BQ / AP交OC于点Q 证明：五边形 OA

3、QPB的面积与点C、P的选取无关.【例7】 给定圆1和2相交于点X和Y . Il是一条过1的圆心的直线且与2交于P、Q .12是一条过 2的圆心的直线且与 1交于R、S .求证：若P、Q、R、S四点共圆，则此圆的圆心在直线 XY上.恳大显身手1.设不过平行四边形 ABCD顶点的任意一条直线分别与直线AB BC CD DA交于E、F、G H,则圆EFC与圆GHC勺另一个交点 Q必在定直线上2.已知O O与ABC的边ABAC分别相切于P和Q，与 ABC外接圆相切于 D , M是PQ的中点（如图）.求证：POQ 2 MDC .3. 两圆OQ、OO2相切于点M , OO2的半径不小于 O。!的半径点A

4、是OO2上的一点，且满足、。2和A三点不共线.AB、AC是点A到O Q的切线，切点分别为B、C ,直线MB、MC与O 0? 的另一个交点分别为 E、F，点D是线段EF和002的以A为切点的切线的交点. 证明：当点A 在OO2上移动且保持0i、O2和A三点不共线时，点 D沿一条固定的直线移动.4.（*选做，不作要求）水平直线m通过圆0的中心，直线I ml与m相交于 M点M在圆心的右侧，直线I上不同的三点 A, B, C在圆外，且位于直线 m上方，A点离M点最远，C点离M点最近,与圆O相切时，ABCF+BCAP= ACBQ与圆O相交时，ABCF+BCAFk ACBQ与圆O相离时，ABCF+BCAP

5、> ACBQAP, BQ CF为圆O的三条切线，P, Q R为切点试证:lII提示与解：1画图可得到 Q点应在在定直线 AC上，即证 A C Q共线.连 AQ CQ EQ HQ 往证/ EQA=/ EQCE、F、C、Q共圆EQC* GFCG H、Q C共圆HQC* FGC/ GFC+/ FGC+/ FCG=180T/ EQC+Z HQC/ GFC=180,/ BAD=/ FCG / EQH+/ EAH=180t a e、q h共圆 t/ EQA=/ EHA 而 AH/ bo/ GFC=/ EHat/ EQA=/ EQCt a C Q共线，即Q必在定直线 AC上.2、如图，连接AO、AD、

6、DO和DQ . AP、AQ分别与O O相切于P、Q . AP AQ OP和OQ都是O O的半径,由对称性知POQ2AOQ，且 OA PQ 于 M2 2z ODOA OD OQOMOA ,即四OMOD又 DOMAOD, DOM sAODODMOADAPO AQO 90过D作两圆的公切线 DE，贝U CDE CAD又 OD DE，即 ODE 90MDC 90 ODM COE 90OAD DAC90 OAQ AOQ故 POQ 2 MDC .图所示，设OO1方程为22x 1y 1 ,OO2方程为222r r 1x ry设A rr cos ,rsin ,0,n U n, 2 n因为BC是OO1的切点弦，

7、所以BC方程为r1 rcosx 1 yr sin1 ,即1r rcosx r sin yr1 cos03、以M为原点，O1O2为x轴建立直角坐标系，如又易得EF II BC ,设 EF 方程为 1 r r cos x r sin y t 0 .又因为OQIIO2F，所以Xfr,ycXc所以yc11yF, xcXf（其中F Xf , yF ,C冷,yc ).rr1所以丄1 rr cosXfr si n1yF r1 cos0,rr所以1r rcos xfrsinyF2r 1 cos0 ,所以直线EF方程为1 rrcosxr s inyr2 1cos0又因为AD是OO2的以点A为切点的切线，所以直线 AD方程为r x r cosr si n yr2 0 .即 rxcos2rsin yr (1 cos )0设 D xd , yD，因