考研数学高等数学强化资料-常数项级数

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2、级数收敛性的判断和讨论 知识点回顾一基本概念1. 级数的收敛与发散定义：令，称为序列的部分和序列.如果部分和序列有极限，则称级数收敛，并且称为该级数的和，记作反之，当没有极限时，称无穷级数发散.2正项级数一般项均为非负数的级数称为正项级数.3.绝对收敛与条件收敛1）绝对收敛设的一般项为任意实数，如果由该级数各项的绝对值组成的新的级数收敛，则称该级数绝对收敛.2）定理：绝对收敛的级数一定收敛，但收敛的级数不一定绝对收敛.3）条件收敛如果级数收敛但非绝对收敛，则称级数条件收敛.二重要公式、定理1. 收敛级数的性质性质1：如果级数与分别收敛于和，和是任意两个实数，则有性质2：去掉、增加或改变级数中的

3、有限项不影响级数的收敛性.性质3：如果级数收敛，则在级数中任意加括号后所得级数 仍然收敛，且其和不变.推论：如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散.性质4（必要条件）：如果级数收敛，则它的一般项趋近于，即.注：级数一般项趋近于不是级数收敛的充分条件.2. 正项级数的收敛性1）定理：正项级数收敛的充要条件是它的部分和序列有界.2）比较审敛法：设与都是正项级数，如果除了有限项以外，都有成立，那么：如果收敛则也收敛，如果发散，则也发散.推论1：设与都是正项级数，如果存在使得当时有成立.则如果收敛则也收敛，如果发散，则也发散.推论2（极限形式）：设与都是正项级数，如果，则如果收敛，则也收敛.如果，

4、则如果发散，则也发散.3）比值判别法设是正项级数，并假设如果，则级数收敛；如果，则级数发散；如果，则级数有可能收敛也有可能发散.4）根值判别法设是正项级数，并假设.如果，则级数收敛；如果，则级数发散；如果，则级数有可能收敛也有可能发散.3. 任意项级数的收敛性1）绝对收敛与收敛的关系：如果绝对收敛，则级数收敛.2）交错级数的莱布尼兹判别法如果级数各项的正负性是交错的，则称该级数为交错级数.交错级数都可以写成如下的形式：或其中，均为非负数.关于交错级数的收敛，我们有如下定理：莱布尼兹定理：如果交错级数满足如下条件：则级数收敛.三级数收敛性的判别1. 常见正项级数的审敛法a. 几何级数的收敛性：当

5、时收敛，当时发散；级数的收敛性：当时收敛，当时发散；级数收敛性：当时收敛；当时发散；当时收敛；当时发散。这三个级数的收敛性是判断其它级数收敛性的基础.b. 正项级数审敛法的核心思想是比较审敛法，常用的审敛法是比值审敛法、根值审敛法和极限审敛法.2. 任意项级数的审敛法任意项级数收敛性的判别只用掌握莱布尼兹判别法. 考点精讲一基本判别法回顾【例1】：判断下列级数的收敛性.（1） （2）（3） （4）答案：（1）发散；（2）收敛；（3）收敛；（4）收敛.【例2】：判断下列级数的收敛性.（1） （2）（3） （4）答案：（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）收敛.【例3】：判断下列级数的收敛性.

6、（1） （2）（3） （4）答案：（1）条件收敛；（2）绝对收敛；（3）绝对收敛；（4）条件收敛.二具体级数收敛性的判别【例4】：下列级数条件收敛的是（ ）. 答案：【例5】：与均收敛，则的取值范围是.答案：【例6】：已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ）. 答案：【例7】：已知级数收敛，求.答案：小结：判断一般项级数收敛性的一般步骤：先判断的收敛性（绝对收敛），运用比值、根值或者比较判别法的极限形式，如果不收敛，然后再判断的收敛性，在此考生只要掌握莱布尼茨判别法即可.三.抽象级数收敛性的判别【例8】：，则（ ）. 条件收敛 绝对收敛 发散 收敛性与有关答案：【例9】：为的解，则的收敛性为

7、答案：绝对收敛 【例10】：设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明：级数绝对收敛.【例11】：设有方程，其中为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明：当时，级数收敛.【例12】：设.（1）求的值；（2）试证：对任意的常数，级数收敛.答案：四.收敛性的讨论1级数的性质【例13】：下列命题中成立的是.（1）收敛收敛 （2）收敛收敛（3）收敛收、 （4）条件收敛发散（5）发散发散 （6）收敛收敛答案：（1），（2），（4）. 小结：常用结论：1）2）收敛的级数加括号之后仍收敛.2.正项级数判别法的使用【例14】：判断下列命题的是否成立.（1）假设绝对收敛，并且，则也收敛（2）收敛，并且，则也收敛（3）均收敛，则收敛（4）假设收敛，则均收敛（5）假设收敛，则收敛（6）假设收敛，则收敛答案：（3），（5），（6）. 【例15】：判断下列命题的是否成立.（1）收敛，则收敛（2）收敛，则收敛（3）发散，则发散（4）收敛，则收敛（5）绝对收敛，则收敛答案：（2），（3），（5）. 【例16】：判断下列命题的是否成立.（1）收敛收敛 （2）收敛收敛（3）收敛收敛 （4）收敛收敛（5）收敛收敛 （6）均收敛收敛答案：（3），（4）. 【例17】：判断下列命题的是否成立.（1）发散 （2）