D14无穷小无穷大67239

1、 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 若0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 0 xx 时 , 函数,0)(xf(或 )x则称函数)(x

2、f为0 xx 定义定义1. 若(或 )x则时的无穷小无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )axfxx)(lim0 axf)(,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mxf)(二、二、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 m 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(xx )(x)(lim(xfx(正数正数 x ) ,记作, )(m

3、xf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节机动

4、 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinl

5、imxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limbxgaxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limbxgaxf则有bxgaxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(baxgxf)()(ba由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小ba的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若,)(lim,)(limbxgaxf且),()(xgxf则.ba

6、( p45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limbxgaxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfcxfc( c 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxp试证).

7、()(lim00 xpxpnnxx证证:)(lim0 xpnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xpnba机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5 . 若,)(lim,)(limbxgaxf且 b0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfba机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6 . 若,lim,limbyaxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当bynbayxnnnlimbaba提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下

8、页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数,)()()(xqxpxr其中)(, )(xqxp都是多项式 ,0)(0 xq试证: . )()(lim00 xrxrxx证证: )(lim0 xrxx)(lim)(lim00 xqxpxxxx)()(00 xqxp)(0 xr说明说明: 若,0)(0 xq不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx03124151

9、24532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如p47 例例5 )( 如如p47 例例6 )( 如如p47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当口算p49d1 （6）（9）三、三、 复

10、合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limaufau则有 )(lim0 xfxxaufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxaufu)(lim例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(

11、lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及两个重要极限 第一章 一、一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1. axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnaxfnn)(lim为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx 有)

12、(nxfxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(limaxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinli

13、m0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xxaxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfaxfxx)(lim0)0( xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1sincosxxx圆扇形aob的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x,

14、1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有aob 的面积aod的面积dcbax1oxxxcos1sin1故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求.cos1lim

15、20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1 (limexxx的不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数

16、列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第七节 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(

17、1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量th1th2th3th4th5th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnn