考研数学典型例题解读

1、学习必备欢迎下载解读教材典型例题，打通数学任督二脉考研数学典型例题解读极限篇如何利用教材进行有效的复习， 是大部分同学面临的主要问题。 考研数学主要是对同学们“三基”的考查，因此复习数学的时候要抓住教材，好好利用教材。怎样才能更有效地利用教材进行复习，下面就如何来复习教材中的典型例题进行解读。本文主要的目的： 教会如何更有效地读懂例题、 利用例题及模仿例题； 学习如何来复习理解数学及解题方法。注：本文以同济五版高等数学为蓝本。极限【求分式极限 lim( x) 整体思路】 共分为三种情况： （令 Ilim(x) ）( x)( x)（1）若 lim( x)0，则有 Ilim(x)lim；( x)（

2、2）若 lim( x)0， lim( x)0，则有 I；（3）若 lim( x)0 ， lim( x)0 ，则属于0 型未定式，则可用罗比达法则、等价无穷0小代换等进行求解。求解分式极限时，首先要快速判断属于（ 1）（ 2）（ 3）哪种情况，对号入座，然后决定解决问题的方法及方式。1例 1 （P58例(1x2 ) 315）求 limcos x1x0111解： 当 x0时， (1x2 ) 31 x2 ， cosx1 x2 ，所以3211x2lim (1 x2 ) 31lim32x 0 cosx1x 0123x2【解读】 当 x0 时，【注释 1：说等价无穷小时，一定要标明是在哪种极限形式下的等价

3、无穷小，这是因为等价无穷小是用极限来定义的；此处说的是“当 x0 时”。】11 1 x2 ，(1 x2 )33学习必备欢迎下载【 注释2： 看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式1x1 1 x( x0) 和 n 1x 1 1 x ( x0) （此处也可以写成11 2n1(0)和 n 11 1(0) ），由此套用公式立即可以得到2n1(1 x2 )3 1 1 x2 。】3cosx1 1 x2，2【 注释3： 看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式1 cosx 1 x2( x0) （此处也可以写成1 cos1 2 (0) ），由此套用公式立22即可以

4、得到 cosx1 1x2 。】2所以112lim (1x2 ) 31lim3 x2x 0cosx1x 01x232【注释 4：此题完全用等价无穷小代换解决。当然也可以用Taylor 公式进行求解，不过过程比较麻烦一些。 此题为0 型未定式， 若用罗比达法则会相当麻烦，不过大家可以尝试一下。 】0【注释 5：做完此题后，要掌握注释中的三个等价无穷小代换公式，做到熟练应用，最好能达到条件反射。 】3例 2（ P68 例 8）求 lim(12x) sin xx 0解:因为31xx12 x) 2 x(12x)sin x(166ln(12 x)2 x sin xe sin x利用定理 3 及极限的运算法

5、则，便有x13lim6ln(12x )2 xlim(1 2x)sin xx0sin xe6ex 031xx1ln(12 x)2 x【解读】 因为 (12x) sin x(1662x) 2x sin xe sin x【注释 1：上式的第一步是要凑出来重要极限，因此要对第二个重要极限的形式非常熟悉才11行。第二个重要极限如下：lim1e和 lim1e 。之所以写成这样的形式，0是让大家能明白， 只要我们能凑成这两种标准形式之一就可以用这个公式，不用管 里是什么。最后一步应用的是换底公式，见注释4】学习必备欢迎下载利用定理3 及极限的运算法则，便有【注释2：定理3 表明当外函数连续时，极限号可以和外

6、函数调换位置，这里的ex 是外函数。】13lim 6xln(1 2x )2 xlim(1 2x)sin xx 0sin xee6x 0【注释 3：极限的运算法则指的是两个乘积函数的极限都存在时可以写成两个函数极限的乘x1x1积。即 lim 62 xlim ln(1 2x) 2 x611 6】ln(1 2x)6limx 0sin xx 0 sin xx 0【注释 4：此题总的解题思路是：这是求幂指函数的极限，存在两种情况：一是用第二个重要极限，二是用换底公式。我们要熟练掌握这两种情况， 特别是第二种情况，它的适用范围更广。】【注释5：换底公式主要是针对类似于u(x)v( x ) (u( x)0,

7、 u( x) 不恒等于 1) 的幂指函数。对于这类函数可以采用以下方式进行求解：lim u( x)v( x)elim v( x)ln u( x)即转化成求lim v( x)ln u(x) 的极限。】例 3 （P136例 10）求 lim tan x xx 0x2 sin x解： lim tan x xlim tan xxxlim tan xxx0 x2 sin xx0x3sin xx0x3lim sec2 x1lim 2sec2 x tan x1 lim tan x1x 03x2x 06x3 x 0x3【解读】 lim tan xxlim tan xxxlim tan x xx 0x2 sin xx0x3sin xx0x3【注释 1：通过题目可以看出这是0 型极限，所以首先可以考虑用罗比达法则，但是由于分0母比较复杂，求导不方便，所以需要进行变换一下再用罗比达法则】limsec2 x13x2x 0【注释 2：对上式应用罗比达法则而得。得到的仍然是0 型极限。】0lim2sec2x tan xx 06x【注释 3：再次应用罗比达法则，这时发现limsec2 x1 ， lim tan x1（注意这是重要极x0x 0x限 lim sin x1 的一个变形，最好也要记住）。因此有 】x 0x学习必备欢迎下载1tan x1limx