绝对值的三角不等式典型例题

1、学习必备欢迎下载1.4 绝对值三角不等式教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式；4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点： 定理 1 的证明及几何意义。教学难点： 换元思想的渗透。教学过程：一、引入 ：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（ 1） ab a b（2） a b a b（ 3） ab a baa (b 0)（4）bb请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质 a

2、baa (b 0) 可以从正负数和零的乘法、除法a b 和bb法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。 因此，只要能够证明 a b a b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数， a 和 a 哪个大？显然 aa ，当且仅当 a0 时等号成立（即在 a0 时，等号成立。在 a0时，等号不成立）。同样， aa. 当且仅当 a0 时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa 、 aa 及绝对值的和的性质。二、典型例题 ：例 1、证明 （ 1） abab ，（2） abab 。证明（ 1）如果 ab0, 那么 aba

3、b. 所以 ababab .如果ab0,那么ab(ab).所以aba( b)(ab)ab学习必备欢迎下载（2）根据（ 1）的结果，有 abbabb ，就是， abba 。所以， abab 。例 2、证明ababab 。例 3、证明abacbc 。思考：如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段 AB AC CB. 当且仅当 C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的， 取 c 0（即C为原点），就得到例 2 的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab 的几何解释？定理 1如果 a, bR ,那么

4、 abab .在上面不等式中 , 用向量 a,b 分别替换实数 a,b , 则当 a, b 不共线时 , 由向量加法三角形法则 :向量 a, b , ab 构成三角形 ,因此有a+b<a+b其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的结果来证明。例 4、已知xac , ybc ，求证 ( x y)(ab)c.22证明(xy)( ab)(xa)( yb)xay b（1）xac , ybc ，22 xaccc（2）y b22由（ 1），（2）得： ( x y) (ab)c例 5、已知 xa , ya . 求证： 2x3 ya 。

5、46证明xa , ya ， 2xa , 3 ya ，4622由例 1 及上式， 2x3y2x3yaaa 。22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习 ：学习必备欢迎下载1、已知 Aac , Bbc . 求证： ( A B)(ab)c 。222、已知 xac , ybc . 求证： 2x 3 y2a3bc 。46作业：习题 1.22、3、51.4 绝对值三角不等式学案预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 了解定理 1 的两种证明思路及其几何意义 ;3.理解绝对值三角不等式。预习内容：1绝对

6、值的定义 ：aR ， | a |2.绝对值的几何意义 ：10.实数 a 的绝对值 | a |，表示数轴上坐标为 a 的点 A20.两个实数 a, b，它们在数轴上对应的点分别为A, B ，那么 | ab |的几何意义 是3. 定理 1 的内容是什么？其证法有几种？4. 若实数 a, b 分别换成向量 a, b 定理 1 还成立吗？5、定理 2 是怎么利用定理1 证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用例 1 设函数 f ( x)x1x4 1 解不等式 f ( x)2 ； 2 求函数 yf ( x) 的最值2. 绝对值三角不等式：探究 | a | ， | b |， | ab |之间的关系 . a

7、 b 0 时 , 如下图 ,容易得： | a b | a | | b | . a b0 时 , 如图 ,容易得： | ab | a | b | .学习必备欢迎下载 a b0 时 , 显然有： | ab | a |b | .综上, 得定理 1如果 a, bR ,那么 | ab | a | b | .当且仅当时 ,等号成立.在上面不等式中 , 用向量 a,b 分别替换实数 a,b , 则当 a, b 不共线时 , 由向量加法三角形法则 :向量 a, b , a b 构成三角形 , 因此有 | a b | | a | | b | 它的几何意义就是 :定理 1的证明:定理 2 如果 a,b,cR ,那

8、么 |ac | a b| b c |. 当且仅当时 ,等号成立 .3、定理应用例 2 （1） a,bR 证明 abab ，（ 2）已知x ac , ybc，求证 ( x y) (a b) c. 。22课后练习 ：1. 当 a、 bab成立的充要条件是R时，不等式1abA ab0B a2b20C ab0D ab0学习必备欢迎下载2. 对任意实数 x ， | x1| x2 |a 恒成立，则 a 的取值范围是；3. 对任意实数 x ， | x1| x3|a 恒成立，则 a 的取值范围是4. 若关于 x 的不等式 | x4 | x3|a 的解集不是空集，则a 的取值范围是x 2x 2,不等式|x|x5

9、. 方程 x2 3 xx2 3x的解集为2 x2 x 的解集是6. 已知方程 | 2x1 | 2 x1 |a1 有实数解，则 a 的取值范围为。7. 画出不等式 x y 1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1、 x1x11;2、 x2 y1.8. 解不等式： 1、 2x 1 x 1 ; 2、 x21;x13、 x 1 x 2 3 ; 4、 x 2 x 1 3 0.9. 1 、已知 xa , y a . 求证： 2x 3 y a 。46学习必备欢迎下载2 、已知xac4, ybc .求证：62x3y2a3bc 。3 、已知Aas3, Bbs, C3cs .3求证：( ABC )(

10、abc)s10. 1 、已知xa , ya. 求证：xya.x2、已知xch, yc0. 求证：h.y学习必备欢迎下载参考答案 :课后练习1. B.2、 a 33 、a4 4、 a 75、-3 x =-2 或 x =0x<0 或 x>2 6、 -3<=a<-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：x0， y0 ，x y1 .其图形是由第一象限中直线y1x 下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x y 1O 为的图形是以原点中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究： 利用不等式的图形解不等式1. x 1 x 1 1;2 x 2 y 1.答案： 1、-0.5<x<0.52.为一菱形区