第31不定积分的第一类换元积分法

1、第一节不定积分(之二) 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法 第一类换元法第一类换元法xxgxgfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设, )()(ufuf)(xgu 可导,xxgxgfd)()(cxgf)()(d)(xguuuf)()(xgucuf)(dxgfxxgxgfd)()(则有)(xgu 令一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理.,)(有原函数设uf,)(可导xgu 则有换元公式xxgxgfd)()(uufd)()(xgu )(d)(xgxgf(也称换元法换元法即xxgxgfd)()(, 凑微分法凑微分法)cos5xdx132dxx

2、1(cos5 )55xdx1ln 322xc1(sin5 )5xc例例1.1.求求解解: cos5xdx1(cos5 )(5 )5x dx例例2.2.求求解解: 132dxx112232dxx11(23)232dxx例例3.3.求求21(1)1dxxx x：又如1arcsincx 2211 ( )dxxx21( )11 ( )dxx 原式原式=1(1)dxxx解：解：原式原式 =22(1)dxxx221dxx2arctanxc221d1( )xaxa例例4. 求求.d22xax解解:22dxax)()(112axdaxa1caxa)arctan(1想到公式21dxxcx arctan考虑求84

3、d2xxx222)2(dxxcx)22arctan(21)2( xd例例5. 求).0(d22axax解解:2d1 ( )xaxa2d( )1 ( )xaxacax arcsin22dxax试求xxx28d222) 1(3dxxcx)31arcsin() 1( xdcxaxaaln21例例6. 求求.d22 xax解解:dxxaxa)()(1dxxaxa)11(原式原式=a21xaxxaxdda21xaxa)(d a21xalnxalncxaxa)( da21(拆项法拆项法)例例7. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxcx ln21ln

4、21例例8. 求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1 (xdxxe1)e1 (dxcx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1 (dcx)e1ln()1(elne)e1ln(xxx两法结果一样两法结果一样例例9. 求解解:2sin xdx3sin xdx2sin xdx1 cos22xdx12dx1cos2(2 )4xdx11sin224xxc2sinsinxxdx2(1 cos) cosx dx 31coscos3xxc 例例10.10.求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan2

5、4x5tan51x3tan32xtanc例例12.12. 求求sin4 cos3xxdx解解:原式原式=1sincossin()sin()2利用公式利用公式1(sin7sin )2xx dx1cos714x 1cos2xcxxxsindsin11sin1121例例13. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21cxsin1lncxxsin1sin1ln21xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx cxxtansec

6、ln同样可证xxdcsccxxcotcscln(12)(13)二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(若所求积分 ( )( ) dfttt(易求)，难求，( )df xx( )xt作变量替换代入原式中有( )df xx定理定理 . 设不定积分)(tx其中是单调可导单调可导函数函数 , ,0)( t)()(ttf具有原函数 ,tttfxxfd)()(d)(.)()(1的反函数是其中txxt则有换元公式( )d ,f xx作变量替换)(tx且1( )( )

7、txf tc1( )fxc例例14. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22ca242sin2ttax22xa taxarcsincxax222122atttcossin22sin2ax22axa21cos2d2tat例例15. 求.d452xxx解解: 原式=)2( xxd)2(322xxad22222arcsin(0)22axxaxc aa公式公式14：22542xxx92arcsin23xc(由公式由公式1)例例16. 求. )0(d22aaxx解解: 令,

8、 ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclncttax22ax t|ln22ax a)ln(1acccaxx|ln22xa1| c例例17. 求21d .22xxx解解: 原式 221(1)1d xx(1)2ln122xxxc 22ln(0)xxac a22daxx公式公式15：(由公式由公式2)22daxx公式公式3：22ln(0)xxac a总结：总结：若被积函数含有若被积函数含有,) 1 (22xa 令令x=a sint 或或 x=a cost ,)2(22ax 令令x=a tant 或或x=a cott,)3(22ax 令令x=a sect 或或x=a csct作变换后，化去根式作变换后，化去根式.作业作业练习题练习题3.1（p68）：