株洲数学家教：二次函数闭区间最值问题

1、一、复习abacabxay44)2(22配方：2(0),yaxbxc axr 的最大值或最小值abacyabxaabacyabxa442,0442,02max2min时，时，223:yxx引求例的最值变式：改变此函数的定义域0 , 2) 1 (x例例1、已知函数、已知函数f(x)= x22x 3.（1）若）若x 2，0 , 求函数求函数f(x)的最值；的最值；10 xy2 3例例1、已知函数、已知函数f(x)= x2 2x 3.（1）若）若x 2，0 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；10 xy2 34 1 （2）若）若x 2，4 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；例例1 1、已知

2、函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；y10 x2 34 1 2125 （3）若）若x ,求求 函数函数f(x)的最值；的最值；25,21例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3 3（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若

3、）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2110 xy2 34 1 232123,21 （4 4）若）若xx ， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值； （5）若若 xx00，22时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. .例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）

4、若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,2110 xy2 34 1 2(0) , m nyaaxbxc在闭区间上求二对称轴次函数最值的一区:间骤 般步定定abacabxay44)2(:)(22配方一,2nmab是否属于闭区间（二）判断 2,2bmna、abacyabx44,22min时最大值在闭区间端点处取得，为离对称轴较远的端点对应的函数值。,2bm na1、小的为最小值其中大的为最大值与出上是单调函数，分别求在,),()(,)(nfmfnmxf上的最值，在练习：求2022xxy1) 1(:2xy解82002 , 02 , 01minmaxyxyx时，

5、时，上单调递减且函数在2(),0yaxbxcnam对在上最值的求法可类似推得（6）若若 xxtt，t+2t+2时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. .例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21（5）若若 xx

6、00，22时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. .解析解析: 因为函数 f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,求函数的最值, 要看区间t,t+2与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:x=1tt+210 xy2 34 1 （6 6）若）若 xxtt，t+2t+2时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. .tt +2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，

7、求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,2110 xy2 34 1 tt +2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求

8、函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（6 6）若）若xxtt，t+2t+2时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. . 25,2123,2110 xy2 34 1 tt +2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（6 6）若）

9、若xxtt，t+2t+2时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. . 25,2123,2110 xy2 34 1 tt +2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（6 6）若）若xxtt，t+2t+2时，时， 求函数求函数f(x)

10、f(x)的最值的最值. . 25,2123,2110 xy2 34 1 tt +2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 2x 3. 3.（1 1）若）若xx 2 2，00, ,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（6 6）若）若xxtt，t+2t+2时，时， 求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. . 25,2123,21则由上

11、图知解为: 当t+21(t-1)时 f(x)max=f(t)=t2-2t-3 f(x)min=f(t+2)=t2+2t3 当 t1 t+2 (-1 t1) 时f(x)min=f(1)=-4 当t 1 时 f(x) max=f(t+2)=t2+2t3 f(x) min=f(t)=t2-2t-3 若t1 (-1 t ) 时f(x)max=f(t)=t2-2t-3若t1 ( t )时 f(x) max=f(t+2)=t2+2t3“轴定区间变轴定区间变”的二次函数最值问题的二次函数最值问题最值最值在端点及对称轴处取得在端点及对称轴处取得. .最值随动区间在定最值随动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变

12、化而变轴的左、右两侧及包含定轴的变化而变化化要注意开口方向及端点离对称轴距离。要注意开口方向及端点离对称轴距离。“轴定区间变轴定区间变”的二次函数最值问题要讨论，的二次函数最值问题要讨论，讨论分动区间在定轴的左、右两侧及包含定讨论分动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴（区间中点在轴的左右两侧两种情况）轴（区间中点在轴的左右两侧两种情况）22.( )23, 2,2,f xxaxxar 例 已知，求函数的最值（定义域固定，对称轴变化）解析：因为函数f(x)=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2的对称轴为x=-a。要求最值，则要看对称轴x=-a与区间-2，2之间的位置关系，则从以下几个方面解决如

13、图：-a 当-2-a0时 f(x) max=f(2)=7+4a (0a 2) f(x) min=f(-a)=3-a2 当-a-2 时 f(x) max= f(2)=7+4a (a2) f(x) min=f(-2)=7-4a 当0-a2时 f(x) max=f(-2)=7-4a (-2 a 0) f(x) min=f(-a)=3-a2 当 -a2 时 f(x) max=f(-2)=7-4a (a -2) f(x) min=f(2)=7+4a 则由上图知解为:“轴动区间定轴动区间定”的二次函数最值问题的二次函数最值问题也也要讨要讨论，讨论论，讨论也也分动区间在定轴的左、右两侧及分动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴（区间中点在轴的左右两侧两种情包含定轴（区间中点在轴的左右两侧两种情况）况）能合并的情况要合并能合并的情况要合并. .三类题型三类题型分类讨论要注意分类讨论要注意 “一线三点一线三点”两种数学