数列的极限12

1、第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质三、小结、作业三、小结、作业1/28“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、数列极限的定义2/28r正六边形的面积正六边形的面积1a正十二边形的面积正十二边形的面积2a正正 形的面积形的面积126 nna,321naaaas3/28 一列有序排列的数一列有序排列的数 ,21nxxx （1） 称为一个称为一个（无穷）数列无穷）数列，其中的每个数称为数列

2、的，其中的每个数称为数列的项项，nx称为称为第第 n 项项或或通项通项(一般项一般项)。数列。数列(1)记为记为 1nnx或或nx。 例如例如, 8 , 4 , 2,81,41,21,2 1 nn简简记记为为。简记为简记为21 n;,2 n。或或2 n;,21n4/28 例例1 1（1） a, aq, aq2, aq3, , aqn-1,. 其中其中a,q为常数且为常数且q 0。一般项公式为。一般项公式为 xn = aq n-1。此数列简记为。此数列简记为aqn-1 或或aqn-1 。1n;,)1( , 1 , 1, 11 n:)1(1 n:)1(1nnn 。,)1(,34,21, 21nnn

3、 （2）（3）5/281. 在几何上一个数列可看成实数轴上的一个在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点点 列，也可看成实数轴上的一个动点列，也可看成实数轴上的一个动点1x2x3x4xnx注：注：2. 数列可看成是以自然数为自变量的函数：数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn = f ( n ) .6/287/28数列极限的直观定义 对对 xn: x1 , x2 , x3 , , xn , 若随着若随着 n 的无限增大的无限增大(记作记作 n )， 有有xn无无限接近某个定数限接近某个定数 a， (允许某些允许某些xn甚至全部甚至全部 xn等于等于a)， 则称则称 xn 有极限有极限(为为a)

4、或或收敛收敛(于于 a)，记作记作: xn= a 或或 xn a (n )nlim8/28例例2 2 讨论 的极限解解 因为因为 xn= = 1+ 所以所以 xn 1 (n )，即，即 xn =1。nnn 1)1( nnn 1)1( nn 1)1( nlim问题问题: 怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念， 即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？9/28 随着n ，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是 | xn-a| 无限接近(或等于)0 任给定 | xn-a| 的上界 ，不论它有多么小，只要n足够大（n 某个n），总可以使| xn-a| n 时的一切时的一切xn,

5、 ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称数列那末就称数列 xn 有有极限极限（为（为 a）, ,或者称数列或者称数列 xn 收敛收敛（于（于 a）, ,记为记为 ,limaxnn 或或 ).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限, 就说数列是就说数列是发散发散的的.11/28注意： 1） （ 0）必须可以任意小。 2）n与 有关。 3）若n( )存在，则必不唯一。 4）几何解释：x2 nx1 nx 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当naaxnnn 12/28 5) 收敛性和极限值都与数列

6、中有限个项无关。可以任意改动、增删数列中有限个项，不影响其收敛性和极限值。 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：13/28例例3. 1)1(lim 1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n即即所以所以,，取取1 ,1max n,时时则当则当nn 1)1(1nnn总总有有. 1)1(lim1 nnnn.证毕证毕14/28特别,1001 给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001 给定给定,1000时时只要只要 n。有有1000011 nx,1

7、00001 给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有注意注意: :用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时, 关键是任意给关键是任意给定定 说明相应的说明相应的n存在存在, 但不必求出但不必求出最小的最小的n., 0 15/28例例4 4 对xn= ， 证明 。证证 任给定 0，因为 | xn - 0| = 而所以可取 n( ) = max , 1。证毕。 若由可取n( )= max -1 , 1。证毕。2)1()1( nn0lim nnxnn1)1(12 11 nn111)1(12 nn116/28例例5 5.lim),(cxccxnnn 证明证明为常数为常数设设证证

8、cxn cc ,成立成立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limcxnn 说明说明: : 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.证毕证毕17/28例例6 6. 1, 0lim qqnn其其中中证证明明证证, 0 任给任给,0 nnqx要要使使,lnln qn即即,1,lnlnmaxqn 可取可取,时时则当则当nn ,0 nq就有就有证毕。证毕。. 0lim nnq,lnlnqn 只只要要;00limlim nnnq则则, 0 q若若, 10 q若若18/28例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.li

9、maxnn ,0,lim 对对axnn, axnnnn时时，恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn ，a .证证毕毕19/28二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1、有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx， 若若存存在在正正数数m， 使使得得一一切切正正 整整数数n， 恒恒有有mxn 成成立立，则则称称数数列列xn有有界界; 否否则则， 称称为为无无界界， 例如例如,，数列数列1 nnxn，数列数列nnx2 从从几几何何上上看看： 有界有界；无界。无界。数数列列xn对对应应于于点点列列可可落落于于某某个个有有界界闭闭区区间间内内。 20/28定理定理1 1 收敛的数列必

10、定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axnnnn时时，恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxmn记记,mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 证证毕毕。有有界界故故 .nx推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .21/28例例8 8 n+(-1)nn: 0, 4, 0, 8, 0, 12, 是无界的是无界的, 注意注意收敛收敛有界有界;发散发散无界无界.收敛收敛有界有界;发散发散无界无界. n+(-1)nn 发散发散. 22/28例例9 9.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 n

11、nx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当 axnnnn),21,21(, aaxnnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1 两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内. xn发散发散. 证毕。证毕。23/282、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,，使得，使得，任给定任给定21,0nn ;1 axnnn时，恒有时，恒有;2 bxnnn时，恒有时，恒有当当

12、,max21nnn 取取时，有时，有则当则当nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.证毕。证毕。24/283、子数列的收敛性、子数列的收敛性 ）（或或的的的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列子子列列子子数数列列nnnxxx： 1nnx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第

13、是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，例如，,2121knnnxxxxx： 1knkx25/28定理定理3 3 数列数列 xn 收敛于收敛于a xn 的任一子数列的任一子数列都收敛于都收敛于a证证 “” 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn .,00 axnnnn恒有恒有时时，使，使，任给定任给定,nk 取取,时时则当则当kk ，有有nnnnnkk . axkn.limaxknk “”易证易证(略略)。证毕。证毕。26/28推论推论 若xn有发散子列或有两个收敛于不同极限的子列 xn发散.例例1010 (1) (1) x xn n =

14、(-1) = (-1)n n 有子列有子列 x x2n2n =1 =11 1， xx2n-12n-1=-1 =-1 -1-1 ，(2)(2) x xn n = n+(-1) = n+(-1)n nn n 有子列有子列 x x2n2n=4n =4n 无界无界, , x x2n2n 发散发散. . x xn n 发散发散. . (-1)(-1)n n 发散发散. .27/28三、小结三、小结1.1.数列数列: :定义，几何表示，主要定义，几何表示，主要研究其变化规律。研究其变化规律。2.2.数列极限：数列极限： 直观描述，直观描述，精确定义，几何意义。精确定义，几何意义。3.3.收敛数列的性质收敛

15、数列的性质: : 有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的关系。关系。28/28作 业习题1-2 2; 3 (3); 4; 5; 6一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n 二、二、 设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny， 证明：证明：0lim nnnyx. . 练练 习习 题题1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、数

16、列极限的定义1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又