第四章高阶微分方程1

1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作1、n阶线性微分方程阶线性微分方程）（ 1 . 4)()()()(1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn上的连续函数。都是区间及其中btatfnitai)(), 2 , 1)(变为，则方程（如果) 1 . 40)(tf）（ 2 . 40)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn称（称（4.2）为）为n阶齐次线性微分方程，简称阶齐次线性微分方程，简称齐线性方程齐线性方程。2、n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程问题问题：讨

2、论（：讨论（4.1）的求解方法。）的求解方法。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作本章小结本章小结一、解的性质一、解的性质 线性微分方程解的性质：齐（非）线性方程解的叠加性；线性微分方程解的性质：齐（非）线性方程解的叠加性；n阶齐线性方程解的结构及其空间性质；基本解组及其意义；非线阶齐线性方程解的结构及其空间性质；基本解组及其意义；非线性方程与线性方程解的关系。性方程与线性方程解的关系。二、求解的方法二、求解的方法 关于线性微分方程的解法有关于线性微分方程的解法有5种：基本解组的特征根方法（或种：基本解组的特征根方法（或欧拉待定指数函数方法）；求

3、常系数非齐线性方程的特解的待定欧拉待定指数函数方法）；求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；求一般非齐线性方程特解的常数变易系数法和拉普拉斯变换法；求一般非齐线性方程特解的常数变易法；求一般二阶齐线性方程的特解的幂级数解法。法；求一般二阶齐线性方程的特解的幂级数解法。三、主要方法三、主要方法 特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方法用于求解不同形式的方程。法用于求解不同形式的方程。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作一、基本内容一、基本内容线性微分方程的一般理论：

4、解的性质线性微分方程的一般理论：解的性质;常系数线性方程的解法常系数线性方程的解法;高阶方程的降阶和幂级数解法高阶方程的降阶和幂级数解法.特征根方法、常数变易法、比较系数（同类项）法、降特征根方法、常数变易法、比较系数（同类项）法、降阶法和幂级数解法。同时注意不同的方法用于求解不同阶法和幂级数解法。同时注意不同的方法用于求解不同形式的方程。形式的方程。常数变易法、特征根法和比较系数法。常数变易法、特征根法和比较系数法。二、主要方法二、主要方法三、重点和难点三、重点和难点内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作）（ 1 . 4)()()()(1111t

5、fxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn）（ 2 . 40)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnnn阶线性微分方程阶线性微分方程n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程常系数齐线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果如果？比较系数法比较系数法laplace变换法变换法有无其它方法？有无其它方法？?欧拉指数法欧拉指数法降阶法和幂级数解法降阶法和幂级数解法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作四、例题选讲四、例题选讲txdtdxdtxd2cos44422例例1、

6、求方程、求方程 的通解。的通解。1、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求解方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：解方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：特征根方法特征根方法。2、再利用、再利用比较系数比较系数方法求原方程的方法求原方程的一个特解一个特解。（分析函数。（分析函数f(t)的特点！）的特点！）（要求学生说明如何求对应齐线性方程的通解！）（要求学生说明如何求对应齐线性方程的通解！）分析：分析：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、设特解为：、设特解为： tbtax

7、2sin2cos4、将特解代入原方程，化简得：、将特解代入原方程，化简得：ttatb2cos42sin82cos85、比较同类项的系数得到：、比较同类项的系数得到：21, 0ba从而有特解：从而有特解：tx2sin216、原方程的通解（解的结构理论）：、原方程的通解（解的结构理论）：tetccxt2sin21)(221注：还可以用复数方法求解。注：还可以用复数方法求解。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例2、求解方程、求解方程21xx 解：解：1、分析得知原方程是一个高阶微分方程，并不显含自变量、分析得知原方程是一个高阶微分方程，并不显含自变

8、量t。 于是，令于是，令 ，则有，则有px 2、原方程变为：、原方程变为：dxdppdtdxdxdpx122dxdpp3、求解新方程、求解新方程4、变量还原，有通解为：、变量还原，有通解为：3122)(4)(9ctcx3223pxc内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例3、一个物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速、一个物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速度的平方成正比例，求该物体的运动规律。（度的平方成正比例，求该物体的运动规律。（应用题！应用题！）解：解：1、分析实际问题，建立数学模型（即数学表达式）、分析实际问题，建立数学模型（

9、即数学表达式）2、背景知识：牛顿第二定理、背景知识：牛顿第二定理 f=ma3、f=mg-k.速度的平方速度的平方4、转换为数学表达式：、转换为数学表达式：222)(dtdxkmgdtxdmmg空气阻力空气阻力下降下降内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作6、求解，得到考虑空气阻力时，自由落体的运动规律为：、求解，得到考虑空气阻力时，自由落体的运动规律为：)(lntmkgchkmx 5、初始条件为：、初始条件为：00,0.dxtxdt时，内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例4、求解方程、求解方程21

10、( )0 xxxtxy 解：分析：不显含未知函数解：分析：不显含未知函数 ，于是令，于是令:x于是有于是有210dyyydtt（2阶伯努利方程阶伯努利方程bernoulli）1zy如果如果 ，又令，又令0y 11dzzdtt 得到得到因此，求解并还原变量得到原方程的解因此，求解并还原变量得到原方程的解:221()xec tcxc如果如果 ，得到原方程的一个解为：，得到原方程的一个解为：0y 内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例5 给定方程给定方程 ，其中，其中 在在 上连续，设上连续，设 是上述方程的两个解，证明极限是上述方程的两个解，证明极

11、限存在。存在。p166 756( )xxxf t( )f tt 12( ),( )tt12lim( )( )ttt分析：分析：原方程对应的齐次线性方程有基本解组：原方程对应的齐次线性方程有基本解组：231,ttee12( ),( )tt而而 是原方程的两个解，是原方程的两个解， 则由定理知则由定理知 是是12( )( )tt2312123( )( )ttttcc ec e对应齐次线性方程的解，于是有对应齐次线性方程的解，于是有则则 存在。存在。12lim( )( )ttt内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例6、求解方程、求解方程31(2).sinxxt(1)25417sin2 ;txxxet点评：点评：（1）用非齐次线性微分方程的性质（）用非齐次线性微分方程的性质（两个线性方程两个线性方程）；）；（2）常数变易法。）常数变易法。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例7 求方程求方程 的解。的解。1)0(