统计学11-教学方案

1、教 学 方 案授课题目5.3参数估计课 型讲授课 次11教学目的、要求：掌握参数估计的基本概念和方法、区间估计的基本原理、样本容量的确定。教学重点及难点：重点：区间估计的基本原理和方法、样本容量的确定难点：区间估计的基本原理和方法教学过程设计：1、 回顾上节课的主要知识内容及体系2、 承接上节内容，引入本节内容3、 讲授第三节 参数估计一、参数估计的基本概念（一）估计量在实际问题中, 经常需要我们构造适当的统计量去对总体分布中所含的未知参数(如均值方差比率等) 的数值做出估计。这时用来估计总体参数的统计量称为估计量, 它也是一个随机变量。估计量的具体数值称为估计值。例如, 可以用样本均值去估计

2、总体均值, 这里就是估计量, 当抽取一个具体的样本, 并计算出的具体数值, 就得到了的估计值。(二) 抽样误差抽样误差是由于抽样的随机性而造成样本指标和总体指标之间的误差，这种误差是抽样调查所固有的、不可避免的，也叫随机误差。抽样误差有实际误差和平均误差两种。实际误差是指某一次抽样结果所得到的样本指标和总体指标之间的误差。但由于总体指标未知，因而无法计算。抽样平均误差就是样本均值抽样分布的标准差，它是指一切可能的样本指标与总体指标之间的平均离差。它是由一系列样本均值和样本比率的标准差来反映的。它能够说明样本指标代表性大小及样本指标与总体指标之间相差的一般范围。抽样误差的大小直接影响到用样本指标

3、推断总体指标的准确性，因此，有必要对影响抽样误差的因素进行分析。影响抽样误差的因素主要有以下几个方面:1、总体标志变动程度。抽样误差与总体标志变动程度成正比。2、样本容量。抽样误差与样本容量成反比。3、抽样方法。通常重复抽样误差要大于不重复抽样误差。4、抽样的组织形式。不同的抽样组织形式其抽样误差各不相同。通常分层抽样的抽样误差较小。（三）抽样极限误差抽样极限误差又称允许误差。是指样本指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。由于总体指标是一个确定的数，而样本指标则围绕总体指标左右变动，它与总体指标可能产生正离差，也可能产生负离差，样本指标变动的上限或下限与总体指标之差的绝对值就可以表示抽样误差的

4、可能范围，我们将这种以绝对值形式表示的抽样误差可能范围称为抽样极限误差。设与为样本均值和样本比率的抽样极限误差。则有：，表明样本均值和样本比率应落在总体均值和总体比率周围，用公式表示如下：，可见抽样误差范围是以或为中心的两个的距离。这是抽样极限误差的原意，但是由于总体指标是未知的，因此，抽样极限误差的实际意义是要求被推断未知的总体指标落在样本指标的一定范围内。即：或其实，以上两种的误差范围是完全一致的。总体均值和总体比率的范围估计，可按下式计算：， （4.30）在特定的总体中，当抽样方式和样本容量确定以后，抽样平均误差就是一个定值，而抽样极限误差则可根据研究目的的不同加以规定。根据概率论的知识

5、得知，抽样极限误差通常需要以抽样平均误差为标准单位来衡量，把极限误差相应除以，得出相对数，表示误差范围为抽样平均误差的若干倍。， 值服从标准正态分布，由值从正态分布表中可查到总体参数在估值区间内的概率。反之，当给出概率保证程度或可靠性时通过正态分布表可查得值。二估计量的优良标准在对总体参数做出估计时，可能有很多估计量，例如，对总体均值做出估计时，可以用样本均值去估计，也可以用某一去估计，还可以用（其中，且）去估计。并非所有的估计量都是优良的，从而产生了评价估计量是否优良的标准。一个好的估计量应具有如下三个性质：1无偏性从平均意义上讲，一个估计量的取值应等于所估计的总体参数。因为估计量是一个随机

6、变量，所谓无偏性是指估计量的均值应等于总体参数。设统计量为参数的估计量，则 无偏性说明用这样的估计量去估计相应的总体参数没有系统的偏差，即不带倾向性的偏高或偏低，只是有随机抽样误差。2有效性有效性涉及到估计量的离中趋势，即其取值的分散程度。如果离散程度很大，那么用这个估计量来估计总体参数，其可靠性较低。而离散程度是用方差来度量的,一个好的估计量应该方差小，只有这样才能得到稳定可靠的估计值。在样本容量相同的情况下，如果有两个无偏估计量可供选择时，其中方差较小的那一个估计量相对来说就是有效程度较高的。如果在所有的无偏估计量中，有一个估计量的方差最小，则该估计量是最有效的估计量。3一致性如果随着样本

7、容量的增加，几乎可以肯定估计量的值越来越接近于总体参数值，那么这样的估计量就是总体参数的一致估计量。如果一个估计量是一致估计量，那么样本越大它就越可靠。因此，如果希望增加样本容量能得到关于总体参数的更多的信息，首先必须确定所选用的统计量是否是一致的估计量。如果不是，抽取大量的样本就会浪费时间和费用。三、参数估计方法根据估计方法的不同, 参数估计可分为点估计和区间估计。（一）点估计如果用一个统计量来作为总体参数的估计量，这种形式的估计称为点估计。也就是说，点估计是用一个估计量的单一数值来估计总体参数的。（二）区间估计区间估计是估计出总体参数所在的可能区间。点估计的优点在于它能够明确地估计总体参数

8、，但一般该值不会等于总体参数的真值，它与真值的误差估计的可靠性怎样，我们无法知道，而区间估计则可弥补这种不足之处。四、区间估计的基本原理点估计是用估计量的一个具体数值作为总体参数的估计值。如果一个估计量是无偏的, 只是说明这个估计量平均来说没有偏差, 并不等于根据任意一个样本算出的估计值与总体参数的真实值之间没有偏差。点估计方法没有给出估计值的可靠程度, 为了回答估计值的可靠程度, 需要运用参数估计的另一种方法，即区间估计。在区间估计中，我们需要寻找两个统计量和分别来估计总体参数的下限和上限，使总体参数被包括在区间（，）内的概率为： （4.31）为显著性水平，是事先给定的一个小正数，就是区间，

9、包含真实值的概率，称为置信水平或置信度。所以区间，也称作参数的置信水平为的置信区间，区间的边界称为置信限，称为置信下限，称为置信上限。（4.31）式的意义是，随机区间（，）以的概率包含着参数，或者说，有的把握断定的真实值在区间（，）内，也就是说，在建立统计量及后，及的观察值依赖于样本观察值，每次抽样获得的样本观察值将确定一个区间，在多次抽样观察所得的这样一些区间中，有些区间包含参数的真实值，而另一些不包含参数的真实值，当（4.31）满足时，说明在多次抽样观察所得的区间中，包含参数真实值的区间的频率近似地为。如，则反复抽样100次，得到的100个区间中，有95个区间包含的真实值，不包含参数的真实

10、值的区间只有5个，即包含参数真实值的区间占95%，不包含参数真实值的区间占5% 。此时，如果认为“区间（，）包含着参数的真实值”， 那么这种“认为” 犯错误的可能性比较小，其概率为0.05。可见，置信水平表达了区间估计的可靠程度，而表达了区间估计的不可靠程度。由于对不同的参数选择的统计量不同, 一般来说区间估计有如下步骤:1选择含有待估参数的一个适当的统计量,并指出该统计量所服从的分布。2对于给定的置信水平,查该统计量所服从的分布表确定出临界值, 使该统计量取以临界值为范围内的值的概率为。3对第2步经过不等式变形可得所求参数的置信区间公式。4将有关数值代入置信区间公式, 即可求出所求参数的一个

11、置信区间。五、一个总体参数的区间估计当我们研究一个总体时，关心的参数主要有总体均值、总体比率和总体方差等。下面将介绍如何用样本统计量构造总体参数的置信区间。（一）总体均值的区间估计设总体，为未知参数，为总体的一个样本。1、正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本这里将一般地求的置信区间的方法概括如下:由于，故统计量对于给定的置信水平, 查标准正态分布表得临界值(见图4-1所示)使得即利用不等式变形可得：于是，的置信水平为的置信区间为： （4.32）如何查标准正态分布表求临界值呢?由于标准正态分布表给出的是的形式, 而这里是，因此不能直接通过上式查表求出临界值。因为所以由此式即可查标准正态分布表

12、求出临界值以下例题见书上（2）当总体方差未知时, 求的置信区间这种情况下，用样本方差作为总体方差的估计量, 因为是大样本，样本均值的抽样分布近似为正态分布，于是得到总体均值的置信水平为的置信区间是 （4.33）2、正态总体、方差未知、小样本时求的置信区间当总体方差未知时, 要用样本方差代替总体方差, 这时的统计量不服从标准正态分布, 而是服从个自由度的分布, 于是,的置信水平为的置信区间是 , （4.34）如何查分布表求临界值呢? 由于分布表给出的形式是而这里是所以不能直接由上式查分布表求临界值。因为则 （4.35）所以，可通过此式查分布表求出临界值。（二）一个总体比率的区间估计前面已经知道样

13、本比率是总体比率的最优估计量。样本比率的抽样分布当样本容量足够大时近似正态分布,即近似服从因此统计量近似服从所以总体比率的置信水平的置信区间为，由于总体比率是未知数, 可以用样本比率代替, 则总体比率的置信区间为 （4.36）八、样本容量的确定（一）影响样本容量的因素总体各单位的差异程度。一般地说，总体各单位标志值的差异程度越大，即总体方差或标准差越大，则需要多抽取一些单位进行调查；反之，则可少抽一些单位。允许误差范围，即抽样极限误差。样本容量与允许误差范围成反比例关系。即允许误差范围越小，抽样估计精确性越高，则要求样本容量越多；反之，则越少。概率保证程度。概率保证程度越大，则要求应抽取的样本容量越多；反之，则越少。因而，样本容量与概率保证程度（或概率度）成正比例关系。此外，不同的抽样方法（重复抽样和不重复抽样），确定样本容量的多少也是有所不同的。在同一要求条件下，重复抽样需比不重复抽样多抽取样本单位进行调查。（二）样本容量的计算1、估计总体均值时的样本容量的计算（1）重复抽