正弦定理余弦定理知识点

1、几何作图时，存在多种情况.如已知 已知两边和其中一边的对角解三角形， A为锐角CB2B1a=bsin A一解(2)A为锐角或钝角 当a>b时有一解.2 2 25 .余弦定理a =b +c -2bccosA.若用三边表示角，余弦定理可以写为bsin A<a<b两解a _ b一解2c =a +b -2abcosC.2 2 2b =a +c -2accosB.正弦定理、余弦定理1 111. 二角形常用公式：A+ B+ C= n ; S=ab sin C = be sin A= ca sin B；2 222. 三角形中的边角不等关系：A>B：= a>b,a+b>c,

2、a-b<c ;3 .正弦定理：一a = b = c_ = 2R （外接圆直径）；si nA sin B si nC|a 二 2Rsin A正弦定理的变式：b=2RsinB ;a : b : c = sin A : sin B: sin C.c = 2Rsin C4 .正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角.已知两边和其中一边对角，求另一边的对角.a、b及A,求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数. 有如下的情况：bJ+cJcosA =2bcn J 2 -bcosB =Sac 顼C 二土2ab6 .余弦定理应用范围：(1) 已知三角形的三条边长，可求出三个内角;(2) 已知三

3、角形的两边及夹角，可求出第三边.7 .三角形面积公式csinC= 22 Trn疋 an .4 sin S'sin Cc）厂尸为M巧佝切圆半径）JF（F-小（尸十b）（F-C （戸显0心冷応旳丽卩-（鮎疋2课堂互动知识点1运用判断三角形形状例题1在厶ABC中已知acosB=bcosA,试判断 ABC的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状，可以将三角形中的边用角表示，也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状【答案】解法1:由扩充的正弦定理：代入已知式2Rsi nAcosB=2Rsi nBcosAsi nAcosB-cosAs in B=0, sin（

4、A-B）=0A-B=0 A=B即厶ABC为等腰三角形2 2 2 2 2 2解法2:由余弦定理：a a c -b二bb c -aa2=b2 a=b即厶ABC为等腰三角形2ac2bc巩固练习1在 ABC中，若b塔案】解法1:由正弦定理得：皿詈、3sin45 3 sin2 C - c2sin2 B =2bcosBcosC，试判断三角形的形状.2 22.在 ABC中，已知atanB=b tanA,试判断这个三角形的形状 cos A 2cosC sin B 、3 .已知 ABC中，有，判断三角形形状.cosA + 2cosB si nC知识点2运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择 ：

5、（1）在下述情况下应首先使用余弦定理 ：已知三条边（边边边）,求三个 角；已知两边和它们的夹角（边角边）,求其它一边和两角；（2）在下述情况下应首先使用正弦定理 ：已知两边和一 边的对角（边边角）,求其它一边和两角；已知两角和任一边（角角边、角边角）,求其它两边和一角例题2 在厶ABC中，已知 a3 , b2 , B=45 求 A、C及 c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角解法/ B=45 <90当 A=60 时 C=75当 A=120 时 C=15即b<asin BbsinC c =sin B2：设c=x由余弦定理 b = a2

6、c262 卄A b2 c2 - a2时 cos A =22bc A=60 或 120sin 452 sin15sin 45、622ac cos B将已知条件代入,丄 $6 +V222() -3整理:13x6x 1 = 0解之：2(. 3 1) 2ABC 中，tanAtan B3 求三边a、b、c.b ' c _AB、C 成等差数列，且 sin Asin C = cos2 B , S ab 4 3 ,b/ / c450在- ABC中，已知BCaA、b _31，求三内角A、B、C.2c -bC 用.【答案幕A、B、C为锐角:A B C : 270°又tan A = 1, tan

7、B = 2，由公式可得tan A tan Btan（A B） _ 1 _tanA tan B1-2-3tanA B） tarC-33tanA B C）二 t a比A B） C 11 - t a nA B） t a nD=0而 A=60, C=75.6 _ 2当c 一 时同理可求得：A=120C=15 .2巩固练习1 已知在；ABC中，.A =45 , AB = .6, BC = 2，试解该三角形4.在也ABC 中，已知 A +C =2B , tanA tanC =2 +13，求 A、B、C 的大小, 又知顶点C的对边C上的高等于4.、3，求三角形各边 a、b、c的长.知识点3解决与三角形在关的

8、证明、计算问题例题 3 已知 A、B、C 为锐角，tanA=1 , tanB=2, tanC=3，求 A+B+C 的值.【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据 角的范围确定角.本题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C .所以 A+B+C= n13 s i n -2 sins in： sin： c o-2cos cos c o s3622（cos 二 cos ： sin Jsin ：）13362cos（_：i-）二聖 cos（一）365972巩固练习1.在.：ABC中,a、b、c分别是角A、B C的对边，设a+c=2b,A-C=二,求

9、sinB的值. 32.在ABC中，a, b, c分别是A,B, C的对边长，已知a, b, c成等比数列,且a22-c = ac - be，求 A的大小及bsin B的值.c3.在.ABC中，若a =5, b =4且cos(A - B)二色，求这个三角形的面积.322 2例题4在ABC中，角A B、C的对边分别为a、b、c,证明：旦詳 沁旦 csinC【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次 【答案】证法一：由正弦定理得2 2 2 2a -bsin A -sin Bsin2 C7 cc

10、os2B -cos2A-2sin(B hA)sin(B A) = sin Csin( AB) = sin(AB)22sin2C22sin2Csin2 CsinC证法:由余弦定理得222a2=b2+c2-2bccosA,则a b = c 即晋必=-竺cosA,又由正弦定理得 c7 c7 csin Bsin C2.2a b2c=1 2sin B ?josA= sin C 2sin BcosA 二 sin(A +B) _2sin BcosA 二 sin AcosB sin BcosA 二 sin(A B) sin CsinCsinCsinCsinC证法三：sin( A _B) _ sin AcosB

11、 -sin BcosAsinCsinC正弦定理s Anas 得 s CrTc'ssin(A _B)sin CacosB -bcos A,又由余弦定s iAaBQ =s C n222a c -b a222 b c -a b2ac2bec222222 (a2 c2 b2) (b2 c2 a2) a2_b22c巩固练习3 11已知锐角三角形 ABC 中，sin（A - B） , sin（A-B）二一55（1）求证 tan A=2ta nB ; （2）设 AB =3，求 AB 边上的高.【考题再现】1 . （ 04年全国川）（A）艺（B）3（05年湖南卷）在 ABC 中，AB =3 ,崇(C)

12、 3 (D) 3.32 2已知在 ABC中，si nABC =三13 , AC = 4，则边AC上的高(sinB + cosB) sinC = 0, sinB + cos2C= 0,求A、B、C的大小.3.（春季北京）在厶ABC中,sinA+cosA=,AC=2, AB=3，求tanA的值和 ABC的面积. 24.（05年江苏卷）-ABC中,A , BC =3，则 ABC的周长为 3(A) 4.3sinB匸3(B) 4.3sini B -31 6.丿a>B2C2的三个内角的正弦值，则（ b .也ABG和也A2B2C2都是钝角三角形A2B2C2是锐角三角形A2B2C2是钝角三角形ABC 中

13、，cos2B cos2A是 A B 的（）（B）必要而不充分条件D ）既不充分也不必要条件(Ji、(C) 6sin 1 B3(D) 6sin 1 B+336丿5. （06年湖北卷）若 ABC的内角A满足 sin2A 23，贝y sin A cos A 二15A. 15B.一亦C. 5D.533336.（安徽卷）如果 A1BC1的三个内角的余弦值分别等于A. .'ABQ和：A?B2C2都是锐角三角形c.沖旧心是钝角三角形，D. .AjB1G是锐角三角形，【模拟训练】1.（北京市朝阳区二模题）在（A） 充分而不必要条件（C）充要条件cos(2A C)二-4，求 cos2A的值R + C73

14、. （04年华南师大附中）在 厶ABC中，a,b,c分别为角A, B, C的对边，且4sin2cos2A =-22（1 ）求乙A的度数（2 ）若a =勺3，bc=3，求b和c的值, 一 _ . 一 2-一 _4. （05年南通市基地学校联考）在二ABC中，边AB为最长边，且sin A sin B，则cos A cos B的最4大值是22 C5. （06年湖北八校第二次联考）已知关于x的方程x -xcosA cosB 2sin=0的两根之和等于两根之积的一2半，则.ABC - -定是（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.6. （06年黄岗市荆州市高三年级模拟）已知.

15、ABC的三个内角为 A B C所对的三边为a、b、c，若 ABC的面积为 S =a2 （b2 c2），则 tan A =2教考链接在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊 正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者 三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换.运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式S二丄ah , S二丄absin C，还要注2 2意三角形

16、内角和 A B的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解能力.参考答案课堂互动 例题1巩固练习abc1.【答案】解法1：由正弦定理2R , r为 ABC外接圆的半径，将原式化为sin A sin B sin C2 2 2 28R sin Bsin C =8R sin BsinCcosBcosC ,sin BsinC=0 , sin BsinC=cosBcosC.即 cos(B C)=0,. B C =90 , A =90.故- ABC为直角三角形解法 2:将已知等式变为 b2(1 -cos2C) C2(1 -cos2 B) = 2bcosBcosC ,

17、由余弦定理可得b2 c2 -b2a2 b2 c22ab2-ca2 c2 -b22ac2 2 2a +c -b= 2bc -2aca2b2 -c22ab ，即 b2 c2(a2 b2 -c2) (a2 c2 -b4a2也即b2 c2二a2，故ABC为直角三角形.2 .2 .2 .【答案】解法1:由已知得 旦 cosBcosA,由正弦定理得2 2sin Asin B sin Bsin A,/ sinAsinB 丰 0,二 cosBcosAsinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B, / 2A=2B或 2A=1800-2B,即 A=B或 A+B=90.二 AABC 是等腰三角形或

18、直角三角形2.2. 2 2解法2：由已知得a SinB =bsinA,由正弦定理得ab = ba ,即工 ，又由余弦定理得cosB cos AcosB cos A cosB cos A2 a2 2 二一2 ,整理得(a 2-b 2)(a 2+b2-c2)=0, / a=b,或a2+b2=c2, / ABC是等腰三角形或直角三角形 a :c - b ba2ac2bc3 解：由已知得sinB (cosi4+ 2cosB) =sint?(cos4+2cosC0 移项,整理得cosl4 sinC) + (sin2sin2C) =0* 和差化积得. B-C r F + CB-C2cos>lsinc

19、Leos2cos)=0.2 2 2将括号內用和、差角公式展开并整理得B-hC , B-Ccos 2cos2 2显然该式恒取负值，故只能有, BY 亠cosAsmOsin-sin- +cos-co>-).2 2 2 2即川=亦或B=C.眼上血是直第三角形或等腰三甬形.例题2巩固练习1【答案】解法1由正弦定理，得sinC汙沖5牛因AB罰A乎3 BC = 2, AB6由3 : 2 < 6，则有二解，即 C =60或C = 120B =180 -60 -45 =75 或 B =180 -120 -45 =15BC故 ACsi nB= AC = .31 或 AC = 3 /，- C =120

20、 , B =15 C = 60 , B = 75sin A解法2:令AC=b,则由余弦定理b2 (6)2 -2、一 6bcos45、22b2 - 2、3b 2 =0= b _1又(-6)2 =b2 22 -2 2bcosC 二 cosC =C = 60 或 C =120n NB =180°-(45 + 60=75°或 NB =180°-(45 = + 120=152【答案】由已知有 坦M，化简并利用正弦定理:b2si nCtan Bsin A cosB cos As in Bcos As in Bsin Bsin(A B) cos As in B2si nCsin

21、 C - 2si n C cos A 二 0sin B由 sZO，故 cosA、二 A=60由b =31，可设b = ( 31)k, c = 2k，由余弦定理，得=C 3 1)2k2 4k2 -2( 3 1)k2= a 二,6k由正弦定理工£ 得sin A sinC<3 csinA汰三 sin C 二a p6k由 c : b则 C是锐角，故 C =45 , B =180 - A-C = 75【答案】由已知，得 BA C，又由2A B C =180 二1B = 60 故 sin Asin C = cos2 604又由S ABC= 4,3 =ac-16=64 =(-sin Asin

22、Csin Aasin Bb8 sin B = 8 sin 60 = 4 3sin Asin A8sin C2 2 2 a c-b cosB 二 cos 60 :2ac2 2 2(a c) -b 3ac二(a c)=48 48 = 96把与联立，得=2( -6 2), c=2( .6 - .2)或 a =2(. 6 - .2), c=2(、6 2)ta n A tan C【答案】由已知 a C =2B，及 A B C =180 = B =60 , A C =120tan(A C)tanAtanC 及tan(A C)八 3, tanA tanC = 23tanA tanC =3 一3，以 tan代

23、 tanC 为一元二次方程x2 -( <3)x2.0的两个根，解方程，得tanC =1若 A = 45 , C =75，则413a =sin 60A = 45或心7=75 C 二 45b=4=4.6，sin 45asin Csin A= zl+c.3 1)、 A L 0'7sin 45A =75 , C =45，贝V a =4、38sin 60'二 4(3，2 _ . 6) c = bsin C = 8(. 3 _ 1) sin B=2si nB.2例题3巩固练习1.答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式，得2sin 山C

24、cosAC2由 A+B+Cn 得 sin C =cos 旦.又 A-C=,得山2 2 sin B =空. cos B = 1 -sin2 B = -1324224cos旦=sinB. ' ' 3322B/ sin B=2s incos2cos旦=2sin 旦 cos , / 0< <2 2 2 2 2 2 B =2?血=J392448'-cos 工 0,22.【答案】(I) ； a, b, c成等比数列2二 b = ac又 a2 -c2 = ac -be-a2 = bc在.lABC中，由余弦定理得,2 2 2cosA=bc "bc 12bc2bc

25、2(II )在:ABC中，由正弦定理得 sinbsin Absin B2b0=sin60 =ca3 【答案】解法1:由余弦定理得cosA = b-9由正弦定理得:4 sin A sin B2bc8ccosB =2ac10c5sin A sin B4c2 -98c10cc4 -8180c251-(4宀 9)210c3182c2 -1623280c23132 故 cos Ac2-936 -98c4816sin A =,716S ABC1b c sin A 二215、7解法2:如图，作.CAD =A-BAD交 BC于 D,令 CD = X则由 a =5知，BD =5 x, AD =5 x，在 CAD

26、 中由余弦定理cos(AB)(5 - x)242 - x2ADCDsi nCsin (A -B)Sabc8(5 - x)sin C 二31 化简得 9x = 9= x =1，32在：CAD中由正弦定理AD 3CD sin(A B)"sin(A-B)=4，cos2(A-B)£711=AC BC sinC =決4 5 223=15、784例题4巩固练习31 【答案】(1)证明：因为sin(A B)=-5sin(A_ B)=丄，5sin A cosB cos Asin B = 3 所以5sin AcosB一1sin AcosB -cos Asin B =- 、5cos As in

27、 Btan Atan B=2 .所以 tan A = 2tan Bn(2)因为 A B： : , sin (A B)2所以 tan(A B)tan A tan B1 - tan Atan B将tan A = 2 tan B代入上式并整理得22ta n B - 4ta n B -1 = 0 .6 2 - 6解得tan B ，舍去负值得tan B ，从而tan A二2tan B2 2设AB边上的高为CD.贝V AB =AD DB 工CDtan ACD3CD二由AB=3,得CD= 2 、6，所以AB边上的高等于2 、6tan B 2, 6考题再现【答案】由余弦定理，得cosA冷，A=60，所以AC边

28、上的高BD二ABqg罗B.【答案】解法 1: 由 sin A(sin B cosB)sin C = 0 得 sin Asin B sin Acos Bsin( A B) = 0.所以 sin Asin B sin AcosB sin AcosB -cosAsin B = 0.即 sin B(sin A -cosA) = 0.因为 B （0,二），所以 sinB = 0，从而 cosA =sin A.3由 A (0.7),知 A .从而 B C = 443由 sin B cos2C = 0得sin B cos2(恵一B) = 0.4即 sin B -sin 2B=0.亦即 sin B -2sin

29、 B cosB = 0.1由此得cosB , B ,C .所以A , B ,C = 231243jijr123j解法 2： 由 sin B cos2C 二 0得 sin B 二-cos2C 二 sin( 2C).2,n或 2C - B2 23兀由 0 ： B、C ：二，所以 B2C或 B =2C -一.即 B 2C2 2由 sin A(s in B cos B) si n C = 0 得 sin Asin B sin AcosB s in (A B) = 0.所以 sin Asin B sin AcosB sin AcosB cosAsin B = 0.即 sin B(sin A - cos

30、A) = 0.因为 sin B = 0，所以 cos A 二 sin A.由A - (0, u),知A .从而4B+2C= 不合要求21再由2C-B廿，得厂313，C5:12所以3.【答案】解法 1 ：T sin A+cosA= , 2 cos (A 45 ° )TtA , B42 .cos (A 45)=-2又 0°v Av 180°, A- 45° =60°, A=105° tan A=tan (45+60°)1 J 2 3.1 、3 sin A=sin105=sin (45+60°)=sin45 ° cos60 ° +cos45sin 602.611 &abc= AC- AEfein A= 224【答案】在，ABC内，由正弦定理得2 5 6 § ( .2.6 ).4AB4ACBCsin Bsi nCs"A sin 31332sin B -2 2 ACin B,AB =2 -3sinC =2.3sin 命A B "2.3sin ! B f周长为 AB AC BC =2.3 sin i B:Iji+ si nB +3= 2廳cosB +3 =6sin ! B + +3