文科数学北师大版练习：第八章 第八节　第二课时　最值、范围、证明问题 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5课时作业a组基础对点练1已知椭圆c1：1(a>b>0)的右顶点为a(1,0)，过c1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆c1的方程；(2)设点p在抛物线c2：yx2h(hr)上，c2在点p处的切线与c1交于点m，n.当线段ap的中点与mn的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：(1)由题意，得从而因此，所求的椭圆c1的方程为x21.(2)如图，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(t，t2h)，则抛物线c2在点p处的切线斜率为y|xt2t.直线mn的方程为：y2txt2h.将上式代入椭圆c1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即4(1

2、t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线mn与椭圆c1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h24>0.设线段mn的中点的横坐标是x3，则x3.设线段pa的中点的横坐标是x4，则x4.由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1，或h3.当h3时，h2<0,4h2<0，则不等式不成立，所以h1.当h1时，代入方程得t1，将h1，t1代入不等式，检验成立所以，h的最小值为1.2已知点a(0，2)，椭圆e：1(a>b>0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点

3、a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程解析：(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)>0，即k2>时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d，所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t>0，sopq.因为t4，当且仅当t2，即k±时等号成立，且满足>0，所以，当opq的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.3.如

4、图，在矩形abcd中，|ab|4，|ad|2，o为ab的中点，p，q分别是ad和cd上的点，且满足，直线aq与bp的交点在椭圆e：1(a>b>0)上(1)求椭圆e的方程；(2)设r为椭圆e的右顶点，m为椭圆e第一象限部分上一点，作mn垂直于y轴，垂足为n，求梯形ormn面积的最大值解析：(1)设aq与bp的交点为g(x，y)，p(2，y1)，q(x1,2)，由题可知，从而有，整理得y21，即为椭圆e的方程(2)由(1)知r(2,0)，设m(x0，y0)，则y0，从而梯形ormn的面积s(2x0)y0，令t2x0，则2<t<4，s，令u4t3t4，则u12t24t34t2

5、(3t)，当t(2,3)时，u>0，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，u<0，u4t3t4单调递减，所以当t3时，u取得最大值，则s也取得最大值，最大值为.4(20xx·贵阳监测)已知椭圆c：1(a>b>0)的离心率为，且椭圆c上的点到一个焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆c的方程；(2)已知过点t(0,2)的直线l与椭圆c交于a、b两点，若在x轴上存在一点e，使aeb90°，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：解得：a，c，b21，故椭圆c的方程为x21.(2)由已知可得，以ab为直径的圆与x轴有公共点设

6、a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中点为m(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，12k212，x0，y0kx02，|ab| ，解得：k413，即k或k.b组能力提升练1(20xx·武汉市模拟)已知抛物线x22py(p>0)的焦点为f，直线x4与x轴的交点为p，与抛物线的交点为q，且|qf|pq|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过f的直线l与抛物线相交于a，d两点，与圆x2(y1)21相交于b，c两点(a，b两点相邻)，过a，d两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点m，求abm与cdm的面积之积的最小值解析：(1)由已知得f(

7、0，)，p(4,0)，q(4，)，|qf|，|pq|，因为|qf|pq|，所以·，解得p2或p2(舍去)，所以抛物线的方程为x24y.(2)设l：ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程，得消去y，得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.由y，得y.所以直线ma：y(xx1)，即yx.同理可求得直线md：yx.联立方程，得解得m(2k，1)所以点m到l的距离d2.所以sabm·scdm|ab|·|cd|·d2(|af|1)(|df|1)d2y1y2d2·d21k21，当且仅当k0时取等号所以当k0时，abm与cdm面积之积

8、的最小值为1.2已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为f(c,0)，离心率为，点m在椭圆上且位于第一象限，直线fm被圆x2y2截得的线段的长为c，|fm|.(1)求直线fm的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点p在椭圆上，若直线fp的斜率大于，求直线op(o为原点)的斜率的取值范围解析：(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线fm的斜率为k(k>0)，f(c,0)，则直线fm的方程为yk(xc)由已知，有()2()2()2，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线fm的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，

9、或xc.因为点m在第一象限，可得m的坐标为(c，c)由|fm| ，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点p的坐标为(x，y)，直线fp的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t >，解得<x<1，或1<x<0.设直线op的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x(，1)时，有yt(x1)<0，因此m>0，于是m ，得m(，)当x(1,0)时，有yt(x1)>0.因此m<0，于是m ，得m(，)综上，直线op的斜率的取值范围是(，)(，)3已知圆c

10、：(x1)2y2r2(r>1)，设a为圆c与x轴负半轴的交点，过点a作圆c的弦am，并使弦am的中点恰好落在y轴上(1)求点m的轨迹e的方程；(2)延长mc交曲线e于另一点n，曲线e在点n处的切线与直线am交于点b，试判断以点b为圆心，线段bc的长为半径的圆与直线mn的位置关系，并证明你的结论解析：(1)设m(x，y)，x>0，由题意可知，a(1r,0)，记am的中点为d，则d(0，)，因为c(1,0)，(1，)，(x，)在c中，易知cddm，所以·0，所以x0，即y24x(x>0)，所以点m的轨迹e的方程为y24x(x>0)(2)b与直线mn相切证明如下：设直线mn的方程为xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直线bn的方程为yk(x)y