高考数学理核按钮：第三章导数含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5 第三章第三章 导导 数数 3.1 导数的概念及运算导数的概念及运算 1.导数的概念 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数， 体会导数的思想及其内涵. (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，y x，yx2，yx3的导数. (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函数)的导数. 导数的几何意

2、义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查. 1.导数的概念 (1)定义 如果函数 yf(x)的自变量 x 在 x0处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量 yf(x0 x)f(x0)，比值yx就叫函数yf(x)从x0到x0 x之间的平均变化率， 即yxf（x0 x）f（x0）x.如果当 x0 时，yx有极限，我们就说函数 yf(x)在点 x0处 ，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0处的导数，记作 或 y 0|xx，即 f (x0)0limx yx0limx f（x0 x）f（x0）x.

3、 (2)导函数 当 x 变化时，f (x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数).yf(x)的导函数有时也记作 y ，即 f (x)y 0limx f（xx）f（x）x. (3)求函数 yf(x)在点 x0处导数的方法 求函数的增量 y ； 求平均变化率yx ； 取极限，得导数 f (x0)0limx yx. 2.导数的意义 (1)几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义， 就是曲线 yf(x)在点 p(x0，f(x0)处的切线的斜率.也就是说，曲线 yf(x)在点 p(x0， f(x0)处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 . (2)物理意义 函数ss(

4、t)在点t0处的导数s (t0), 就是当物体的运动方程为 ss(t)时，物体运动在 t0时刻的瞬时速度v，即 .设 vv(t)是速度函数，则 v (t0)表示物体在 tt0时刻的 . 3.基本初等函数的导数公式 (1)c (c 为常数)， (x) (q*)； (2)(sinx) _， (cosx) ； (3)(lnx) ， (logax) ； (4)(ex) ，(ax) . 4.导数运算法则 (1)f(x) g(x) . (2)f(x)g(x) ； 当 g(x)c(c 为常数)时，即cf(x) . (3)f（x）g（x） (g(x)0). 5.复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和

5、函数 yf(u)， ug(x)的导数间的关系为 .即 y 对 x 的导数等于 y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 【自查自纠】 1.(1)可导 f (x0) (3)f(x0 x)f(x0) f（x0 x）f（x0）x 2.(1)f (x0) yy0f (x0)(xx0) (2)vs (t0) 加速度 3.(1)0 x1 (2)cosx sinx (3)1x 1xlna (4)ex axlna 4.(1)f (x) g (x) (2)f (x)g(x)f(x)g (x) cf (x) (3)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2 5.yx y u u x 函数 f(x)1 的导函

6、数是( ) ay0 by1 c不存在 d不确定 解：常数函数的导函数是 yf (x)0.故选 a. 函数 f(x)a35a2x2的导数 f (x)( ) a3a210ax2 b3a210ax210a2x c10a2x d以上都不对 解：f (x)10a2x.故选 c. 曲线yex在点a(0， 1)处的切线斜率为( ) a1 b2 ce d.1e 解：y ex，y |x01，故选 a. (2012 广东)曲线 yx3x3 在点(1， 3)处的切线方程为 . 解：y 3x21，当 x1 时，y 2，此时切线斜率 k2，故切线方程为 y32(x1)，即 2xy10.故填 2xy10. 物体的运动方程

7、是 s13t32t25， 则物体在 t3 时的瞬时速度为 . 解：v(t)s (t)t24t，t3 时，v3， 故填 3. 类型一类型一 导数的概念导数的概念 设 f(x)为可导函数，当 x 趋近于 0 时，f（1）f（12x）2x趋近于1，则过曲线 yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为( ) a2 b1 c1 d2 解：f（1）f（12x）2xf（12x）f（1）2x，当 x 趋近于 0 时，2x 也趋近于 0，y |x11，所以 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.故选 b. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键， 这里要找准增

8、量 x2x.“y |x1”是指曲线在 x1 处的切线斜率 已知 f (0)2，则 h 趋近于 0 时，f（3h）f（0）h趋近于 . 解：f（3h）f（0）h3f（03h）f（0）3h 当 h 趋近于 0 时，3h 也趋近于 0. f（3h）f（0）h趋近于 3f (0)6.故填 6. 类型二类型二 导数的几何意义导数的几何意义 已知曲线 y13x343. (1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线在点 p(2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点 p(2，4)的切线方程. 解： (1)设切点为(x0， y0)， 故切线的斜率为 kx201，解得 x0 1，故切点为1，53，(1

9、，1) 故所求切线方程为 y53x1 和 y1x1， 即 3x3y20 和 xy20. (2)y x2，且 p(2，4)在曲线 y13x343上， 在点 p(2，4)处的切线的斜率 ky |x24. 曲线在点 p(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40. (3)设曲线 y13x343与过点 p(2，4)的切线相切于点 ax0，13x3043，又切线的斜率 ky |xx0 x20， 切线方程为 y13x3043x20(xx0)， 即 yx20 x23x3043. 点 p(2，4)在切线上，42x2023x3043， 即 x303x2040，x30 x204x2040， x20(x

10、01)4(x01)(x01)0， (x01)(x02)20，解得 x01 或 x02， 故所求的切线方程为 4xy40 或 xy20. 【评析】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0， f(x0)为切点的切线方程的求解步骤： 求出函数 f(x)的导数 f (x)； 求切线的斜率 f (x0)； 写出切线方程 yf(x0)f (x0)(xx0)，并化简 (2)如果已知点(x1， y1)不在曲线上， 则设出切点(x0，y0)，解方程组y0f（x0），y1y0 x1x0f （x0），得切点(x0，y0)，进而确定切线方程 注意：求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程， 即是否在曲线上

11、. .与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个. . 已知函数 f(x)x3x16. (1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程； (2)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程； (3)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程. 解：(1)设切点坐标为(x0，y0)， f (x0)3x2014，x0 1， x01，y014或x01，y018. 切线方程为 y4x18 或 y4x14. (2)f (x)3x21， 且(2，6)在曲线 f(x)x3x16 上， 在点(2，6)处的切线的斜率为 kf (2)13. 切线的方程

12、为 y13x32. (3)解法一：设切点为(x0，y0)， 直线 l 的斜率为 f (x0)3x201， 直线 l 的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016，又直线 l 过原点(0，0)， 0(3x201)(x0)x30 x016， 整理得 x02， 斜率 k13. 直线 l 的方程为 y13x. 解法二： 设直线 l 的方程为 ykx， 切点为(x0， y0)， 则斜率 ky00 x00 x30 x016x0， 又kf (x0)3x201， x30 x016x03x201，解得 x02， k13. 直线 l 的方程为 y13x. 类型三类型三 求导运算求导运算 求下列函数的导数：

13、 (1)y5x24x1； (2)y(2x21)(3x1)； (3)ysin(x)(其中 为常数)； (4)yx3x2(x2). 解：(1)y 10 x4； (2)y 4x (3x1)(2x21) 318x24x3； (3)y cos(x) (x) cos(x)； (4)y 11x2 1（x2）2. 【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单 求下列函数的导数： (1)y(x1)(x2)； (2)yxex1(x0)； (3)ycos2x； (4)ylnx3x1(x1)

14、. 解：(1)y (x1) (x2)(x1)(x2) x2x12x3； (2)y x（ex1）x（ex1）（ex1）2 （1x）ex1（ex1）2； (3)y sin2x (2x) 2sin2x； (4)y ln(x3)ln(x1) 1x31x1 2（x1）（x3）. 1.弄清“函数在一点 x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在一点 x0处的导数 f (x0)是一个常数，不是变量； (2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点 x 而言的.函数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x

15、0)， 根据函数的定义， 在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数 f(x)的导函数 f (x)； (3)函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)就是导函数f (x)在点 xx0处的函数值. 2.求函数 yf(x)在 xx0处的导数 f (x0)通常有以下两种方法 (1)利用导数的定义：即求 0limx f（x0 x）f（x0）x的值； (2)利用导函数的函数值： 先求函数 yf(x)在开区间(a，b)内的导函数 f (x)，再将 x0(x0(a，b)代入导函数 f (x)，得 f (x0). 3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的

16、斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知， 要先求出切点坐标. 4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法. 1.函数 f(x)x3sin2x 的导数 f (x)( ) ax2cos2x b3x2cos2x cx22cos2x d3x22cos2x 解：f (x)3x2(2x) cos2x3x22cos2x.故选 d. 2.已知 f(x)(x2)(x3)，则 f (2)的值为( ) a0 b1 c2 d 3 解：f (x)(x3)(x2)2x5，f (2) 1.故选 b. 3.曲线 yx311 在点 p(1， 12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) a9 b3 c9 d

17、15 解：由 y |x13，得在点 p(1，12)处的切线方程为 3xy90，令 x0，得 y9，故选 c. 4.若 f(x)x22x4lnx，则 f (x)0 的解集为( ) a(0，) b(1，0)(2，) c(2，) d(1，0) 解：f (x)2x24x2（x2）（x1）x0，x0，x20，解得 x2.故选 c. 5.若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则( ) aa1，b1 ba1，b1 ca1，b1 da1，b1 解：y 2xa，y |x0a，a1. (0，b)在切线 xy10 上，b1， 故选 a. 6.已知点 p在曲线 y4ex1上， 则曲线在点(0，

18、 f(0)处的切线的斜率是( ) a2 b1 c0 d 1 解：y 4（ex1）4 （ex1）（ex1）2 4exe2x2ex1， y |x041211.故选 d. 7.曲线 yx3x2 的一条切线平行于直线 y4x1，则切点 p0的坐标是_. 解：y 3x21，又3x214，解得 x 1. 切点 p0的坐标为(1，0)或(1，4)故填(1，0)或(1，4) 8.(2013 江西)设函数f(x)在(0， )内可导， 且f(ex)xex，则 f (1)_. 解：令 ext，则 xlnt.f(ex)xex，f(t)lntt，f (t)1t1，f (1)112.故填 2. 9.求函数 f(x)x34

19、x4 图象上斜率为1 的切线的方程. 解：设切点坐标为(x0，y0)， f (x0)3x2041，x0 1. 切点为(1，1)或(1，7) 切线方程为 xy20 或 xy60. 10.设函数 f(x)x32ax2bxa， g(x)x23x2， 其中 xr， a， b 为常数.已知曲线 yf(x)与 yg(x)在点(2，0)处有相同的切线 l，求 a，b 的值，并写出切线 l 的方程. 解：f (x)3x24axb，g (x)2x3，由于曲线 yf(x)与 yg(x)在点(2，0)处有相同的切线，故有f(2)g(2)0，f (2)g (2)1，由此解得 a2，b5.从而切线 l 的方程为 xy2

20、0. 11.设 f(x)是定义在 r 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2x2. (1)求 x0 时， f(x)的表达式； (2)令 g(x)lnx，问是否存在 x0，使得 f(x)，g(x)在 xx0处的切线互相平行？若存在，求出 x0的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)当 x0 时，x0， f(x)f(x)2(x)22x2； 当 x0 时，f(x)的表达式为 f(x)2x2. (2)若 f(x)，g(x)在 x0处的切线互相平行，则 f (x0)g (x0)，当 x00 时，f (x0)4x0g (x0)1x0，解得x012.故存在 x012满足条件 (2013 福建改编)已知函数

21、f(x)x1aex(ar，e 为自然对数的底数). (1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，求 a 的值； (2)当 a1 时，若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)相切，求 l 的直线方程. 解： (1)f (x)1aex， 因为曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 f (1)1ae0，解得 ae. (2)当 a1 时，f(x)x11ex，f (x)11ex. 设切点为(x0，y0)， f(x0)x010e1xkx01， f (x0)10e1xk， 得 x0kx01k，即(k1)(x01)0. 若 k1，则式无解，x01，k1e. l 的

22、直线方程为 y(1e)x1. 3.2 导数的应用导数的应用(一一) 1.导数在研究函数中的应用 (1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). (2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 2.生活中的优化问题举例 通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用. 高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的

23、研究，也可以联系方程的根、不等式的解等综合考查，选择、填空、解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一. 1.函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 f (x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f (x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内 . 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当 f (x0)0 时， 如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0附近的左侧 ，右侧 ，那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： 求 f (x)； 求方程

24、 的根； 检查f (x)在上述方程根的左右对应函数值的符号 . 如 果 左 正 右 负 ， 那 么 f(x) 在 这 个 根 处 取得 ；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得 . 3.函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在a， b上单调递增， 则_为函数在a，b上的最小值， 为函数在a，b上的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 为函数在a，b上的最大值， 为函数在a，b上的最小值. (3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求 f(x)在

25、(a，b)内的极值； 将f(x) 的 各 极 值 与 端 点 处 的 函 数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【自查自纠】 1.单调递减 2.(1)f (x)0 f (x)0 (2)f (x)0 极大值 极小值 3.(2)f(a) f(b) f(a) f(b) (3)f(a) f(b) 若在区间1，2内有 f (x)0，且 f(1)0，则在1，2内有( ) af(x)0 bf(x)0 cf(x)0 d不确定 解：f (x)0，f(x)在1，2内单调递增 f(1)0，在1，2内 f(x)0.故选 a. 已知函数 f(x)12x2x，则 f(x)的单调增区间是( ) a(

26、，1)和(0，) b(0，) c(1，0)和(1，) d(1，) 解：f (x)x1，令 f (x)0，解得 x1.故选 d. 关于函数的极值，下列说法正确的是( ) a导数为 0 的点一定是函数的极值点 b函数的极小值一定小于它的极大值 cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值 d若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数 解：导数为 0 的点不一定是极值点(如 yx3，在x0 处)，而极值点的导数一定为 0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值极值点是单调性的转折点故选 d. 已知函数 f(x)x36x2nx4 在 x1 时有极

27、值，则 n . 解：f (x)3x212xn，f (1)0， 312n0，得 n9.故填 9. 函数 f(x)x33x21 在 x 处取得极小值. 解：f (x)3x26x3x(x2)所以 f(x)的递增区间是(，0)，(2，)，递减区间是(0，2)，因此 f(x)在 x2 处取得极小值故填 2. 类型一 导数法判断函数的单调性 设函数 f(x)在定义域内可导， yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf (x)的图象可能是( ) 解：当 x0 时，f(x)为增函数，f (x)0，排除 a，c；当 x0 时，f(x)先增后减，再增，对应 f (x)先正后负，再正故选 d. 【评析】导函数的图象在

28、哪个区间位于 x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于 0(小于 0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减) 若函数 f(x)的导函数 yf (x)的部分图象如图所示，则下列函数中与 f(x)的单调性不可能相同的是( ) 解：当 x1 时，f (x)0，f(x)单调递减； 当 x1 时，f (x)0，f(x)单调递增，只有 c 项的单调性与 f(x)不同故选 c. 类型二类型二 导数法研究函数的单调性导数法研究函数的单调性 已知函数 f(x)x3ax，f (1)0. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间. 解：(1)f (x)3x2a，由 f (1)3a0，得

29、 a3. (2)f(x)x33x，f (x)3x23. 令 f (x)0，得 x1 或 x1. 所以 f(x)的单调递增区间是(， 1)， (1， )， 单调递减区间是1，1 【评析】用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响如，本例中1， 1也可以写成(1， 1) 写单调区间时，一般不要使用符号“”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立如，本例中(，1)，(1，)不能写成(，1)(1，)，不妨取 x132，x232，x1x2，而 f(x1)f3298，f(x

30、2)98，这时 f(x1)f(x2)不成立 已知函数 f(x)exax，f (0)0. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间. 解：(1)f (x)exa，由 f (0)1a0，得 a1. (2)f(x)exx，f (x)ex1. 令 f (x)0，得 x0. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，0) 类型三类型三 导数法研究函数的极值问题导数法研究函数的极值问题 已知函数 f(x)12x3cx 在 x1 处取得 极值. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的极值. 解：(1)f (x)32x2c，当 x1 时，f(x)取得极值，

31、 则 f (1)0，即32c0，得 c32. 故 f(x)12x332x. (2)f (x)32x23232(x21)32(x1)(x1)， 令 f (x)0，得 x1 或 1. x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (1，1) 1 (1，) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 因此，f(x)的极大值为 f(1)1，极小值为 f(1)1. 【评析】找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如 yx3)，还要保证该零点为变号零点 (2013 重庆改编)设 f(x)a(x5)26lnx，其中 ar，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切

32、线斜率为 2. (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解：(1)f (x)2a(x5)6x， 依题意，f (1)68a2，得 a12. (2)由(1)知，f(x)12(x5)26lnx(x0)， f (x)x56x（x2）（x3）x. 令 f (x)0，得 x2 或 3. x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，2) 2 (2，3) 3 (3，) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)的单调增区间为(0，2)和(3，)， 单调减区间为(2，3) f(x)的极大值 f(2)926ln2， 极小值 f(3)26ln3. 类型四类型四 导

33、数法研究函数的最值问题导数法研究函数的最值问题 (2012 北京改编)已知函数 f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线. (1)求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值. 解：(1)f (x)2ax，g (x)3x2b， f(1)g(1)，f (1)g (1)， a21b，且 2a3b，解得 a4，b5. (2)设 h(x)f(x)g(x)x34x25x2， 则 h (x)3x28x5(3x5)(x1) x，h (x)，h(x)的变化情况如下表： x ，53 53 53，1

34、1 (1，) h (x) 0 0 h(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在，53，(1，)上单调递增，在53，1 上单调递减 h53427，h(1)12，12427， f(x)g(x)在(，1上的最大值为 12. 【评析】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点和极大值点取得，最小值一般是在端点和极小值点取得 已知函数 f(x)2x3ax2bx1，若函数 yf (x)的图象关于直线 x12对称，且 f (1)0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)在区间2，2上的最大值. 解：(1)f (x)6x22axb， 函数 yf (x

35、)的图象的对称轴为 xa6. a612，a3. f (1)0， 62ab0， 得 b12.故 a3，b12. (2)由(1)知 f(x)2x33x212x1， f (x)6x26x126(x1)(x2) x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (，2) 2 (2，1) 1 (1，) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(2)21，f(2)5，215， 所以 f(x)在2，2上的最大值为 21. 类型五类型五 实际应用问题实际应用问题(优化问题优化问题) 请你设计一个包装盒， 如图所示， abcd是边长为 60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，

36、再沿虚线折起，使得abcd 四个点重合于图中的点 p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e，f 在 ab 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 aefbx(cm). (1)若广告商要求包装盒侧面积 s(cm2)最大，x 应取何值？ (2)若厂商要求包装盒容积 v(cm3)最大，x 应取何值？ 解：(1)根据题意有 s6024x2(602x)2240 x8x2，0 x30， s 24016x，令 s 0，得 x15. 当 0 x15 时，s 0，s 递增； 当 15x30 时，s 0，s 递减 所以 x15 cm 时包装盒侧面积 s 最大 (2)根据题意有 v( 2x)222(602x

37、)2 2x2(30 x)， 0 x30， v 6 2x(20 x)， 当 0 x20 时，v 0，v 递增； 当 20 x30 时，v 0，v 递减 所以 x20 cm 时包装盒容积 v 最大 【评析】本题主要考查学生的空间想象能力、阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点 用长为 15 cm， 宽为 8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为 x的小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器

38、的容积最大？ 解：依题意，0 x4， 容积 v(152x) (82x) x4x346x2120 x， v 12x292x1204(3x5)(x6) 令 v 0，得 x53或 6(舍去) 当 0 x53时，v 0，v 递增； 当53x4 时，v 0，v 递减 所以高 x53 cm 时容器的容积最大 1.用导数判断单调性 用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要注意定义区间内的间断点. 2.极值与最值的区别 (1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是

39、函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性. (2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大. (3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值. 3.实际问题中的最值 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 1.函数f(x)是定义域为r的可导函数， 若f (x)0，设 af12，bf23，

40、cf(1)，则 a，b，c 的大小关系是( ) abac babc ccba dacb 解：因为 f (x)0，所以 f(x)在(，)上单调递增 11223，f(1)f12f23， 即 cab.故选 a. 2.设 f (x)是函数 f(x)的导函数，yf (x)的图象如图所示，则 yf(x)的图象有可能是( ) 解：当 x0 时，f (x)0，f(x)单调递增； 当 x0 时，f (x)0，f(x)单调递减故选 c. 3.函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是( ) a(，2) b(0，3) c(1，4) d(2，) 解：f (x)(x3) ex(x3)(ex) (x2)ex，令 f (x

41、)0，解得 x2，故选 d. 4.函数 f(x)(x1)(x2)2的极值点为 x( ) a1，2 b.43，2 c.13，1 d.13，43 解：f (x)(x2)22(x1)(x2)(x2)(3x4)令 f (x)0 x143，x22，结合导数的符号变化 故选 b. 5.f(x)x33x22 在区间1，1上的最大值是( ) a2 b0 c2 d4 解：f (x)3x26x3x(x2)， 令 f (x)0，得 x0 或 x2(舍去)， 当1x0 时，f (x)0； 当 0 x1 时，f (x)0. 所以当 x0 时，f(x)取得最大值为 2.故选 c. 6.(2012 陕西)设函数 f(x)2

42、xlnx，则( ) a. x12为 f(x)的极大值点 b. x12为 f(x)的极小值点 c. x2 为 f(x)的极大值点 d. x2 为 f(x)的极小值点 解：f (x)x2x2，令 f (x)0，得 x2.当 x2 时，f (x)2 时，f (x)0，f(x)为增函数，所以 x2 为 f(x)的极小值点，故选 d. 7若函数 f(x)ax1x 在 x1 处取极值，则 a_. 解：f (x)a（x1）21，f (1)a410 a4.故填 4. 8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为 40 cm，60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面

43、积是_cm2. 解：设长为 40 cm和 60 cm 的直角边上对应的矩形边长分别为 x cm，y cm，则40 x40y60，得 y6032x.矩形的面积 sxyx6032x 60 x32x2，令 s 603x0，得 x20.所以当 x20 时矩形面积最大，最大面积为 600 cm2.故填 600. 9.(2013 湖北模拟)已知函数 f(x)2ax33x2， 其中a0. 求证：函数 f(x)在区间(，0)上是增函数. 证明：f (x)6ax26x6x(ax1)因为 a0 且x0，所以 f (x)0.所以函数 f(x)在区间(，0)上是增函数 10.已知函数 f(x)xe-x(xr). (1

44、)求函数 f(x)的单调区间； (2)求函数 f(x)的极值. 解：(1)f (x)(1x)e-x.令 f (x)0，得 x1. x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (1，) f (x) 0 f(x) 极大值 所以 f(x)在区间(，1)内是增函数， 在区间(1，)内是减函数 (2)由(1)可知，函数 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1e. 11.已知函数 f(x)axln(x1)，ar. (1)若 a2，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若 f(x)在 x1 处取得极值，试讨论 f(x)的单 调性. 解：f (x)a1x1. (1)若

45、 a2，则 f (0)21013，又 f(0)0，因此曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y03(x0)，即 3xy0. (2)f (1)0， f (1)a120，得 a12， f(x)12xln(x1)，x1， f (x)121x1（x1）2（x1）， 令 f (x)0，得 x1. x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (1，1) 1 (1，) f (x) 0 f(x) 极大值 所以 f(x)在(1，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 (2012 福建)已知 f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0. 其中正确结论的序号是( )

46、a b c d 解：f(3)275427abcabcf(0), 因为 f (x)3(x1)(x3)，所以 f(x)在(，1)和(3，)上单调递增，在(1，3)上单调递减 abc， 且 f(a)f(b)f(c)0， a1b3c， f(1)0， f(3)f(0)0， f(0)f(1)0. 故选 c. 3.3 导数的应用导数的应用(二二) 利用导数来解决函数的单调性、极值与最值问题已经成为热点问题之一.既有填空题， 侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用.故编写导数的应用(二)，以加大学习力度. 1.当 f (x)在某个区间内个别

47、点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(，)上，f(x)x3，当 x0 时，f (x)，当 x0 时，f (x)0，而 f(x)x3显然在(，)上是单调递增函数. 2.可导函数求最值的方法 f (x)0 xx1，x2，xn，xa，b. 直接比较 f(a)， f(b)， f(x1)， ， f(xn)， 找出 和_即可.在此基础上还应注意： (1)结合 可减少比较次数. (2)含参数的函数求最值可用：按 分类；按 分类. 【自查自纠】 1.0 2.最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点 函数 f(x)ax3x1 在 x1 处有极值

48、， 则a 的值为( ) a1 b0 c13 d 12 解：f (x)3ax21，f (1)3a10， a13.故选 c. 函数 y4x21x的单调增区间为( ) a(0，) b.12， c(，1) d.，12 解：y 8x1x2，令 y 0，解得 x12，函数 y4x21x在12， 上递增故选 b. 已知函数 f(x)ax3bxc(a，b，cr)，若f (1)2，则 f (1)( ) a0 b3 c1 d2 解：f (x)3ax2b，f (1)f (1)2.故选 d. 已知 f(x)sinx2x，xr，且 f(2a)f(a1)，则 a 的取值范围是 . 解： f (x)cosx20 恒成立，

49、f(x)在 r 上单调递增f(2a)f(a1)，2aa1，得 a1.故填(，1) 若函数 g(x)ex3x 在(1，)上的最小值是 . 解：g (x)ex3，令 g (x)0，得 xln3，g(x)在(，ln3)上单调递减，在(ln3，)上单调递增，所以 g(x)在(1，)上的最小值 g(ln3)33ln3.故填33ln3. 类型一类型一 函数单调性的进一步讨论函数单调性的进一步讨论 设函数 f(x)xekx(k0). (1)若 k0，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(1，1)内单调递增，求 k的取值范围. 解：(1)f (x)(1kx)ekx. 若 k0，令 f (

50、x)0，得 x1k， 所以函数 f(x)的单调递增区间是1k， ， 单调递减区间是，1k. (2)f(x)在区间(1，1)内单调递增， f (x)(1kx)ekx0 在(1，1)内恒成立， 1kx0 在(1，1)内恒成立， 即1k （1）0，1k 10， 解得1k1. 因为 k0，所以 k 的取值范围是1，0)(0，1 【评析】函数单调性的讨论归结为对不等式解的讨论；函数 f(x)在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解 若函数 f(x)xbln(x2)在1， )上是减函数，则 b 的取值范围是( ) a1，) b(1，) c(，1 d(，1) 解： f (x)1bx2

51、0 在1， )上恒成立，bx2 在1，)上恒成立b1.故选 c. 类型二类型二 极值与最值的进一步讨论极值与最值的进一步讨论 (2013 福建)已知函数 f(x)xalnx(ar). (1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 a(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值. 解：(1)当 a2 时，f(x)x2lnx，f (x)12x. f(1)1，f (1)1. 所求切线方程为 y1(x1)，即 xy20. (2)f (x)1axxax，x0. 若 a0，则 f (x)0 恒成立，f(x)不存在极值 若 a0，则 x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，a) a

52、 (a，) f (x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的极小值 f(a)aalna. 【评析】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤第二问对分类讨论要求较高，其分类是以表格为基础进行的 (2013 河南模拟)已知函数 f(x)xlnx 在区间t，)(t0)上的最小值大于1e，则 t 的取值范围是( ) a.0，1e b(1，e) c.1e，1 d.1e， 解：f (x)lnx1，令 f (x)0，得 x1e. x，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x 0，1e 1e 1e， f (x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的极小值 f1e1e. 显然，若 t1e，则

53、f(x)的最小值大于1e.故选 d. 类型三类型三 方程根的讨论方程根的讨论 已知函数 f(x)ex，xr. (1)求 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明： 曲线 yf(x)与直线 yex 有唯一公共点. 解：(1)f (0)e01，f(0)1， 切线方程为 y11 (x0)，即 xy10. (2)证法一：设 g(x)exex， 曲线yex与 yex的公共点的个数等于函数g(x)exex 零点的个数 g (x)exe，令 g (x)0，得 x1， g(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， g(x)的最小值 g(1)e1e0， g(x)exex0(仅当 x1

54、时，等号成立) 曲线 yf(x)与直线 yex 有唯一公共点 证法二：由于方程exex等价于xex1e. 设 h(x)xex，分析方法类似证法一 【评析】通过作差或作商可得到新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与 x 轴， y 轴交点)， 来判断交点的个数 若 a1e，则方程 lnxax0 的实根的个数为( ) a0 个 b1 个 c2 个 d无穷多个 解法一：由于方程 lnxax0 等价于lnxxa. 设 f(x)lnxx. f (x)1x xlnxx21lnxx2， 令 f (x)0，得 xe， f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，)上单调递减 f

55、(x)的最大值 f(e)1e， f(x)lnxx1e(仅当 xe 时，等号成立) a1e，原方程无实根 解法二：设 g(x)lnxax，分析单调性、极值可得结论 故选 a. 类型四类型四 导数法证明不等式导数法证明不等式 已知函数 f(x)ex，当 x0，1时.求证： (1)f(x)1x； (2)(1x)f(x)1x. 证明：(1)设 g(x)exx1，x0，1 g (x)ex10，g(x)在0，1上是增函数， g(x)g(0)1010. ex1x，即 f(x)1x. (2)设 h(x)(1x)exx1，x0，1 h (x)xex10，h(x)在0，1上是减函数，h(x)h(0)1010. (

56、1x)exx10， 即(1x)f(x)1x. 【评析】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；本题通过作差构造函数，分析其单调性、最值，得出函数值恒大于或小于 0，使问题得证 (2013 江西模拟)设函数 f(x)x1x， g(x)lnx12.求证：当 0 x1 时，f(x)g(x). 证明：设 h(x)x1xlnx12，0 x1. h (x)1xx（1x）21x1（1x）21x x2x1（1x）2x0， h(x)在(0，1上单调递减 h(1)120120， h(x)0(仅当 x1 时，等号成立) 当 0 x1 时，f(x)g(x) 1.证明不等式问题可

57、通过作差或作商构造函数，然后用导数证明. 2.求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量； (2)运用最值. 3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论. 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 1.函数 f(x)的导函数为 f (x)1xx，则 f(x)的单调增区间是( ) a(，0) b1，) c(0，1 d(，0)，1，) 解：令 f (x)0，解得 0 x1. 又 f (1)0，所以 f(x)在(0，1上单调递增 故选 c

58、. 2.函数 f(x)43x3x2的单调减区间是( ) a.12， b(，0) c(，0)，12， d.0，12 解：f (x)4x22x2x(2x1)， 令 f (x)0，得 0 x12. 所以 f(x)的单调减区间是0，12.故选 d. 3.已知函数 f(x)mx312mx，f (1)12，则实数m 的值为( ) a2 b2 c4 d4 解：f (x)3mx212m，由 f (1)3m12m12，得 m24m40，即(m2)20，故 m2， 故选 b. 4.函数 f(x)x(1x)n的部分图象如图所示，f(x)在 x13处取极值，则 n 的值为( ) a1 b1 c2 d 2 解：f (x

59、)(1x)nnx(1x)n-1(1xnx)(1x)n-1，x13为 f(x)的极值点， f 130，得113n323n10， n2.故选 c. 5.已知函数 f(x)exx，则 x0 时，f(x)( ) a有极大值，无极小值 b有极小值，无极大值 c既有极大值，又有极小值 d既无极大值也无极小值 解：f (x)ex xexx2（x1）exx2，x0. 令 f (x)0，得 x1. 又 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以 x1 为 f(x)的极小值点，f(x)无极大值 故选 b. 6.若对于 r 上的可导函数 f(x)满足(x1)f (x)0，则必有( ) af(0)f(2

60、)2f(1) bf(0)f(2)2f(1) cf(0)f(2)2f(1) df(0)f(2)2f(1) 解：当 x1 时，f (x)0，f(x)在(1，)上是增函数； 当 x1 时，f (x)0，f(x)在(，1)上是减函数， 故 f(x)的最小值为 f(1)，必有 f(0)f(2)2f(1)故选 c. 7.(2013 山西模拟)函数 f(x)x23xf (1)， 在点(2，f(2)处的切线方程为 . 解： f (x)2x3f (1)， f (1)2 13f (1)， 得 f (1)1，所以 f(x)x23x，f (x)2x3.代入 x2，可知 f(2)2，f (2)1，在点(2，f(2)处的