高三数学导数的运算性质教案同步教案新人教A版

1、高三数学（第6讲）一、本讲进度23导数2 4导数的运算性质课本第 59 页至 65 页二、本讲主要内容1、导数及导函数的定义；2、导数的运算性质及运用。三、学习指导1、 导数的定义：（ 1）增量的概念已知函数y=f (x)的图象是曲线C，P（ x0， y0） ,Q（ x1， x2）是曲线量 x 从一个值x0 变为另一个值x1 时，相对应的函数由y0=f(x 0) 变到 y1=f(x差 x1-x 0 为自变量的增量，用x 表示，即： x=x 1-x 0差 y1-y 2 为函数的增量，用y 表示，即：C 上的两点，当自变1) ，则称： y=y -y ，或 y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-

2、f(x)1010x， y 分别是自变量 x，因变量 y 在 x0 处的改变量，它的值可正可负，但不能为零， x， y 是整体符号，不能把与 x 或 y 分开。（ 2）导数的定义函数的平均变化率：称y 为函数的平均变化率x导数的概念如果 x 0 时，y 的极限存在，则称该极限值为函数y=f(x) 在 x=x 0 处的导数（又叫变x化率）符号： y' | xx 0 ，即：y'| x x 0yf (x 0x ) f ( x 0 )LimLimxx0 xx 0由导数定义可知， 函数 y=f(x) 在 x=x 0时导数存在， 必须使得 y=f(x) 在 x=x0处附近有定义。函数 y=f

3、(x) 并不能在每一点都存在导数，只有在x0时，y 的极限存在，才能说 y=f(x)x在 x=x 0 处有导数。导数的概念如果函数 y=f(x)在开区间（ a，b）内的每点处都有导数，此时对于每一个x（ a， b），都应看一个确定的导数f (x) ，从而构成了一个新的函数f (x) ，称这个函数f (x) 为函数用心爱心专心-1-y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，记作y，即：f '( x) y' LimyLim f (xx)f ( x)x 0xx0xf(x) 的导数与函数y=f(x)在 x=x处的导数的关系：当x （ a， b）时，函数 y=f(x)在 x000处的导数

4、 y'| x x 0 就是函数 y=f(x)在开区间（ a， b）上的导数 f (x) 在 x0 处的函数值，即y '| xx 0 f ' (x 0 ) 。因此函数 y=f(x)在 x0 处的导数也记作f (x 0)求函数y=f(x)的导数的一般步骤首先求函数改变量：y=f(x+ x)-f(x)其次求平均变化率yf (xx)f ( x )xxy再次求极限，y 'Limx0x（ 3）导数的几何意义函数 y=f(x)在 P（ x0， y0）的导数为y=f(x)对应的曲线C在该点的斜率，即：f ( x0x) f ( x)k Limxx 0当曲线 C 在点 x0 处切线

5、的倾斜角为时， y=f(x)在点 x0 处导数不存在（x=0），不能用2求导方法求切线斜率，但切线方程仍然存在（x=x0）。2、 基本初等函数的导数利用导数的定义，很容易得到常数函数与幂函数的导数。C =0（ C为常数）( x n )'nx n 1 (n N) ，实际上 n R 亦成立111特例 (x1 )， (x 2)x 22 x3、 导数的运算性质如果 f(x)，g(x)有导数，那么： f ( x)g( x )'f '( x)g '(x ) Cf (x)'Cf ' (x )即有限个函数的和或差的导数，等于这个有限个函数的导数的和或差；常数与函

6、数积的导数，等于常数乘函数的导数。用心爱心专心-2-由此得多项式函数导数(a 0a1 xa 2 x 2a n x n )' a12a 2 x 3a3 x 2na n x n 14、导数是一种特殊的函数极限，是函数的一个局部性质，若函数 y=f(x)在 x=x 0 处导数存在，则称函数y=f(x)在 x=x 0 处可导，否则称为不可导，导数的概念体现了运动变化，有限代替无限及数形结合的思想。四、典型例题例 1、 求函数 y( x1)2 的导数x解题思路分析：先化简再利用导数的运算性质y ( x ) 22 x1(1) 2x12xxx y' (x 21 )' x '

7、2' ( 1 )' 11xx2x例 2、 求曲线 y=x 3-3x 上的切线平行于 x 轴的点的坐标解题思路分析：利用导数求出切线的斜率y'(x 33x )'( x 3 )' ( 3x )'3x 23 切线平行于x 轴 其斜率为0 令 3x2-3=0 得 x=± 1当 x=1 时， y=-2 当 x=-1 时， y=-2 所求点的坐标为（-1 ， 2），（1， 2）例 3、 函数 f(x)=2x3+3x-5 ，求 f (x) ，(f (x) ， f （2） , （f(2)）解题思路分析：直接利用导数的运算性质332f (x)=(2x+3

8、x- 5) =(2x ) +(3x) - 5 =6x +3(f (x) =(6x 2+3) =(6x 2) +3=12xf (2)=6 × 22+3=27 f(2)=17是一个常数 (f(2)=0例 4、 求下列函数的导数(1)y=(x+1)(x-1)；（ 2） y=(x 2+1) 2解题思路分析：（ 1） y=x 2-1用心爱心专心-3-y=(x 2- 1) =(x 2) - 1=2x（ 2） y=x 4+2x2+1y=(x 4+2x2+1) =（x4） +(2x 2) +1=4x 3 +4x例 5、 自变量 x 取哪些值时，抛物线y=x2 与曲线 y=x3 的切线平行？解题思路分

9、析：设它们在点x0 处的切线平行232 2x=3x2 x =0，或 x =2 (x ) =2x， (x ) =3x00003 当 x=0 或 x= 2 时，抛物线y=x 2 与 y=x3 的切线平行3五、同步练习（一）选择题1、y=(x-1)2 的导数是：A、2(x-1)B、(x-1) 2C、 -2D、 2(1-x)2、函数 y1在 x=2 处的导数是：xA、 1B、1C、 1D、122443、设函数 f(x)在点 x0 处有导数，且f (x 0) 0，则当 | x| 很小时， f(x 0+ x) A、f(x0)B、f (x ) xC、 y04、设函数 f(x)在 x=x 0 处有导数，且f

10、( x 02 x)Limxx0A、1B、 0C、 2DD、 f(x )+f (x0) x0f ( x 0 )=1，则 f (x 0、 125、曲线 y1 x 21 在点（ 1， 1 ）处切线的倾斜角是22A、1B、C、 3D、 5444（二）填空题6、已知函数 f(x)=4(2x-1)2，则 f (x)=_。7、已知函数 f(x)=3x(x-1)，则 f (1)=_。8、曲线 y=x 3+x 2+2 在点 P（ -1 ， 2）处的切线方程是 _。9、曲线 y=2x-x 3 上一点 P（ 1， 1，）处切线的倾斜角是 _ 。10、抛物线2+bx+c 在点 P（x，y ）的切线过原点，则a， b，

11、c 应满足 _ 。y=ax0011 、设曲线 yx ，则过点 P（ 1， 1）的切线方程是 _。（三）解答题用心爱心专心-4-12、求下列函数导数：（ 1） y=2x 5-4x 2；（ 2） y=(1+2x 2) 2；（ 3）y=x 2(2x-1) ；（ 4） y=(x-1)(x-2)(x-3)。13、已知曲线y=2x 3+x-3 的切线与y=7x 平行，求切点坐标。14、已知直线过原点且与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，求直线方程。15、在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离S=27t-0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车，刹车后又运行了多少米？六、参考答案（一）选择题1、A 2 、D3 、D4、D5、B（二）填空题6、16(2x-1)7、