最新一轮北师大版理数学教案：第8章 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 Word版含解析

1、第八章第八章平面解析几何平面解析几何深研高考备考导航为教师备课、授课提供丰富教学资源五年考情考点直线的倾斜角与斜率、直线的方程、距离全国卷t4全国卷t10全国卷t20全国卷t10全国卷t20圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系全国卷t20全国卷t16全国卷t14 全国卷t7全国卷t16全国卷t20全国卷t11全国卷t20曲线与方程全国卷t20全国卷t20椭圆的标准方程及其性质全国卷t20全国卷t20全国卷t14 全国卷t20全国卷t20全国卷t20全国卷t10全国卷t20全国卷t20全国卷t4双曲线的标准方程及其性质全国卷t15全国卷全国卷t5 全国卷t11全国卷t4全国卷t4全国卷

2、t8t11抛物线的标准方程及其性质全国卷t10全国卷t20全国卷t20全国卷t1 全国卷t100全国卷t11全国卷t20直线与圆锥曲线的位置关系全国卷t20全国卷t20全国卷t20全国卷t20全国卷t20全国卷t20全国卷t20圆锥曲线的综合应用全国卷t20全国卷t20 全国卷t20重点关注综合近 5 年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1从考查题型看：一般有 2 个客观题，1 个解答题；从考查分值看，在 22分左右基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力2从考查知识点看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、

3、圆与圆的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查3从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合考查(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定

4、点、定值、最值以及探究性问题等导学心语1抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握， 如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握2依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用3加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点， 尤其应加强该部分知识与向量、 函数、 方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的4突出重点，热点考查内容的复习：如弦长

5、问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等第一节第一节直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的方程考纲传真1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角， 叫作直线 l 的倾斜角

6、 当直线 l 与 x 轴平行时，它的倾斜角为 0.倾斜角的范围为 0180.(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线斜率不存在斜率公式：经过两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线 xx0斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2)截距式xayb1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0，a2b

7、20平面内所有直线都适用1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)过定点 p0(x0，y0)的直线都可用方程 yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点 p1(x1， y1)， p2(x2， y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 p，q，且线段 pq 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为()a.13b13c32d.23b设 p(x

8、,1)，q(7，y)，则x721，y121，x5，y3，即 p(5,1)，q(7，3)，故直线 l 的斜率 k317513.3(20 xx福建高考)已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，则直线 l 的方程是()axy20bxy20cxy30dxy30d圆 x2(y3)24 的圆心为点(0,3)， 又因为直线 l 与直线 xy10 垂直，所以直线 l 的斜率 k1.由点斜式得直线 l：y3x0，化简得 xy30.4 直线 l： axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等， 则实数 a_.【导学号：57962370】1 或2令 x0，则 l 在 y 轴上的截距

9、为 2a；令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 12a.依题意 2a12a，解得 a1 或 a2.5(20 xx西安模拟)过点 p(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程为_3x2y0 或 xy10当直线过原点时，方程为 y32x，即 3x2y0.当直线 l 不过原点时，设直线方程为xaya1.将 p(2,3)代入方程，得 a1，所以直线 l 的方程为 xy10.综上，所求直线 l 的方程为 3x2y0 或 xy10.直线的倾斜角和斜率(1)直线 xycos 10(r)的倾斜角的取值范围是_(2)(20 xx郑州模拟)若直线 l 过点 p(3,2)，且与以 a(2，

10、3)，b(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是_(1)4，34(2)5，13(1)当k2(kz)时，cos 0，直线为 x10，其倾斜角为2.当k2(kz)时，直线 l 的斜率为tan 1cos (，11，)，所以直线 l 的倾斜角的取值范围是4，2 2，34 .综上，的取值范围是4，34 .(2)因为p(3,2)， a(2， 3)， b(3,0)， 则kpa32235，kpb023313.如图所示，当直线 l 与线段 ab 相交时，直线 l 的斜率的取值范围为5，13 .规律方法1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是0，)，斜率的取值范围是

11、r.(2)正切函数在0，)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为 k5 或 k13.变式训练 1(1)(20 xx惠州质检)直线 l 经过点 a(1,2)， 在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率 k 的取值范围是()【导学号：57962371】a1k15bk1 或 k12ck15或 k1dk12或 k1(2)直线 l 经过 a(3,1)，b(2，m2)(mr)两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是_(1)d(2)4，2(1)设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1

12、)，直线在 x 轴上的截距为 12k.令312k3，解不等式得 k1 或 k12.(2)直线 l 的斜率 k1m2321m21，所以 ktan 1.又 ytan 在0，2 上是增函数，因此42.求直线的方程(1)过点 a(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的13的直线方程为_(2)若 a(1，2)，b(5,6)，直线 l 经过 ab 的中点 m 且在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程(1)4x3y130设所求直线的斜率为 k，依题意k41343.又直线经过点 a(1,3)，因此所求直线方程为y343(x1)，即 4x3y130.(2)法一：设直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距均为 a

13、.由题意得 m(3,2).2 分若 a0，即 l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线 l 的方程为 y23x，即 2x3y0.5 分若 a0，设直线 l 的方程为xaya1，因为直线 l 过点 m(3,2)，所以3a2a1，8 分所以 a5，此时直线 l 的方程为x5y51，即 xy50.综上，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50.12 分法二：易知 m(3,2)，由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k0，则直线 l 的方程为 y2k(x3).2 分令 y0，得 x32k；令 x0，得 y23k.5 分所以 32k23k，解得 k1 或 k23.8 分所以直线 l 的方程为 y

14、2(x3)或 y223(x3)，即 xy50 或 2x3y0.12 分规律方法1.截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为 0”的情况，以防漏解2求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要变式训练 2求过点 a(1， 3)且倾斜角等于直线 y3x 的倾斜角的 2 倍的直线方程解由已知设直线 y3x 的倾斜角为，2 分则所求直线的倾斜角为 2.5 分tan 3，tan 22tan 1tan234.8 分又直线经过点 a(1，3)，因此所求直

15、线方程为 y334(x1)，即 3x4y150.12 分直线方程的综合应用已知直线 l 过点 m(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 a，b两点，o 为坐标原点求：(1)当|oa|ob|取得最小值时，直线 l 的方程；(2)当|ma|2|mb|2取得最小值时，直线 l 的方程解(1)设 a(a,0)，b(0，b)(a0，b0)设直线 l 的方程为xayb1，则1a1b1，所以|oa|ob|ab(ab)1a1b 2baab22baab4，3 分当且仅当 ab2 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy20.5 分(2)设直线 l 的斜率为 k，则 k0，直线 l 的方程为 y1k(x

16、1)，则 a11k，0，b(0,1k)，7 分所以|ma|2|mb|2111k21212(11k)22k21k222k21k24.10 分当且仅当 k21k2，即 k1 时，上式等号成立所以当|ma|2|mb|2取得最小值时，直线 l 的方程为 xy20.12 分规律方法1.求解本题的关键是找出|oa|ob|与|ma|2|mb|2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件2利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式变式训练 3已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当 a 为何值时，四边形的面积最小？解由ax2y2a4，2xa2y2a24，得 xy2，2 分直线 l1与 l2交于点 a(2,2)(如图)易知|ob|a22，|oc|2a，5 分则 s四边形obacsaobsaoc122(a22)122(2a)a2a4a122154，a(0,2)，10 分当 a12时，四边形 obac 的面积最小.12 分思想与方法1求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程(2)待定系数