03第三章电路的暂态分析

1、稳定状态：稳定状态：在指定条件下电路中在指定条件下电路中电压电压、电流电流已达到已达到稳定值稳定值。暂态过程：暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程过渡过程。 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关能有关，表达式为：表达式为： 描述描述消耗电能消耗电能的性质。的性质。iru 根据欧姆定律根据欧姆定律:即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系。即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系。slr 0dd00 trituiwt2t电阻的能量电阻的能量riu+_ in il电感电感: :( h、mh )电

2、流通过电流通过n n 匝匝线圈产生线圈产生( (磁链磁链) )n 电流通过电流通过一匝一匝线圈产生线圈产生( (磁通磁通) )u ui + +- - 线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。导磁性能等有关。mrin 333222111slslslrmtilteddddl1） 自感电动势的参考方向自感电动势的参考方向iu+-el+-ls 线圈横截面积（线圈横截面积（m2）l 线圈长度（线圈长度（m）n 线圈匝数线圈匝数 介质的磁导率（介质的磁导率（h/m）（h lnsl2电感两端加电感两端加恒定电流恒定电流时，时，e = 0，电感元

3、件可视作，电感元件可视作短路短路。2 2） 自感电动势瞬时极性的判别自感电动势瞬时极性的判别( (楞次定律）楞次定律）tileldd 0 tileldd i 0 tidd221liw tileuddl根据基尔霍夫定律可得：根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上将上式两边同乘上 i ，并积分，则得：，并积分，则得：20021ddliilituiti 即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能取用电能；当电；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源流减小时，磁场能减小，电感元件

4、向电源放还能量放还能量。电容：电容： ( f ) uqc uic+_电容器的电容与电容器的电容与极板的尺寸极板的尺寸及及介质的介电常数介质的介电常数等关。等关。(f)dsc s 极板面积（极板面积（m2） d 板间距离（板间距离（m）介电常数（介电常数（f/m）tucidd 当电压当电压 u 变化时，在电路中产生电流变化时，在电路中产生电流: 电容两端加电容两端加恒定电压恒定电压时，时，i=0，电容元件可视作，电容元件可视作开路开路。电容元件储能电容元件储能221cuw 将上式两边同乘上将上式两边同乘上 u，并积分，则得：，并积分，则得：20021ddcuucutuitu 即电容将电能转换为电

5、场能储存在电容中，当电压即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能取用电能；当电；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量放还能量。根据：根据：tucidd电流电流 i 随电压随电压 u 比例变化。比例变化。 合合s s后：后： 所以电阻电路不存在所以电阻电路不存在过程过程 （r 耗能元件）。耗能元件）。 合合s s前：前：00322rrruuui，io3.2 3.2 储能元件和换路定则储能元件和换路定则(a)s+-r3r22+- 图图( (a)a)： cuc(b)+-sr

6、,0ci0 cuu暂态暂态稳态稳态otcu若若cu发生突变发生突变dtduicc一般电路不可能！一般电路不可能！ l 储能：储能：221llliw换路换路: :不能突变li c 储能：储能：221cccuw由于物体所具有的由于物体所具有的能量不能跃变能量不能跃变而造成。而造成。不能突变cu)0()0( ccuu注：注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uc 、il 的的初始值初始值。 设：设：t = 0 表示换路瞬间表示换路瞬间 (定为计时起点定为计时起点)； t = 0 表示换路前的表示换路前的终了终了瞬间；瞬间； t = 0+ 表示换路后的表示换路

7、后的初始初始瞬间瞬间(初始值初始值)。)0()0(ll00)(cu00)(l )0(),0( lciu0000)(,)(lciu0)0()0( ccuu0)0()0( ll u +-00)(cu, 00)(l , ruc)0()0(1)0)0(c0)0(2uuuul)0 ()0 (1) 0)0 (luic 、ul 产生突变产生突变(2) 由由t =0+电路，求其余各电流、电压的初始值。电路，求其余各电流、电压的初始值。u +-il(0+ )u ic (0+ )uc (0+)ul(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+ )r1+_+-t =0+等效电路等效电路例例3.2.1 确定图示电路中各

8、个电压和电流的初始值。确定图示电路中各个电压和电流的初始值。 设开关设开关s闭合前电感元件和电容元件均闭合前电感元件和电容元件均未储能未储能。 已知已知:u=6v，r2=r3=4，r1=2。ulr2+-ilucr3lc+-icr1+-ut=0isuc(0) = uc(0-)=0解：解：由题意可知：由题意可知：il(0) = il(0-)=0将将电容电容元件元件短路短路，电感电感元件元件开路开路，作出，作出t=0+等效电路图等效电路图iulr2+-ilucr3+-icr1+-u(0 )(0 )cii121uarr2(0 )(0 )lcur i4 14v 解：解： (1) 由由t = 0-电路求电

9、路求 uc(0)、il (0) 。换路前电路已处于换路前电路已处于稳态稳态：电容元件视为电容元件视为开路开路； 电感元件视为电感元件视为短路短路。由由t = 0-电路可求得：电路可求得：a1)0(3131311rrrrrurrril+_+_t = 0- 时等效电路时等效电路+_+_vriuulrc4)0()0(33 (2) 由由t = 0+电路求电路求 ic(0+)、ul (0+)。uc (0+)il(0+)t = 0+ 时等效电路时等效电路4v1a+_+_由换路定则：由换路定则：v4)0()0( ccuua1)0()0( llii+_+_带入数据：带入数据：4)0(4)0(28cii1)0(

10、)0(cii由图可列出由图可列出:)0()0()0(2ccuiriru)0()0()0(lciii 解之得解之得: a31)0( ci并可求出并可求出:)0 ()0 ()0 ()0 (32lccliruiruv311144314电量电量a/lia/civ/cuv/lu 0t 0t41103104311lciu 、lcui 、2. 换路前，若换路前，若uc(0-) = u0 0，换路瞬间，换路瞬间(t =0+等效电路等效电路 中中)，电容电容相当于相当于电压源电压源，其电压为，其电压为u0； 若若 uc(0-) = 0，电容电容相当于相当于短路短路；3. 换路前，若换路前，若il(0-) = i

11、0 0，换路瞬间，换路瞬间(t =0+等效电路等效电路中中)，电感电感相当于相当于电流源电流源，其电流为，其电流为i0 ； 若若 il(0-) = 0，电感电感相当于相当于开路开路。1. 经典法经典法: 根据激励根据激励(电源电压或电流电源电压或电流)，通过求解电路，通过求解电路 的微分方程得出电路的响应的微分方程得出电路的响应(电压和电流电压和电流)。2. 三要素法：三要素法：初始值初始值稳态值稳态值时间常数时间常数依次求依次求（三要素）（三要素）0ddccuturctucccddrucr换路前电路已处稳态：换路前电路已处稳态： 0)0(uuc t =0时开关时开关, 电容电容c 经电阻经电

12、阻r 放电。放电。12 s：一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程(1(1) ) 列列 kvlkvl方程：方程：0 cruu 零输入响应：零输入响应：无电源激励，无电源激励， 输入信号为零，仅由电容元件的输入信号为零，仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。初始储能所产生的电路的响应。图示电路图示电路uuc )0(+-sru21+ cicu0 tru+c10rcp 特征方程：特征方程：0(0 )(0 ) , ctuu根据换路定则 ，时，可得0au0ectrcuu齐次微分方程的齐次微分方程的通解通解：0 )0( e tcu tptauce0ddccuturcrctaucercp

13、1 电阻电压：电阻电压：rcturiucre0rctrutuciccedd0 放电电流放电电流: :0ectrcuu cuciru的变化曲线、rccuiu . 3t to o(2) (2) 物理意义：物理意义：rc令令:(1) (1) 量纲：量纲：svas 010%8 .36euuuc t当当 时时rctutuce)(0%8.36 时间常数时间常数等于电压等于电压cu衰减到初始值衰减到初始值u0 的的所需的时间。所需的时间。0.368u23cu 1urc trctuuucee00321 t0uc 当当0cu t0cu)5-3(t cu0.368u 0.135u 0.050u 0.018u 0.

14、007u 0.002u 2 3 4 6 51e 2e 3e 4e 5e 6e t e t e（4 4） 的计算的计算 rcr为从电容为从电容c 两端看进去的戴维宁等效电阻。两端看进去的戴维宁等效电阻。注意：同一电路只有一个时间常数。注意：同一电路只有一个时间常数。 解：解：先求先求uc(0-)3123(0 )cuurrrr633123v 例例3.3.1 已知已知s闭合前电路已处于稳定状态，闭合前电路已处于稳定状态，r1=1，r2=2，r3=3，c=5f，u=6v。在。在t=0时，将开关闭时，将开关闭合，试求合，试求t 0时电压时电压uc和电流和电流 ic、i1、i2。i2t=0s+-uc+uc

15、-icr1r2i1r3i2t=0s+-uc+uc-icr1r2i1r3 t t 0 0时等效电路时等效电路 i2+-uc+uc-icr1r2i1r3 电压源与电压源与r r1 1串联的支路被开关短路，对右边电路不起作用。串联的支路被开关短路，对右边电路不起作用。2323r rcrrccduicdt 计算时间常数计算时间常数 ： veeuttc56107 . 110613366 10 s51.7 102.5tea 23cuir12ciii51.7 101.5tea 51.7 10 tea零状态响应：零状态响应：储能元件的初始能储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的量为零，仅由电源激励所产生

16、的电路的响应。电路的响应。000tutuuc (0 -) = 0sru+_c+_i0 tucutu阶跃电压阶跃电压ouuturccc dd一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次微分方程非齐次微分方程uuucr cccuutu )(即即1. uc的变化规律的变化规律(1) 列列 kvl方程方程uc (0 -) = 0sru+_c+_i0tuc 求求特解特解 ：cuuuturcccdduuu kc即即： 解解得得：kdtdkrcukuc, 代入方程设：rctcccaeuuuu uutucc)()(cu tauuuuccc e0ddccuturc通解即：通解即：的解的解）（令令rc cu求特解求特解 -

17、 rctcaeaeupt 其其解解：0)0( cu根据换路定则在根据换路定则在 t=0+时，时，ua: :则则)0()() e1e1( ttrctuuuc rctcuuu e 暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量电路达到电路达到稳定状态稳定状态时的电压时的电压-ucu cu+ucu仅存在于仅存在于暂态过程中暂态过程中 63.2%u-36.8%utcuocucicicutcuci当当 t = 时时ueuuc%2 .63)1 ()(1)e1(rctuuc 0 eddtrutucitcc uruu0.632u1 2 3 321 cu0cu 2 6 4 5 3tcuo计算线性电路暂态过程（计算线性电路暂态

18、过程（经典法经典法）步骤）步骤:1.根据换路后的电路列微分方程根据换路后的电路列微分方程2.求特解求特解(稳态分量稳态分量)：cucu3.求齐次方程的通解求齐次方程的通解(暂态分量暂态分量)：4.由电路的初始值确定积分常数由电路的初始值确定积分常数 对于复杂一些的电路，可由戴维宁定理将储能元对于复杂一些的电路，可由戴维宁定理将储能元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联的简单电件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联的简单电路，然后利用经典法的结论。路，然后利用经典法的结论。i2+-uc+uc-icr1i1r2st=0例例3.3.2 已知已知u=9v，r1=6k，r2=3k，c=1000pf，u

19、c(0-)=0, 求求s闭合后的闭合后的uc( t )。解：解： 应用戴维宁定理简化应用戴维宁定理简化 电路电路(t 0时时)：+-ec+uc-icr0 在等效电路中在等效电路中212r uerr0r c12012r rrrr2k3 v62 10s(1)tcuee55 103(1)tev uc 全响应：全响应：电源激励、储能电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。电路中的响应。) 0()e1(e 0 tuuurctrctcu uc c (0_) (0_) = u0s sr ru u+ +_ _c c+ +_ _i i0tu uc c) 0()e1(e 0

20、 tuuurctrctc) 0( )e( 0 tuuurct稳态分量稳态分量零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应暂态分量暂态分量全响应全响应: :稳态值稳态值初始值初始值例例1. 电路如图所示，电路如图所示，r =2，c=1f，i =2a，uc(0)=u0=1v。 求求：t0时的时的uc ，ic和和ir，并作出曲线。，并作出曲线。 解：解： t0的电路如下图的电路如下图b所示所示应用戴维宁定理进行等效变换，电路如图应用戴维宁定理进行等效变换，电路如图c。图图cr0+-ucc+-eic+-ucicricir图图bt=0s1+-ucics2s3t=0t=0ricir等效电源的电动势和内阻分别为

21、：等效电源的电动势和内阻分别为：e = ri =4vr0=r=2时间常数为：时间常数为：scr601020()tcueue eccduicdt由此得：由此得：cruir图图c cr r0 0+ +- -u uc cc c+ +- -e ei ic c60.5 1043tev60.5 101.5tea60.5 102 1.5teauc/v10ti/a21.50.50irictuuc )(稳态解稳态解初始值初始值0)0()0(uuucc tcuuuu e )(0rctccccuuuu e)()0()(uc (0 -) = uosru+_c+_i0tuc)(tf-)( f稳态值稳态值-)0( f -

22、 tffftf e)()0()()(利用求三要素的方法求解暂态过程，称为利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法三要素法 )0( f)( f)0( ft)(tfo)( f)0( f0)0()a( f0)0()b( f0)()c ( ft)(tfot)(tfo)( f0)()d( ft)(tfo)0( f)( f)(f)0 (f(1) 求初始值、稳态值、时间常数；求初始值、稳态值、时间常数；(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；)0()0()( 632

23、0 fff.tf(t)o稳态值稳态值电电容容 c 视为开路，电感视为开路，电感l视为短路视为短路”，即求解直流电阻性，即求解直流电阻性电路中的电压和电流值。电路中的电压和电流值。v555510)( cu6666)( lima3 (1) 稳态值稳态值 的计算的计算)( fuc+-t=0c10v 1 fs例：例：5k +-lit =03 6 6 6mas1) 由由t=0- 电路求电路求)0()0( lciu、2) 根据换路定则求出根据换路定则求出)0()0()0()0( llcciiuu3) 由由t=0+时时的电路，求所需其它各量的的电路，求所需其它各量的)0( i)0( u或或电容元件视为电容元

24、件视为短路短路。;0u其值等于其值等于， 0)0(cu若若(1) 若若， 0)0(0 uuc电容元件用电容元件用恒压源恒压源代替，代替，)0( f(2) 初始值初始值 的计算的计算 其值等于其值等于 电感元件视为电感元件视为开路开路。， 0)0(li若若(2) 若若 电感元件用电感元件用恒流源恒流源代替，代替， 0 )0(0iil； 0i(3) 若不画若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列的等效电路，则在所列 t = (0+ ) 时时的的 方程中应有方程中应有 。)0()0(llcciiuu、cr0 0rl r1u+-t=0cr2r3su0+-cr0r0r1r2r3解解:电路如图，电路如

25、图，t t=0=0时合上开关时合上开关s s，合，合s s前电路已处于稳前电路已处于稳态。试求电容电压态。试求电容电压 和电流和电流 、 。 cuci2i)0( cuv54106109)0(33 cuv54)0()0( ccuut t =0=0- -等效电路等效电路)0( cu9ma9ma+ +- -6k6k r rs s9ma9ma6k6k 2 2 f f3k3k t t=0=0ci2icu+ +- -c c r rtcccceuuuu )()0()()( cu由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值)( cu(33 cus3630104102103636 cr )

26、( cut 电路电路9ma+-6k r 3k v54)0(cuv18)(cus3104ve3618e )1854(182503104ttcu ttucicc250e )250(36102dd6 ae018. 0t250 18v54vtcuo tcccciiii e)()0()(用三要素法求用三要素法求ci0)( cimae126250t 32103)()( tuticmae18)(250ttic ma181025418)0(3 ci54v18v2k )0( ci+-s9ma6k 2 f3k t=0ci2icu+-c r3k 6k )0( ci+-54 v9mat=0+等效电路等效电路由由t=(

27、0-)时电路时电路例例2：解：解：v333216)0(cu求初始值求初始值)0( cuv3)0 ()0 (ccuu+-st=0c f56v1 2 cu3 2 1 +-)0( cut=0-等效电路等效电路1 2 6v3 )0( i+-求稳态值求稳态值 cu 0 cuve33e05107.16610tttccccuuuutue )()0()()(s6600161053232cr求时间常数求时间常数由右图电路可求得由右图电路可求得:cf 52 cu3 2+-1tucticcdd)(ae5 . 25107 . 1tae3)(5107 . 12tcuticiiti21)(tt5107 . 15107 .

28、 1e5 . 2ea5107 . 1e5 . 1t例例3.4.2 求换路后的求换路后的uc和和uo 。设。设uc(0-)=0 。(1)确定初始值确定初始值0)(0)(0ccuu(0 )6vou(2)确定稳态值确定稳态值v2)(211rruruc( ) 624 vou(3)确定时间常数确定时间常数s521211032crrrrv22)20(255105 . 1105 . 1ttceeuv24)46(455105 . 1105 . 1ttoeeu解：解：+-ur220k r1 10k c 1000pfucst =0+-6vuo+-p)1(trc 1ut tt tu u0 0t tp pv0)0(_

29、 cucr1u2u+_+_icu+_21uuuc turcriuccdd2turcdd1 由公式可知由公式可知输出电压近似与输入电输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。压对时间的微分成正比。1utt1utpot2uov0)0(_ cucr1u2u+_+_icu+_由于由于 tp，除了充放电开始，除了充放电开始的极短瞬间外，有：的极短瞬间外，有：12ccuuuuut2t2utuut2tt2u2ttutt/21utptcut2tcr1u2u+_+_icu+_t2tt2u缓慢充、放电过程，缓慢充、放电过程，u2=ucur， 因此因此:;p)1(trc riuuuurr21rui1pt输出电压与输

30、入电输出电压与输入电压近似成积分关系压近似成积分关系2. 分析分析:1uttu0tpturcticuucd1d112v0)0(_ cucr1u2u+_+_iru+_t2utt12utt2t1u2utt2t1u用作示波器的扫描锯齿波电压。用作示波器的扫描锯齿波电压。u1 与与rc电路的响应分析方法完全一致，可同样应用电路的响应分析方法完全一致，可同样应用三要素法三要素法来求解，只是时间常数与来求解，只是时间常数与rc电路不一样。电路不一样。rl时间常数：时间常数：rllit=012v+-r1ls)(ti1hu6 r23 4 r3)(tu+-li tlllliiii e)()0()()0( lir

31、uiill )0()0(0)( li 2) 确定稳态值确定稳态值)( li rl tlrtlrlrurui ee )0(0ruluu+-srl21t=0li+-+-tlrutilul eddtlruriul erliotruoutlutlrruil eru-uuru%8 .36ruluu+-srl21t=0li+-+-tilulldderuil)0(0)0(liruiill )0()0(表表表rrurivl)0()0(ruluu+-srl21t=0li+-+-ruluu+-srl21t=0li+-+-vr vdruluusrl21t=0li+-+-r ruluusrl21t=0li+-+-图示

32、电路中，图示电路中，rl是发电机的励磁绕组，其电感较是发电机的励磁绕组，其电感较大。大。rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电阻关触头，往往用一个泄放电阻r 与线圈联接。开关接与线圈联接。开关接通通r 同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳到到 3的位置，此时电路完全断开。的位置，此时电路完全断开。(1) r =1000 , 试求开关试求开关s由由1合合向向2瞬间线圈两端的电压瞬间线圈两端

33、的电压url。已知30,80 h,10 ,v220frrlu电路稳态时电路稳态时s由由1合向合向2。(2) 在在(1)中中, 若使若使u不超过不超过220v, 则泄放电阻则泄放电阻r 应选多大？应选多大？ulrf+_rr 1s23ia23080220frruiv20602)100030()()0(firrurl(3) 根据根据(2)中所选用的电阻中所选用的电阻r , 试求开关接通试求开关接通r 后经过后经过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出多长时间，线圈才能将所储的磁能放出95%？(4) 写出写出(3) 中中url随时间变化的表示式。随时间变化的表示式。2202)30( r即即 80r2221)95. 01(21lili 222102105. 01021 ia446. 0 i求所经过的求所经过的时间时间ttlrrriei19e2f t19e2446. 0 s078. 0 t)(frriurl 计计算算若若按按 80)4(rv19220e)8030(tiurl tlllliiii e)()0()(li)e1 ()0(tlrtlrlrueruruiruil )(0)0()0(lliirl )0)0(0( liuluu+-srlt=0liru+-+-tlrtl