最新华约自主招生全真模拟数学AAA(含答案以及详解)

1、 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟advanced assessment for admission（aaa）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1 已知p为三角形abc内部任一点（不包括边界），且满足，则abc一定为( )a直角三角形；b. 等边三角形；c. 等腰直角三角形；d. 等腰三角形2圆锥的轴截面sab是边长为2的等边三角形，o为底面中心，m为so的中点，动点p在圆锥底面内（包括圆周）。若ammp，则p点形成的轨迹的长度为_a. b. c. 3 d.3.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四

2、面体，则所作四面体的体积为_a.1 b. 2 c. 3 d. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0n-1中的任意一个数。如果初始时显示20xx，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 a .1 104 b. 1 105 c.1 106 d.1 1075已知，直线与的交点在直线上，则 。a.0 b.1. c-1 d.26设，则。a 1 b 2 c 3 d 47 已知，则 a 4/5 b 3/5 c1 d -4/58顶点在同一球面上的正四棱柱中，则两点间的球面距离为（ ） a b c d9. 在平面直角

3、坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为n，则由点集n所成区域的面积为 。a 81/4 b 83/4 c 81/5 d 83/510. 已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点p、q，则f1pq内切圆面积的最大值是 a 2516 b 925 c 1625 d 916二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值二、已知椭圆c：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点a坐标为(6, 0)，b为椭圆c上的动点，以a为直角顶点，作等腰直角abp（字母a，b，p按顺时针

4、方向排列），求p点的轨迹方程。三.（本小题满分25分）已知数列an中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2（3k+2k）x+3k×2 k =0的两个根.（1）求数列an的前2n项和s2n.（2）记f（n）=（+3），tn=+，求证：tn（nn+）四、已知椭圆 过定点a（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为b、c。现有以a为焦点，过b，c且开口向左的抛物线，其顶点坐标为m（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某

5、次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 （1）求随机变量的数学期望e； （2）记“关于x的不等式的解集是实数集r”为事件a，求事件a发生的概率p（a）。高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟数学答案及详解1 解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 d。2 解：建立空间直角坐标系。设a(0,-1,0), b(0,1,0), ，p(x,y,0).于是有由于ammp，所以，即，此为p点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此 选 b。3.

6、 b 4. 答：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了20xx，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为 注意到两式相除即得。5解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。6解： 。7 8 b9. 答：令，原方程化为 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或点集n所成区域为图中阴影部分，其面积为10. 答：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且f1pq的周长是定值8，所以只需求出f1pq面积的最大值。设直线l方程

7、为，与椭圆方程联立得，设，则，于是。因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。二、解答题一 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减故注重分类讨论二、解：（1）设c为椭圆的焦半径，则。于是有a5，b3。（2） 解法一：设b点坐标为，p点坐标为。于是有因为，所以有。 (a1 )又因为abp为等腰直角三角形，所以有 ab=ap，即 。 (a2 ) 由（a1）推出，代入（a2），得 从而有 ，即（不合题意，舍去）或。 代入椭圆方程，即得动点p的轨迹方程解法二： 设,

8、，则以a为圆心，r为半径的圆的参数方程为。设ab与x轴正方向夹角为，b点的参数表示为，p点的参数表示为.从上面两式，得到。又由于b点在椭圆上，可得。此即为p点的轨迹方程。三.（i）解：方程的两个根为， （5分） （10分）() 证明：，所以， （15分）当时， （20分）同时，综上，当时， （25分）四、解：椭圆过定点a（1，0），则，。由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。联立方程 ，解得 。，。设抛物线方程为：，。又 ， 把 ， 代入得，。令， 在内有根且单调递增， 综上得：。五、（1）由题意知的可能取值为0，2，4指的是实验成功2次，失败2次.指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.指的是实验成功4次，失