高中数学新课标人教A版选修2-2学案_2.2第2课时分析法正式版

1、第二章推理与证明第二节直接证明和间接证明第二课时分析法一、课前准备1 .课时目标(1)、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；(2)、了解分析法的思考过程、特点。2 .基础预探(1)分析法的定义：从要证明 的出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的,直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 的条件为止，这种 证明的方法叫做分析法.(2)分析法是数学中常用到的一种 证明的方法，从推理的程序上来讲，它是一种 从 (从结论到题设)的逻辑推理方法.(3)分析法定义中这个明显成立的条件可以是： 、等。其特点：,即要证结果Q,只需证条件P二、学习引领1 .用分析法论证“若 A则B&

2、#39;这个命题的格式欲证命题B为真，只需证命题 B1为真， 只需证命题B2为真， 只需证命题 Bn为真，只需证命题A为真，令已知命题 A为真，故命题 B为真。2 .分析法的思路分析法的思路是“执果索因”，未知推出已知。即从求证的结论出发， 不断地找出结论成立的充分条件来代替前面的结论，直至找到已知的结论为止。3 .分析法和综合法的联系分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法 是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的 已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达 到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为

3、执果索因，综合法表 现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 三、典例导析题型一 分析法在不等式证明中的应用例 1 已知 a >0, b >0,2c>a+b ,求证：c - Jc2 -ab < a <c + Jc2 -ab .思路导析：观察待证式子是连锁不等式，不易用比较法，又待证式子等价于 c2lc -ab <a -c cJc2 -ab ,即a -c|c2 -ab ,也不具备使用基本不等式的特点，而用分析法比较合适.证明：要证 c 7c -ab <a <c +Jc2 -ab ,只需证 _ c _ ab ：: a _ c

4、 ：: c _ab只需证 a -c <Jc2 ab ,即证(a -c)2 <c2 -ab ,即证 a2 -2ac < -ab .a >0 ,只需证 a -2c <-b ,即证a +b <2c ,这为已知.故原不等式成立.规律总结：分析法的步骤是未知一需知一已知，在操作中“要证”，“只需证”，“即证”这些词语是不可缺少的.ii变式练习1设x > 0,y > 0 ,证明不等式：(x2 + y2/A(x3+y3)'题型二 分析法在三角函数中的应用例2.已知函数f ( x)=t anx引'，闻,若x1,x2 w ： 0,且x10x2.证明

5、221xi x2-f(xi)+f(x2)>f2 I.思路导析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手步步变形，问题极易解决.证明：要证 lf(x1)+f(x2)>f'xx2 I1, 22只需证1X x2-(tanxi + tanx?) >tan- ,只需证 L+加j+x)(“化切为弦”), 2、cosx cosx2 , 1 +cos(xi +x2)只需证只需证sin(x1 x2)sin(x1 x2)2cos x1 cosx21 cos(x1 x2)sin(x1 x2)sin(x,x2)cos(x1 x2) cos(x1 -x2) 1 cos(x1 x2

6、)只需证明0 <cos(x1 -x2) <1 ,则以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论.规律总结：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口.变式训练2已知U、P ¥kn十一(kW Z),且2sin +cos6 = 2sin 口 sin 日 cos日=sin2 F卷求证:.21 - tan 二1 tan2 二1 - tan2 :2(1 tan2 )题型三 分析法在几何中的应用例3.如图、已知 BE CF分别为 ABC的边AC AB上的高，G为EF的中点，H为BC 的中点.求证：HGL EF.思路导析：根据线线垂直的定义，可通过寻找特殊三角形来解决。

7、证明：考虑待证的结论“ HGL EF'根据命题的条件：G为EF的中点，连接 EH HF,只要证明 EH助等腰三角形，即 EHHF根据条件CF，AB且H为BC的中点，可知 FH是RtBCF 边上的中线.1 所以 FH =-BC2_ 1 一同理HE BC.2这样就证明了 EHF为等腰三角形.所以HGL EF规律总结：分析法在几何的证明中应用广泛，可通过分析法寻找证明或求解的条件，再利用综合法把证明过程写出来。变式训练3如图,SA，平面ABC,ABL BC,过A作SB的垂线，垂足为E,过E作SC的垂线, 垂足为F,求证AF XSC题型四 分析法的实际应用例4.求证：当一个圆和一个正方形的周长

8、相等时，圆的面积比正方形的面积大。思路导析：先把题目条件转化成数学符号，再根据结论利用分析法寻找思路。121 2证明：设圆和正方形的周长为 1,则圆的面积为 几（三22 ,正方形的面积为（7）2。因此，本题只须证明：n（-L）2 （i）2o2 二 4为了证明上式成立，只须证明:二 12124- > 16 '一 ,4 L 11两边同乘以正数4,得1 .1。12 二 4因此，只须证明4冗。1 21 2因为上式是成立的，所以 兀()2 >(-)2o2 二 4这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大。规律总结：从上述分析过程可看出，在综合分析、执果索

9、因寻找需知的过程，要把结论的分析与条件的转化结合起来，不可偏废.变式训练4设a,b,c为一个三角形的三边，且S2=2ab, s=(a+b+c)试证：s < 2a2四、随堂练习1 .分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2 .分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c,且a+b+c=0,求证：-/b2- ac<，3a索的因应是()A.a b>0B.a c>0C.(a b)(a-c)>0D.(a b)(ac)<03.设 a、b、cC h, P= a+b-c, Q= b+c-a

10、, R= c+a-b,则“ PQR0” 是 “ P、Q R同时 大于零”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 .如果ag+blbAadb+bja,则实数a、b应满足的条件是 .5 .设 a>0, b>0,则下面两式的大小关系为lg(1 + /ab)：lg(1 +a) + lg(1 +b).6 .已知：a + b + c = 0 ,求证：ab + bc + ca < 0五、课后作业1. p =/b+gcd, q = dm升 nc 勺*,(m n、a、b、c、d 均为正数)，则 p、q 的大小 为()A. p>qB. p<

11、;qC. p>qD.不确定2 .已知函数 f(x)=),a、bCR+,A= fja2bi；B= f(Vab),C= f)则A、B C的大小关系为()A. Aw BK CC. BK C< A3 .已知 y>x>0,且 x+ y=1, x + yA. x<2 <y<2xyx+ yC. x<-2 <2xy<yB. Aw (X BD. Cw B< A那么()x+ yB. 2xy<x<2 <yx+ yD. x<2xy<2-<ya>b>0,且 a2+%=1,贝U ab>a2b2；4 .给

12、出下列不等式:a Lalb2a, be R,且 ab<0,则一2；aba+ maa>b>0, n>0,则 鼠?mb； x + x >4（ xw0）.其中正确不等式的序号为 .（a一b）a+b（ （a一 b）5 .已知 a>b>0,求证、8a <-2-V0b<_8b.第二课时分析法答案解析一、基础预探1 .结论；充分条件；明显成立2 .直接；未知到已知3 .已知条件；定理；公理；定义；执果索因三.典例导析变式训练1.证明：所证不等式即：（x2 +y2）3 >（x3 +y3）2即：x6 y6 3x2 y2（x2 y2） x6 y6 2x3

13、y3即：3x2y2(x2 y2) 2x3y3c c 2只需证：x2 y - xy3222,、x +y 上ZxyAxy成立11 (x2y2)2 (x3 y3)32.证明：因为（sin 日+cos日）22sin 日cosH =1,所以将、两式代入上式，得： 4sin2a _2sin2 P =1.2.2 口 七,诙 丁 1 - tan 11 - tan :另一万面，要证 2 =21 tan =2(1 tan ：)1 -即证sin2 112 cos ; sin2 ：2- cos :2(1sin2 :cos2 -sin2 P) cos2 -即证 cos2 a -sin2 a = (cos2 P -sin

14、2 P), 21即证 1 -2sin2 1二1(1-2sin2 ：),2即证 4sin2a _2sin2 P =1 ,由于上式与式相同，于是问题得证。3 .证明：要证AFLSG只需证：SC，平面 AEF,只需证：AELSC,只需证：AE，平面SBC只需证：AEBC,只需证：BC,平面SAB只需证：BCSA,只需证：SAL平面 ABC 因为:SAL平面ABC成立。所以.AF LSC成立。s2, 14 .证明：欲证s<2a,只需证s < 一，即证b<s,也即证b< (a+b+c)即证b<a+c因为a,b,c b2为一个三角形的三边，所以b<a+c成立.故s<

15、;2a成立. 四、随堂练习1. A解析：二分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；.分析法是从要证 的结论出发，寻求使它成立的充分条件故选A2. C 解析：要证邓2 ac<。3a只需证b2ac<3a2只需证b2a( b a)<3a2只需证2a2 ab b2>0.只需证(2a+b)( ab)>0,只需证(ac)( ab)>0.故索的因应为 C.3. C解析： 首先若P、Q R同时大于零，则必有 PQR0成立.其次，若 PQR0,且P、Q R不都大于0,则必有两个为负，不妨设 P<0, Q0,即a+b-c<0, b+ca<0, b&l

16、t;0与 bC R+矛盾，故P、Q R都大于0.4. a>0, b>0 且 awb 解析：aVa+bVb>a>/b+b/a? (Va_Vb)2(Va+Vb) >0?a>0, b>0 且 aw b.5. w解析： ,/ (1 + -/ab)2- (1 + a)(1 + b) = 1 + 2-/ab+ ab- 1 - a- b- ab= 2/ab- (a + b) = ("y/b)w 0.(1 +Ob)w (1 +a)(1+ b) ,lg(1 +Vab) &2lg(1+ a) + lg(1 +b) .6.证明：要证ab + bc + ca

17、 w 0a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca w( a + b + c)2222即证：a b c ab bc ca _ 01即：一（a+b）2+（b+c）2+（c + a）2之0（显然）2原式成立五、课后作业1.B 解析：q7ab+喀喈+cd «+2屈+8 = Vab+Vcd=p.一 a+ b 2ab 一，1 x ,、，、一，一一2. A 解析：2>4ab>aTb，又函数'（'）=,，在（一°°, +°°）上是单倜减函数,x =则x/=7, 2xy=.所以有 4228 f审产f（朝尸,裁）3.

18、3D 解析： . y>x>0,且 x+y=1,设 y=4,x+y x<2xy<2-<y,故排除 A、B C.1a-七1)则有a+1>| 13,（且等号不同时成立）解得aw 2.4.解析:a>b>0,a2 b = ab/.1- ab>0, 4b 2 b2aw |. a + 4= 1>ab- a2b2= ab(1 - ab)>0 , 1- ab>a2b2 正确.a2+b2(a+b)2u+ 2=-一r,.ab<0, abab2a2+ b2_ (a+b) 0, - r & 2,正确;ab>(；>0, b+

19、m b b(b+n)a+m a:<b+m b(b-a) m m>0, .b(b+n)>0, b-a<0, 一<0, b(b+n)不正确. x + 4 = | x| +-4->4,正确. x 1 x|,225.证明：欲E 9f也符,<奇2成立. 8a 28b, 一 、2, 一 、2(a b)(a b)只需证一;<a+b-Rab<4a4b?1+$2<1+，专嗡沁a.(ab)2a+b, (a - b)2从而，有8a <-2"" Mab<8b.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：

20、古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉

21、图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。了这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学

22、好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所

23、有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了 “针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问

24、题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试：用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的

25、结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，

26、笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让 读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这 个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的

27、国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们 能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不 说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模 式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。 然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会