一元二次方程章节重点知识点复习

1、学习必备精品知识点一元二次方程章节复习一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念解与解法根的判别韦达定理(1) 定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2，这样的 整式方程 就是一元二次方程。(2) 一般表达式： ax 2 bx c 0( a 0)难点 ：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A3 x2x11112B2 0x2xCax 2bx c0Dx 22x x21变式：当 k 时，关于 x 的方程 kx 2

2、2x x23是一元二次方程。例 2、方程 m2 x m3mx 10 是关于 x 的一元二次方程，则m 的值为。针对练习：1、方程 8x 27 的一次项系数是，常数项是。2、若方程 mm10 是关于 x 的一元一次方程，2 x求 m 的值；写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程m1 x 2mx1 是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。学习必备精品知识点考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用 ：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知 2 y2y3 的值为 2，则 4 y22 y1的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程a2 x 2xa 240的

3、一个根为 0，则 a 的值为。例 3、已知关于 x 的一元二次方程ax 2bxc0 a0 的系数满足 a cb ，则此方程必有一根为。针对练习：1、已知方程 x2kx 100的一根是 2，则 k 为，另一根是。2、已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个解与方程x13的解相同。x1求 k 的值；方程的另一个解。3、已知 m 是方程 x2x10 的一个根，则代数式 m2m。 4、已知 a 是231 02。x的根，则2a6ax 5、方程 ab x 2bc xca0 的一个根为（）A1B1CbcDa 6、若 2x5 y30, 则 4 x32 y。考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；

4、公式法关键点： 降次类型一、直接开方法：x2m m 0 ,xm对于 x a 2m ， axm 2bxn 2等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： 1 2x 280; 22516x 2 =0;3 1 x 29 0;例 2、若 9 x 1 216 x 2 2，则 x 的值为。针对练习： 下列方程无解的是（）学习必备精品知识点A. x 23 2x21B. x 2 20C.2x 3 1 xD. x 29 0类型二、因式分解法: x x1 x x20x x1 , 或x x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如22x a x c ，ax mbx n ， x a x

5、 bx22ax a 20典型例题：例 1、2x x35 x3的根为（）Ax5B x 3Cx15 , x23Dx2225例 2、若 4xy 23 4xy40 ，则 4x+y 的值为。变式 1： a 2b22a2b 26 0, 则a2b 2。变式 2：若 x y2xy30，则 x+y 的值为。例 3、解方程： x2231x2340例 4、已知2x23xy2 y 20,则 xy 的值为。xy针对练习：1、下列说法中：方程 x 2pxq0 的二根为 x1 ， x2 ，则 x2px q(xx1 )( xx2 ) x26x 8 (x2)( x4) . a25ab 6b2(a2)( a 3) x2y 2(

6、x y)( xy)( xy )方程 (3x1) 270 可变形为 (3x1 7)(3x17 )0正确的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、以 17 与 17 为根的一元二次方程是（）A x22x6 0B x22x 6 0学习必备精品知识点C y 22 y 6 0D y 22 y 6 0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、 y 满足 xy 3 xy 20 ，则 x+y 的值为（）A、-1 或-2B、-1 或 2C、 1 或-2D、1或 25、方程： x212的解是。x22类

7、型三、配方法ax 2bx c0 a0xbb24ac2a4a 2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明x 22x 3的值恒大于 0。例2、已知 x、 y 为实数，求代数式x2y 22x4 y7 的最小值。例3、已知 x2y 24x6y130，x、y为实数，求x y 的值。例4、分解因式：4x212 x3针对练习： 1、试用配方法说明10 x27 x 4 的值恒小于 0。 2、已知 x 21x140 ，则 x1.x2xx 3、若 t23x 212x9 ，则 t 的最大值为，最小值为。学习必备精品知识点类型四、公式法条件： a0, 且

8、 b24ac 0公式： xb b 24ac , a 0,且 b24ac 02a典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： 31x 26. x3 x68. x 24 x10 3x 24x10 3 x1 3x1x1 2x5类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例 1、如果x 2x10 ，那么代数式x32x 27 的值。例 、已知 a 是一元二次方程x23x 1 0a32a 25a 1 的值。2的一根，求a 21考点四、根的判别式 b 24ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它 。典型例题：例 1、若关于 x 的方程 x22k x 10 有两个不相

9、等的实数根，则k 的取值范围是。例 2、关于 x 的方程 m1 x 22mxm 0 有实数根，则 m 的取值范围是 ()A. m 0且m 1B. m0C.m 1D.m 1学习必备精品知识点例 3、已知关于x 的方程x2k2 x2k0(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例 4、已知二次三项式9x 2(m6)xm2 是一个完全平方式，试求m 的值 .针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式x2kx9 是完全平方式。2、当 k 取何值时，多项式3x24x2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知

10、方程 mx2mx2 0 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 4、 k 为何值时，方程组ykx2,y24x2 y1 0.（ 1）有两组相等的实数解，并求此解；（ 2）有两组不相等的实数解；（ 3）没有实数解 .考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m 为 ,只有一个根，则m 为。例1、不解方程，判断关于x 的方程 x22 xkk 23 根的情况。学习必备精品知识点例 3、如果关于x 的方程x2kx20及方程x 2x2k0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。考点

11、六、根与系数的关系前提：对于 ax 2bx c0 而言，当满足a0 、0 时，才能用韦达定理。主要内容： x1bcx2, x1 x2aa应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x 28x7 0 的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A. 3B.3C.6D.6例 2、已知关于 x 的方程 k 2 x 22k 1 x 10 有两个不相等的实数根x1 , x2 ，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。例 4、已知,是方程 x 2x10 的两个根，那么43.针对练习：1、已知 x1 ,

12、x2 是方程 x 2x90 的两实数根，求x1 37 x2 23x266 的值。考点七、应用解答题“碰面、握手”问题；“增长率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？学习必备精品知识点2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？3、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品， 据市场分析， 若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过