数字信号处理讲稿13

1、数字信号处理讲稿电子科技大学微固学院张鹰第一章 引言 所谓数字信号处理，是将信号数字化，再利用数字系统对其进行处理。这样的一种处理方式，已经逐渐成为常见的信息处理方式，渗透到我们日常生活中各方面，以至于我们这个时代被称为了“数字时代”。 什么是数字信号？为什么需要采用数字信号处理呢？ 信号是由各种变化的物理量构成的，通过不同的方式为我们传递各种信息，例如语音、音乐、图像、视频等，人们为了了解周围的环境世界而发射的各种探测信号以及收集的测试数据也是信号的常见种类。 随着电子技术的发展，人们希望利用电子技术对信号进行处理，于是研究了各种传感器，将各种力学、光学、热学、电磁学领域的变化物理量转变为随

2、时间变化的电压信号。这种电压信号随时间变化的规律与其表达的信号变化完全一致，可以看着是对各种信号的模拟，因此被称为模拟信号。 模拟电压信号能够方便地在电路中进行传输、放大，也可以使用各种电子元器件构成的系统对其进行各种处理，这些系统通常也称为模拟系统。这些系统的出现和应用使电子技术得到了极大的发展，收音机、电话通讯、电视机的普及改变了人们的生活，推动了社会的进步。 然而，随着技术的进步，需求的提高，模拟技术中的一些问题也日益显现出来。模拟电压信号容易受到环境因素的影响而发生改变，容易受到干扰而出现误差；当信号在处理系统中传递时，电子元器件的精度及参数漂移可能导致信号的不稳定；信号长距离传输时，

3、信号衰减和干扰失真成为突出问题；在考虑系统的集成化时，各部分信号的电磁相互作用以及热影响成为极大的设计障碍；此外，模拟信号的大规模长期可靠保存也是模拟技术难以解决的问题。这些问题的根源在于模拟电压信号本身也是一种变化的物理量，无法割裂与物理环境的相互作用。如果能够使信号摆脱物理量的身份，成为抽象的信息表达，则可以根除模拟技术中的种种弊病。这种想法构成了数字信号和数字技术的基础。数字信号是通过对模拟信号进行离散测量得到的。每隔一段时间，对模拟信号进行一次测量，将测量值采用有限精度的数字表达。将逐次测量得到的这些数字按照测量先后顺序排列起来，就可以得到一个有限长度的数字序列，这就是数字信号。 数字

4、信号是由抽象的数字构成的，它与物理量或物理环境脱离了联系，不会受到其影响，这使数字技术具有了独特的优势。数字信号的精度不受环境的影响，具有优异的抗干扰特性，各种高保真音响、高清晰图像正是得益于此。抽象的数据容易采用多种方式进行长期保存，各种超大容量存储技术也就伴随着数字技术的兴起发展起来。保存的抽象数据容易进行各种运算，复杂的运算处理系统得以实现。数字信号与电路中的电流电压功率不直接相关，运算处理系统可以进行功率最小化设计，电路的超大规模集成也就飞速发展起来。计算机技术、通信技术、控制技术、广播电视、互联网等等都伴随着数字技术而快速发展，使我们的社会和生活发生日新月异的变化。 数字信号处理由数

5、字系统来实现，数字系统的作用是将输入的数字信号进行运算后，转变为新的数字信号输出。由于数字信号均为抽象的数据，对这种数据的不同处理方式也就体现为种种不同的运算方法（算法），这些算法由运算规则构成，算法的具体实现可以采用软件系统实现，也可以采用硬件结构设计实现。 最常用的数字信号处理系统主要可以分为信息保存系统和信息提取系统，前者主要考虑在信号表达方式转换的过程中保存信息不发生失真，而后者则希望从大量的不同信息和噪声中分离出所需要的信息。对于信息保存系统，本课程将在第二章介绍数据采集系统，主要讨论信号采样与量化过程中的基本思路；在第三章介绍频谱分析系统，主要考虑算法效率的问题，引入快速算法的基本

6、思想；第四章介绍数据压缩系统，将以音频信号为例，介绍在采样、量化、编码、表达等不同方面对信号进行压缩的一些典型想法。信息提取系统是本课程的主要关心部分，首先在第五章将对线性时不变系统的表达和实现做一个基本的介绍，然后通过第六章对简单系统的分析，使读者对典型频率选择系统的构成具有直观的了解；在此基础上，通过第七章和第八章，对频率选择系统的典型设计方式进行介绍，对于FIR系统主要介绍线性相位系统的构成、时域窗口设计的思路、频域逼近优化的算法考虑，而对于IIR系统，则主要介绍模拟变换法的思路，介绍常用的系统的特点以及主要的变换方式。从噪声中提取信息是信号处理领域的重要工作，课程第九章将对自适应系统进

7、行简单介绍。此外，为了提高数字信号处理系统设计效率，一些必要的结构设计思路也需要在课程中体现。课程第十章和第十一章分别介绍变采样系统和离散小波系统是表达这方面的一些努力。 作为研究生课程，本课程关注的要点不在技术细节的具体实现上，而是关注于问题的提出和解决的方案。希望通过本课程的学习，使读者得到一些思维方面的训练，不是被动的接受知识，而是在如何发现问题解决问题方面有所收益。随着数字技术的广泛应用，数字信号处理的各类教材很多，都具有很好的参考价值，可以作为课程内容的补充。作为现代运算工具的使用，本课程多数运算都可以采用“MATLAB”软件进行，读者可以自行使用工具软件进行信号的采集、分析和处理，

8、由此对本课程提出的各种问题进行研究。第一章作业：1、例举三种我们在生活中能够感受到的信号，它们使用哪些物理量表达？2、例举我们生活中所使用的或所了解的三种数字系统？3、根据你所了解的知识，分析数字技术的优点和局限。 第二章 数据采集系统 从原理上说，对模拟信号进行等时间间隔的测量（采样），将测量数据以有限精度数字表达（量化），得到的数字序列就是数字信号。 信号是信息的载体。在数字化的过程中，希望尽可能保障信号中的信息不失真，同时也希望数字化过程的效率高一些，成本低一些。 本章将分别讨论信号数字化在采样和量化过程中表现出的一些特点，使我们对数字信号的表达有更准确的认识。同时，考虑到计算机技术的普

9、及应用，本章也将简要介绍数字信号的计算机仿真表达方法。2.1 信号采样 信号采样是对信号进行测量，获取数据的过程。为了将连续变化的模拟信号转换为有限数字序列，通常采用等时间间隔的测量方式。采样过程的测量时间间隔称为采样周期，表达为，可以根据采样周期定义采样频率： 对于连续时间信号，经过采样后可以得到离散时间信号，该转换过程表现如下： 在采样过程中面临的主要问题是：应该以多大的时间间隔去进行采样测量？ 表达了一段时间范围内连续时间信号的有限测量值，而该段时间中本来具有无限的可测量值。能否以的有限测量值代表的无限测量值，或者由这些有限测量值得到原来的无限可测量值呢？ 上述问题的解决仅从信号的时间测

10、量值考虑是没有希望的，丢失的无限测量值看上去不可能由保留的有限测量值加以恢复。 然而，应用付氏变换分析的方法，却为这一问题找到了出路。根据付氏变换的理论，任何时间信号在满足收敛条件时，可以与一个频谱信号唯一对应： 根据以上关系，频谱与时间信号具有一一对应关系，不同的频谱对应于不同的实际信号，而只要频谱不变，对应的时间信号自然也就不变。 那么，采样过程对信号的频谱产生了什么影响呢？ 根据付氏分析理论，采样过程会导致信号频谱出现周期性的复制；复制的频谱以采样频率为周期。 通常将信号的原始频谱称为真实频谱，而将复制出现的多余频谱称为镜像频谱（或虚假频谱）。如果信号的真实频谱处于有限的频段范围内（这样

11、的信号称为带限信号），而采样频率足够大，则复制的频谱与信号原始频谱之间不会发生混淆。通过一个频率选择系统可以从周期性频谱中将信号真实频谱重新分离出来。而根据频谱与时间信号的对应关系，这一系统也就可以从采样信号中无失真的恢复原始的模拟信号。通过上述分析可以看出，在一定条件下，有限离散采样不会导致信号的失真或信息丢失。这样的条件被归结为采样定理，该定理可以表述如下：实现无失真采样的条件为：待采样信号必须为带限信号（存在最高频率）；采样频率必须大于信号最高频率的2倍：该定理从理论解决了测量时间间隔的选择问题。例：如果某信号的最高频率为101.72MHz ，应该以多大的时间间隔进行无失真采样？ 经过无

12、失真采样获得的数据包含了原始信号的全部信息，可以通过一个频率选择系统从周期性频谱中去掉镜像（虚假）频谱，留下真实频谱。这一系统被称为抗镜像滤波系统。考虑到该系统在信号时域表达中作用，该系统也被称为理想插值系统。根据下图可以看出，该系统的截止频谱应该满足下列关系： 只要采样频率高于信号最高频率2倍以上，就可以确保无失真采样。然而，随着采样频率的增加，采样数据量随之增加，采样效率下降，这对于数据的采集和处理是不利的。从频谱角度看，若真实频谱与镜像频谱间留下大段未使用频段，则体现了则表现为频段使用效率不高。从保障采样效率的角度出发，应该尽量提高频段使用率。 上述分析的信号将最高频率以下的频段完全占据

13、，这种信号通常称为低通信号。对于这种信号，当采样频率接近信号最高频率2倍时，其频段使用率达到极致。但在实际应用中，很多信号并未将最高频率以下频段完全占据，而只是占据高频区域的部分频段，这种信号通常称为高频带通信号。对于高频带通信号，即使将采样频率降低到信号最高频率的2倍，频段使用率仍然可能很低，有必要进行改进。 从频段占用的角度分析，可以将信号所占用的正频率频段宽度定义为信号带宽：考虑到实信号的频谱对称性，信号实际占用的频段宽度为带宽的2倍。由于采样后信号频谱以采样频率为周期，只要该周期大于信号带宽的2倍，频谱中就有可能将真实频谱和周期化的镜像频谱安放下去而不产生混叠。为了分析无失真采样时，采

14、样频率与信号频段之间的最佳关系，可以将信号正频谱形成的周期序列与负频谱形成的周期序列形成对比，得出最低采样频率需要满足的条件： 采用上述条件，对于低通信号，采样频率需要满足的条件仍然是高于最高频率的2倍：低通信号的带宽与最高频率是一致的；但对于高频带通信号，采样频率可以远低于信号频率，使得采样效率大大提高。同时，这种采样方式还可以起到信号调制的作用：将高频带通信号搬移到低频区域，方便于对信号的后续处理。 为了在满足上述条件的基础上，得到最低的无混叠采样频率，可以先以第1条估算出采样频率下限和平移基本周期，然后再逐步减少平移周期，直到满足上述条件。例：若某信号最高频率为210，带宽为40，若频率

15、精度为1，求最低无混叠采样频率。根据以上分析，针对带限信号进行采样，混叠失真是可以避免的。但是在实际采样工作中，还有其他因素可能导致信号出现失真误差。以下进行简单分析：在实际环境中，通常难以确定所关心的信号频段外是否还有其他频段信号。为了保障无失真采样的条件，需要对待采样信号进行预处理，使该信号通过一个频率选择滤波器（低通或带通滤波器），消除通带截止频率以外的信号，该滤波器也称为抗混叠滤波器。对于理想的抗混叠滤波器，不会为信号带来任何干扰。但对于实际滤波器，由于阻带信号不可能完全消除，混叠失真不可避免。此时信号的误差取决于抗混叠滤波器通带波动和阻带衰减的共同影响。典型的采样测量系统由采样开关和

16、保持电容构成；在电容的跟随和保持过程中，也会存在误差；为了尽可能降低误差，需要采用隔离电路，尽可能减小跟随电阻，增大保持电阻，以实现最小的跟随时间常数和最大的保持时间常数；采用电容对信号进行零阶保持，本质上具有低通滤波的效果，对信号的高频分量具有较大的衰减作用，该项误差不可忽略，但可以在采样量化之后对信号频谱进行相应补偿，或通过设计一个适当的数字滤波系统进行补偿。通过补偿，该项误差可以基本消除。思考题： 在采样过程中，哪些因素会对信号的精度产生影响？影响的累积效果可能达到多大的程度？可以采用哪些措施来减弱这些影响？付出的成本会有多大？应该如何平衡成本与精度间的矛盾，寻求最佳采样设计方案？2.2

17、 数据量化所谓数据量化是将采样测量值与有限精度的二进制数建立对应关系。数据量化首先需要解决的问题是：物理测量值（模拟电压）的变化范围与模拟电源及表达单位有关；而采用N位二进制数进行表达时，其表达只能局限于全1（最大值）到全0（最小值）之间表达；因此，进行数据量化需要先对模拟表达范围进行归一化处理：根据上述关系，对于单边模拟信号，将其变化范围归一化到区间，对于双边信号，将其变化范围归一化到区间。采用上述方式处理后，量化后的数字信号D表达为纯小数，其表达位数直接与精度相关。同时也消去了模拟量单位的表达，得到完全抽象的无单位数据。数据量化需要解决的第2个问题是：N位二进制数只能表达有限个状态，而在任

18、何范围内连续变化的模拟量都可能具有无限个状态，2者之间不可能建立一一对应关系。例如，采用1位二进制数表达范围中的测量值大小时，只有2个状态可以使用；为了解决这一问题，量化中根据状态数量对测量范围进行分区，采用不同编码表达不同分区中的测量值，每个分区中的不同测量值采用同一编码表达。根据关系式 ，对于一个确定的量化值D，只能得到一个确定的A（通常采用量化区域的下边沿值表达）；采用它来代表一个变化范围中的测量值，就可能存在误差。量化误差可以采用最大误差或平均误差表达。对于N位量化，最大误差可以达到，而平均误差则为，显然随着位数的增加，量化误差可以迅速减小。例：实际测量值对应的量化值以及误差确定 若单

19、边模拟电压变化范围为220v，某测量值为175v，确定该测量值对应的8位量化值以及量化误差（v）当量化值为所在区域的下边沿值时，误差均表现为负值，误差比较大。为了减少误差，可以在量化时先多取1位量化，然后采用舍入截断方式减少1位，由此可以使最大误差减小一半，而平均误差为0 。这种方式可以有效提高量化精度，但会付出成本的代价。数据采集系统由模拟系统和数字系统结合构成，单纯的量化误差可以通过增加量化位数降低到可以忽略的地步，而导致误差的主要因素是系统中模拟器件的影响，特别是抗混叠滤波和采样保持过程中导致的误差。进行数据量化时，应该根据能够达到的精度选择量化位数，避免过多位数的量化导致的数据冗余。

20、3 数字信号的仿真表达：随着计算机技术的普及，数字信号的直观表达可以采用计算机方便地实现，这就是信号的仿真表达。仿真表达中使用的典型工具是MATLAB。信号仿真表达时，可以将信号值和变量采用2个等长度向量表达，然后通过绘图语句表现。信号向量可以自己建立函数与变量的关系设置，也可以直接从数字音频文件中截取。常用作图语句：离散与连续、坐标区间设定；重要信号表达：阶跃信号、时间窗口数字音频文件的调用和截取。第2章作业：1 如果某信号的最高频率为101.711MHz ，信号带宽为0.022MHz，若要求保障在真实频段区段内不出现混叠，最低采样频率应该设置为多少？（设采样频率精度可以达到Hz）2 分析保

21、持电路对信号频谱的影响，对于低通信号，在采用最低采样频率时，最大误差可能达到多少？对于高频带通信号，可能会发生什么问题，应该采用什么方式来避免该问题的发生？3 对于任意给定的一段时间信号，进行16点等时间间距采样并做5位量化，以同样精度的十进制方式表达得到的数字序列。第三章 频谱分析系统1 频谱分析概述 信号是信息的载体，数字信号处理实质上是对信号中的信息进行处理。了解信号与信息的关系是数字信号处理的前提。信息由信号的变化表达，恒定不变的物理量中不含信息。不同变化形式的信号表达了不同的信息。为了能够方便地理解和处理信号中的信息，希望寻找一组信息的基本单元，这种基本单元应该具有独立性（每一个单元

22、表达了一种不同的信号变化模式，这种变化模式不能用其他基本单元的组合来替代），同时整个单元组又具有完备性（任何不在单元组内的其他信号都可以利用单元组内信号的某种组合进行表达）。从连续函数的角度出发，对于这样的单元组可以有很多的选择，而在目前信号领域中最典型的选择是付氏分析的方式。 付氏分析采用虚指数信号表达信息基本单元： 由于每个虚指数信号都一定是周期信号，不同频率对应于不同周期，也就对应不同变化模式。付氏分析的数学理论可以证明，这种信号可以构成具有独立性完备性的单元组。由于频率的重要性，虚指数信号也称为单频率信号。每个单频率信号具有一个特定频率，同时表达一条独立基本信息，由此可以将信息的基本单

23、元与频率建立起关系。当信号中包含强弱不同的若干条信息时，信号可以表达为： 该表达式中，系数表达了信号中频率为的信息的相对强度，称为对应于的频率分量。将信号中所有相对频率坐标表达出来，代表了频率分量的分布，称为信号频谱，也可以看做是信号中的信息分布。频谱分析的目标就是希望得到信号的频谱。 根据付氏变化理论，连续时间信号的频谱表达（ CTFT）为： 由该表达式可以建立起信号波形与频谱间的一一对应关系： 根据该表达式，可以推导出付氏变换的许多重要运算性质： 时移定理： 相位与系统延迟的关系卷积定理： 信息提取系统的运算概念共轭定理： 实信号频谱的对称性习题：利用CTFT的定义，证明上述三个定理。2

24、单频率信号的数字化：采样导致信号的数字化：表现为有限数字序列。根据频谱分析，由单频率信号的组合表达；采样后，作为基本单元的单频率信号会发生什么变化呢？是否还能唯一的表达独立的信息呢？对单频率信号采样，可以得到：可以看到，经过采样后，单频率信号任然保持其表观形式；若将其仍然看做单频率信号，与模拟单频率信号对应，则可以定义数字频率与模拟频率的关系如下：根据上述关系，可以得到数字频率的以下特点：采样过程中，模拟单频率分量与数字单频率分量具有一一对应关系；对于给定的模拟频率，对应的数字频率与采样周期有关；模拟频率为有量纲的物理量，数字频率为没有量纲的抽象数据。模拟单频率信号均为周期信号，具有独立性，可

25、以作为信息的基本单元；然而容易证明，数字单频率信号通常不为周期信号，也不具有独立性。例：与的周期性表现例：数字单频率信号在频谱中的周期性数字单频率信号在频谱中具有周期性，任何单频率信号都可以在区间中拥有其代表，因此在考虑信息表达的独立性时，可以将数字频谱只局限于之内，该区间内的频谱称为真实频谱，该区域外的频谱可以看做是周期化的镜像频谱，是内真实频谱的周期性复制。当考虑采样过程中模拟频率与数字频率的对应关系时，必须确保数字频率的真实性。例：当采样周期为时，对于模拟频率和，对应的数字频率应该为多少? 对于数字频率和，对应的模拟频率应该为多少？3 频谱分析的数字化：DTFT 对于一般信号，计算频谱的

26、关系为连续时间付氏变换CTFT：利用数字技术进行分析时，将上述关系式右边采样，可以得到数字信号的频谱表达： 该关系式称为离散付氏变换表达（DTFT）。该关系式确立了数字信号与数字频谱间的一一对应关系：在DTFT的定义式中，数字序列为对进行有限次测量得到的有限数字序列，其中每个数字经过量化归一后表现为纯小数，以表达第1个测量数据；数字频谱的真实值局限于区间内，该区间外为真实频谱的周期性镜像复制。例：信号的频谱分析（DTFT）对给定信号波形，选定不同周期进行采样，得到对应数字序列和频谱表达：习题：利用DTFT的定义，推导与CTFT对应的时移定理、共轭定理的表达形式。通过例题分析可以看出，在数字频谱

27、的范围内，采样周期增大可以使频谱细节更丰富；在模拟频谱的范围内，采样周期增大可以使频谱范围更宽广。4 频谱的数字化计算（DFT）DTFT频谱为连续频谱，计算只能通过离散频率分量计算来实现； 在标准频谱内采用N点等距采样计算，可以得到N个频率分量； 当计算点足够密集时，将计算结果光滑连接就可以得到连续频谱。 如果在区间内进行M点等距计算，可以先将标准区间等分为M份，计算点间距为：若计算从的点开始，按照上述间距进行计算，则计算点的频率可以表达为： 将计算点频率带入到DTFT计算公式中，可以得到： 这一关系式称为离散付氏变换DFT。 DFT利用N个信号测量值计算M个频率分量，为了避免计算过程中可能产

28、生的数据混叠现象，要求N不得大于M；目前典型的DFT计算采用对称计算，即通过N个信号测量值产生N个频率分量，这样的DFT计算称为N点DFT： 注意上式计算的频谱是表现在频率区间中的。可以利用数字频谱的周期性将得到的结果转化为区间的频谱。由于计算前后数据量相当，DFT也被看做是对数据的一种变换手段：将数据从一种形式变换到另一种形式；这种变换在数据压缩系统中具有重要意义。例：对给定信号的DFT计算由例题看出，对于同一组测量值，计算点数越多，频谱细节就表现得越清楚。5 频谱的快速算法（FFT）根据定义关系，N点DFT需要N2次复数乘法和N(N+1)次复数加法；由于数字系统中的乘法复杂度远大于加法，可

29、以采用乘法次数来粗略表达DFT的计算量。将计算中与测量值相乘的因子称为旋转因子：该因子表现为幅度为1的复数，在复平面上分布在单位圆上，表现为单位圆上的N等分点（从相位为0开始）。旋转因子具有以下特点： 由以上关系可以看出，并不是每个旋转因子的使用都需要乘法；例：8点DFT的乘法计算量分析将上述分析推广到N点DFT，可以得到，当时，实际需要的乘法计算量为： 由该关系式可以看出，DFT的点数越少，乘法计算量减少的比例就越大；为此，需要考虑对N点DFT进行分解运算；例：当 时，进行分解运算分解运算的步骤可以归纳为： 将原始数据排列为3行2列； 对每行进行2点DFT，得到3行2列结果； 对每个阵列元素

30、对应乘以； 再对每列进行3点DFT，得到3行2列的最终结果；考虑到2点旋转因子的使用不需要乘法，若将运算全部分解为2点运算单元，则运算量可以大幅降低：基于2点分解的FFT架构： 当时，可以将原始数据分为2行，先做行DFT，乘以相应的旋转因子后再进行列DFT。此时旋转因子相乘以及列DFT可以表达为标准的蝶形运算架构：将上述架构进行扩展，可以将DFT运算全部采用蝶形运算单元实现：例：8点FFT架构 推广上述结果，当时，N点DFT只需要使用次蝶形运算就可以完成。 软件计算时，并不是每个蝶形运算都需要采用乘法，在N点DFT的上述运算中，有N-1次蝶形运算不需要乘法，可以使计算量进一步下降。 基于2点的

31、FFT架构特别适用于硬件流水设计，采用该设计可以使运算并行流水进行，以极高速率进行大量数据运算，在音频和视频领域中得到广泛采用。 第3章 作业： 1 对于一段给定的时间信号，进行16点等间距测量，并进行3位量化；对得到的数字序列计算16点DFT，画出对应的幅谱特性和相频特性。2 4点DFT的选转因子也可以不用乘法，利用这一点，建立基于4点的FFT算法。详细说明单元运算架构，当时所使用的单元数量以及乘法计算量。 第4章 数据压缩系统 数据中通常包含有大量的冗余信息，使数据传输和存储的效率降低。 通过保留有效信息，去除冗余信息，可以改善数字系统的效率。 数据压缩通常指对于已经采集形成的数字信号进行

32、压缩，压缩可以直接对采样数据进行，也可以从改变量化，编码方式等角度进行。通过改变数据的表达形式以方便压缩也是数据压缩中常用的做法。 根据数据压缩后是否可以复原，可以分为有损压缩和无损压缩2种不同的压缩方式。 有损压缩：去除非重要信息，保留有效信息；原始数据不可恢复； 无损压缩：通过改变信号表达方式去除冗余信息，原始数据可以恢复。 通常用于保存和传输的数据采用无损压缩方式以提高存储和传输效率，而服务性数据（如广播音响或直接面向人耳的音频通信等）则会采用各种压缩技术结合以实现最大压缩，从而达到降低成本的目的。 数据压缩的效果通常采用压缩率表达： 有时也采用压缩倍数表达： 根据信号种类的不同，可以采

33、用的压缩方案也不尽相同。本章以音频信号为例，简要介绍一些典型的数据压缩技术。1 对数据采样的压缩 音频信号的最终接受者为人耳，而通常人耳能够听到的声音限于20Hz到20kHz ； 对音频信号进行采样时，如果希望保留能够分辨的所有细节，则应该进行完整的采样，采样率应该在40kHz左右。这也是专业的音响系统所使用的采样率。 但在实际应用的很多场合，或者由于音响设备的限制（扬声器的频响或现场环境噪声影响），或者出于应用的目的（只需要分辨基本的音频信息），不需要设置如此高的采样率。通过对采样率进行压缩，能够有效降低数据量。但需要注意的是，采样压缩属于有损压缩，以牺牲音质为代价，原始数据不可恢复。 对于

34、已经采样得到的数据，降低采样率通常采用直接数据抽取方式进行。抽取本身可以看做是再采样，会导致信号频谱出现周期性复制，有可能出现频谱混叠失真（也可以认为是由于采样率降低导致频谱混叠），因此抽取前应该按照预定的抽取率，对数据进行相应的抗混叠滤波处理（设置抽取滤波器）。 压缩后的数据在重建时（使用该音频信号时）可以通过插值进行恢复，常用的插值可以采用补0插值、0阶保持插值、理想插值（设置抗镜像滤波器）等方式进行。2 数字压扩技术 音频信号的接受器官为人耳，由于耳蜗的对数形态，人耳对音频信号幅度的感知灵敏度表现为对数关系：信号幅度增强一个数量级，感知响度只是增强一倍。考虑到这一现象，在对音频信号进行量

35、化时，对信号的变化范围不再采用线性分区，而是根据响度进行等响度分区，由此可以更有效地提高量化效率。这一技术称为对数压扩技术。在信号存储或传输前通过压缩变换减少数据量，而使用时通过反变换进行数据扩张，恢复数据。 目前在语音压扩技术中主要采用律压扩（美日）和A律压扩（欧洲、中国），体现于对数曲线的相关参数。 典型的数字压扩技术采用13折线法实现： 以信号正值区域为例，将信号变换区域逐次折半，经过7次折半分割为8个区域，每个区域与一个等响度区域建立线性对应关系（折线关系）。利用该折线进行压缩或扩张。在数据处理上，压缩过程可以采用对数据高位进行优先编码实现，而扩张过程则可采用将压缩编码对应到线性区域的

36、中值高位部分即可。处理方式简单快捷，容易实现。 考虑到人耳对于频率信号的高低分辨同样具有对数效应，上述技术也可以用于对音频信号的频谱表现进行压缩。例：以下音频信号的数据经过13折线压缩后应该表现为什么值：3 霍夫曼编码 数据量化时，对出现在同一量化区域的数据采用相同的编码表示，这种编码可以称为数据对象。数据对象的量化字长可以根据数据精度要求确定。在同一个信号采集系统中，对不同的数据对象采用相同的量化字长（数据精度一致）。这种编码称为等字长编码。然而，在实际的信号中，不同数据对象出现的概率可能是不同的。如果对出现概率大的数据对象采用较短的编码，而对出现概率小的数据对象采用较长的编码，则有可能增强

37、编码效率，减少信号数据的平均字长，从而实现数据压缩。这种编码方式称为变字长编码。霍夫曼编码就是一种典型的变字长编码。以下简单介绍其基本编码原理。1 对于待编码的数据（已有二进制编码），区分数据对象种类；2 检测不同数据对象在信号中出现的概率，并按照概率大小顺序进行排布；3 用折线将最小概率的2个对象合并，折线上分别标记对应编码（0或1）；4 重复上述2、3步，直到所有对象合并完毕。5 由最后端点通向每个对象，将路径上经过的折线编码顺序排布，即为该对象的霍夫曼编码。例：已知8种不同测量数据在100次测量中出现次数如下，对其进行霍夫曼编码，并计算压缩率（或平均字长）。平均字长：压缩率： 霍夫曼编码

38、采用二分支编码方式，短字长编码绝不会成为长字长编码的前缀，在译码恢复数据时很容易进行不同码字的区分。所以采用该方式进行数据压缩属于无损压缩，压缩数据可以完整重建。例：采用上述编码方式得到的一组二进制数据如下，分析该数据内容，给出原始数据。 110001111000101000101110011101010 霍夫曼编码的压缩效果取决于数据对象概率的非均匀性，如果不同数据对象出现的概率相同（或相差不大），则该编码无法实现数据压缩。因此，使用该编码进行压缩的前提条件是对数据进行变换，尽量扩大数据对象出现的概率差别。4 差分变换信号变化具有连续性，多数时候信号的频率远小于最高频率。对于相对频率较低的信

39、号，相继测试得到的信号值之间的差距常常小于信号的幅度变化范围。差分变换就是将信号数据序列采用其差分序列表达。设信号序列表达为： 其差分序列可以表达为： 差分序列可以有效改变数据对象出现的概率，从而为变字长编码压缩创造条件。例：对一段音频信号进行差分变换，并对变换结果进行霍夫曼编码压缩。5 离散余弦变换DCT与数据压缩音频信号的频率通常具有一段时间的持续性，在短时间内稳定于少数频率分量。对时域分布较为分散的数据进行频率变换，可以起到使数据分布集中的效果。因此，压缩技术中经常采用频率变换方式。例：对一段音频信号进行离散付氏变换，并对变换结果的幅频特性进行霍夫曼编码压缩。由上例可以看到，DFT可以极

40、大改变数据的分散度，结合霍夫曼编码得到很大压缩率。但DFT是复变换，就其变换本身而言，数据量是增加的；此外尽管DFT的幅频特性能够表现出很好的压缩效果，但其相频特性的压缩效果却未必令人满意。若能够将DFT由复变换改变为实变换，直接由幅度表达变换结果，则能够保留DFT在数据压缩上的优点，去除其不利之处。根据付氏变换的基本性质，要使DFT表现为实函数，只需要使变换前的信号具备实偶信号的性质就可以了。这种想法构成了离散余弦变换DCT的基础。离散余弦变换的基本思路如下：设原始N点信号序列为将该序列倒序排列，连接于原序列之后，可以得到2N点偶对称序列：对进行DFT，可以得到如下关系：通过上述变换，可以得

41、到2N个频率分量：考虑到频谱的对称性和数据的独立性，只取前N个频率分量作为独立数据。称为DCT变换因子（类似DFT中旋转因子的作用），由于变换因子为实数，DCT表现为实变换。DCT将N个实数表达的原始数据变换为N个实数表达的频率分量数据，数据数量不会增加，但数据取值分布却类似DFT的实部特性，不同频率分量的出现概率可以体现出很大的差异。在实际信号的DCT过程中，通常对数据进行分段处理，而DCT将分段数据进行重复排布，这一操作具有低通性质，因此经过DCT处理得到的频率分量与原始信号的频率分量有所差异（高频信号受到衰减），不适合用于频谱分析。然而这一特性导致数据向低频段集中却增强了数据分布的差异化

42、，有利于数据压缩。N点DCT的变换因子为COS函数在区间上N等分区间的中间点，变换因子具有奇对称性和周期性，但不具有包容性。在DCT计算时，可以利用对称性和周期性减少计算量，但难以进行类似DFT的分解运算。为了建立快速算法，通常将DCT当做2N点DFT进行分析，利用FFT建立快速算法架构，再利用其独特偶对称性实现计算量的减少。DCT不仅用于音频信号的压缩，更广泛应用于图像和视频信号的各种压缩标准中。第四章作业1 选取5秒钟的数字音乐信号，将其采样数据去掉一半（采用补0替代），对比其音质效果。2 在数字音频信号中提取4096个数据，先对其进行差分处理，然后采用5位舍入量化分区，分析其每个分区中的

43、数据量，根据分析结果进行霍夫曼编码，给出各分区值的编码，计算总压缩率。3 对上述数据进行DCT变换，然后再进行上述分析，计算总压缩率。第五章 信息处理系统概述前面各章建立的系统可以归结为信号变换系统。变换系统改变信号的外在形式，但希望保持信号中的信息（至少是主要信息）不变，要求变换后的信号能够重建。以下各章将要介绍的系统可以称为信息处理系统，这类系统希望从信号中提取所关注的信息，而去掉其他不需要的信息（或噪声）。这种对信息的筛选特性导致这种系统也通常称为滤波系统（滤波器）。1 信息处理系统的表现 信息处理系统关注信号中的信息。信息的分布由信号的频谱表达。 对于原始的输入信号，对应的信息分布为；

44、经过系统处理后，产生输出信号，对应的信息分布变化为；将处理前后的频谱进行对比，就可以得到： 上述方式得到的称为系统的频率响应。由频率响应可以直观地表达信息处理系统输入输出关系： 付氏分析中频谱函数为复函数，可以表达为幅度频谱和相位频谱；频率响应也可以分别采用幅频特性和相频特性表达：系统幅频特性 系统通过乘以相应系数改变频率分量的幅度。通常被称为系统增益。系统相频特性 系统为输入频率分量附加相位。考虑到相位与时间的关系，可以定义系统延迟：系统延迟表现了不同频率分量在系统中的延迟时间。2 信息处理系统的构建系统频率响应完整表达了系统的信息处理能力。为了实现信息处理的任务，需要针对要求的频率响应进行

45、系统构建设计。考虑到实际应用的可能性，系统构建只能采用有限运算单元实现，并以尽可能小的代价满足设计要求；所构建的系统还必须满足因果性和稳定性的要求。从频率响应出发，构建滤波系统，可以采用2种不同思路，形成2种不同类型的滤波系统。有限冲激响应（FIR）系统 根据付氏变换的关系，直接对系统频率响应进行变换，可以得到系统的冲激响应： 利用系统的冲激响应，可以将系统的输入输出关系表现为卷积运算关系： 上述方式从理论上解决了系统的表达，然而涉及到无限运算无法实现。为了能够由上述表达得到一个有限运算系统，可以通过系统应该满足的因果性和稳定性对系统冲激响应系数进行限制。系统的因果性要求输出信号应该出现在对应

46、的输入信号之前。由于冲激响应是系统对冲激信号输入的响应，根据定义，冲激信号发生在时刻，所以，因果系统的冲激响应不应该出现在之前： 因果系统的运算关系可以表现为 系统的稳定性要求对于有限大小的输入信号，输出信号应该保持有限大小。根据卷积关系，稳定性条件可以表现为 。由该条件可以得到，稳定系统的任何冲激响应系数一定为有限大小，当足够大时，值趋于0。 考虑到冲激响应系数随时间的衰减性，选取前N+1个冲激响应系数建立卷积关系，就可以得到采用有限运算表达的系统： 上述系统称为N阶FIR系统，其运算关系表现为无递归有限差分方程形式。 采用硬件构建FIR系统时，可以利用长度为N的移位寄存器接收输入数据，再利

47、用一个乘-累加系统，将保存在移位寄存器中的输入数据与系统冲激响应系数进行对应相乘，将乘积结果累加输出。 N阶FIR系统由N+1个冲激响应系数表达，这组系数也称为系统系数： 系统设计的目标可以归结于确定冲激响应系数，系统的性能由该组系数决定。一旦系数确定，就可以构建起对应的软件或硬件系统，实现对输入信号的信息处理。为了使系统运算关系简化，设计系统时，要求系统系数为实数。 对于短序列的输入信号和冲激响应，FIR系统的输出（卷积运算）可以采用简单直观的方式进行运算：例：若 ， 则可以采用下列方式计算卷积：由运算得到：无限冲激响应（IIR）系统 由系统频率响应的关系可以看出，系统的构建不仅与输入信号有

48、关，还可能与输出信号有关： 而在FIR系统的差分方程表现中，输出只表现出受到输入信号各次延迟的影响。 如果假定系统中存在反馈通道，则输出不仅会与输入信号有关，也会与过去的输出信号有关。 考虑到建立有限系统的限制，假设输入信号及过去输出信号的影响只在有限时间范围内存在，则可以将系统输出直观表现为： 这种系统由于反馈的作用，有限的输入数据可能引发无限的输出响应，所以称为无限冲激响应IIR系统。 IIR系统由递归差分方程实现，系统系数采用系数和系数序列表达：表达延迟的输入信号所乘的系数，可以称为延迟系数；表达延迟的输出信号所乘的系数，通常称为反馈系数；对于N阶系统，,而。为了使系统设计简化，系统系数

49、要求为实数。由于冲激响应无限，该系统不能采用冲激响应表达，也不能通过有限卷积进行简单的输入输出计算。3 系统函数与零极点表达 为了将系统结构参数（系统系数）与系统性能（频率响应）建立联系，可以引入Z变换建立系统函数： 对差分方程进行变换，得到系统函数的多项式表达形式：该表达式的分子分母均表现为变量的多项式，而递归差分方程中的系数和系数分别成为分母多项式和分子多项式的系数。显然，对于有限运算系统，系统函数分子分母均表现为有限阶多项式。FIR系统的系统函数可以看做上述关系的特例：若上述关系中所有系数（反馈系数）都为0，则系统表现为FIR系统，此时系数对应为冲激响应系数。 对于系统函数，可以定义零点

50、和极点。 若变量能够使系统函数为零：，则称为系统零点。 系统零点可以看做是其分子多项式的根，将系统所有零点排列，可以构成系统的零点序列；由于多项式阶数有限，系统零点数量有限。 若变量能够使系统函数为无限大：，则称为系统极点。 系统极点可以看做是其分母多项式的根，将系统所有极点排列，可以构成系统的极点序列；由于多项式阶数有限，系统极点数量有限。利用系统的零点序列和极点序列，可以将系统函数表现为下列形式： 这种形式称为系统的零极点增益表达。由该表达式可以看出，系统也可以由零点序列、极点序列和增益唯一确定。 系统函数的变量为复变量，表现于复平面上。可以将系统的零点和极点标记于复平面上，形成对系统的一

51、种直观表达，这种表达称为系统零极图： 系统零极图表现了系统的所有零点和极点，与系统的完全表达之间只相差一个增益（比例系数）。可以认为系统的结构和性能可以由系统零极图表达。当系统采用零极图（或零极点）表达时，系统的因果性体现为系统零点不能多于系统极点，因此系统的阶数由系统极点数量确定：N阶系统具有N个极点，零点数量不多于N个。系统的稳定性则表现于系统任何极点的模必须小于1，或系统所有的极点都应该处于单位圆（复平面上以原点为中心半径为1的圆）以内。系统多项式系数均为系统系数，结构设计时要求为实数。系统零极点表现为实系数多项式的根。因此系统零极点满足以下特性：零极点可以为实数，位于复平面的实轴上；当

52、零极点不为实数时，一定相对于实轴保持上下对称：当系统某个零（极）点为复数时，其共轭复数一定也是该系统的零（极）点；系统的零点和极点位置（数值）不能相同。 4 系统零极图与系统频率响应关系 系统函数可以通过对系统冲激响应求z变换得到，而系统频率响应也可以通过对系统冲激响应求付氏变换得到： 由上述关系对比可以看出，对系统函数进行简单代换： ，就可以将系统函数表达为频率响应。利用系统函数的零极点增益表达式进行代换： 将频率响应表达式中各括号表达的复数运算采用复矢量形式表达，可以得到如下形式：图中各矢量分别从零（极）点出发，指向单位圆上的点；这些矢量称为零（极）点矢量。矢量长度表达其幅度，而与实轴正向

53、间的角度表达其相位。当数字频率发生变化时，点在单位圆上移动，每个矢量的长度和角度也随之变化，表现为数字频率的函数。系统频率响应的幅频特性和相频特性可以由零极点矢量的幅度和相位表达如下： 通过上述关系，可以根据系统的零极图，逐点计算每个频率位置的系统增益和相位。这种计算关系也很容易通过计算机编程实现。下一章将主要利用这种关系分析简单系统的频率响应特点，从而建立简单系统设计的基本方法。第五章作业1 证明：因果系统稳定性的充分必要条件为 。2 证明：若实系数系统的某个零（极）点为复数，则该复数的共轭必定也为该系统的零（极）点。3 有两个FIR系统分别表现为：， ；若输入信号序列为，分别求两个系统的输

54、出序列和。 在相同坐标条件下分别画出、和，说明2个系统对信号处理的特点。4 对上题的2个系统，画出对应的零极图，并画出各自的幅频特性。第六章 简单数字滤波系统分析1 一阶数字系统分析一阶FIR系统： 极点 在单位圆中心，对系统幅频特性不起作用；零点 只能取实数值。将零点在实轴上变动，研究对应系统的频率特性：当零点小于0时，表现为低通系统，在-1处效果最好；当零点大于0时，表现为高通系统，在+1处效果最好；系统结构：不需要采用乘法器，结构简单，成本低；系统性能：3dB带宽为，不可调节；零点作用：放置单位圆上，用于阻塞特定频率分量，形成阻带。一阶IIR系统： 极点 单位圆内实数 零点 只能取实数值使用零点于，形成阻塞点，可以构成低通（高通）系统。系统的归一化：使系统最大增益为1,；可以使系统