GT6501 非线性电路混沌实验仪说明书

1、GT6501非线性电路混沌实验仪说明书附：关于混沌理论的哲学思考一、概述长期以来,对客观事物运动规律的描述,一直采用确定论和概率论两种体系,确定论的基础是牛顿力学,用以描述事物的确定性运动；而概率论的基础是统计学,用以描述事物的随机运动,代表性的成果是量子力学. 确定性运动和随机运动被认为是泾渭分明、毫无关系的两种类型的运动,确定性运动可以用确定性方程所描述,随机运动只能用统计学规律所描述,没有人怀疑它们之间存在由此及彼的关系. 直到上世纪60年代初,美国气象学家Lorenz在对大气对流模型作数值计算时,首先发现了耗散系统中的混沌运动,即发现确定性系统可以产生类似随机的运动,从而使人们有理由认

2、为许多以往被视为随机的运动可能是由确定性系统所产生,确定性运动与随机运动可能存在某种必然的联系,存在由此及彼的关系. 因而混沌运动也被视为上一世纪既相对论和量子力学后的第三大重大发现,Lorenz 也成为第一个针对现实物理系统进行混沌研究的科学家. 混沌运动的发现,使人们开始重新审视以往许多已被定论的研究成果,几乎涉及各个科学研究领域,都在证实确定性运动与随机运动的关系,取得了许多重大的研究成果,澄清了许多重大现象的实际产生原因,并应用混沌特性实现了许多常规定律无法取得的工作特性. 非线性动力学以及与此相关的分岔混沌现象的研究是近二十多年来科学界研究的热门课题,从大量研究此学科的论文发表中可见

3、一斑. 混沌现象涉及物理学、数学、生物学、电子学、计算机科学和经济学等多领域,应用极为广泛. 当前,非线性电路混沌实验已列入新的综合大学普通物理实验教学大纲,属于理工科院校基础物理实验范畴,倍受学生欢迎. 此实验仪具有以下几个优点：1、采用基础物理中电磁学实验最基本电路,突出了物理实验教学中的重点内容. 2、开放性实验的平台. 提供直观的电路基本元件,由学生自己接线,以提高学生动手能力. 3、用示波器观测LC振荡器产生波形的周期分岔及混沌现象,图形明显,且重复性好,可连续观测数小时. 本仪器可用于高等院校基础物理实验、物理演示实验及设计性开放性物理实验. 二、用途主要用于高校普通物理实验和演示

4、实验,主要实验内容有：1、用RLC串联谐振电路,测量仪器提供的铁氧体介质电感在通过不同电流时的电感量. 解释电感量变化的原因. 2、用示波器观测LC振荡器产生的波形及经RC移相后的波形. 3、用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图(李萨如图). 4、改变RC移相器中可调电阻R的值,观察相图周期变化. 记录倍周期分岔、阵发混沌、三倍周期、吸引子(周期混沌)和双吸引子(周期混沌)相图. 5、测量由TL072双运放构成的有源非线性负阻“元件”的伏安特性,结合非线性电路的动力学方程,解释混沌产生的原因. 三、仪器组成及主要技术指标直流稳压输出±15V. 提供运算放大器工作电压可调电位器W1：

5、(2.2K±5%) ；W2：(220±5%)四位半数字电压表量程为019.999V;分辨率为1mV电容C1: (0.1±10%) uF C2: (0.01±10%) uF工作电压、仪器功率(220±10%)V 、 <15W电感×10mH±1% ×1mH±2%非线性电路混沌实验电路板包括：(1) LC振荡器；(4) 连接导线和双Q9同轴电缆 ；(2) RC移相器电路； (3) 双运放及6个电阻组成的等效“有源非线性负阻元件”；(5) 四位半数字电压表；四、仪器外观图1、20V数字电压表5、20V数字电

6、压反向输入端9、电源开关13、LC振荡电容2、示波器CH1通道输入6、-15V电源输出10、+15V电压输出14、移相可调电阻W13、示波器CH2通道输入7、电源指示灯11、电感“×10mH”档波段开关15、移相可调电阻W24、20V数字电压正向输入端8、±15V电源地 12、电感“×1mH”档波段开关16、RC移相电容17、双运算放大器TL072五、实验原理1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示,图1中R2是一个有源非线性负阻器件；电感器L1电容器C1一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R1电容器C2联将振荡器产生的正弦信号移相输出. 图2所示的是该电阻

7、的伏安特性曲线,可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的. 由于加在此元件上的电压增加时,通过它的电流却减小,因而将此元件称为非线性负阻元件. 图1图2图1电路的非线性动力学方程为： (1)式中,UC1、UC2是C1、C2上的电压,L是电感L1上的电流,G=1/R1电导,为U的函数. 如果R2是线性的,则g为常数,电路就是一般的振荡电路,得到的解是正弦函数,电阻R1作用是调节C1和、C2的位相差,把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴,则显示的图形是椭圆. 但是如果R2是非线性的则又会看见什么现象呢？实际电路中R2是非线性元件,它的伏安特性如图4所示,是一个分段线性的

8、电阻,整体呈现为非线性. gUC2一个分段线性函数. 由于g总体是非线性函数,三元非线性方程组(1)没有解析解. 若用计算机编程进行数据计算,当取适当电路参数时,可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象. 除了计算机数学模拟方法之外,更直接的方法是用示波器来观察混沌现象,实验电路如图5所示,图5中,非线性电阻是电路的关键,它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的. 电路中,LC1并联构成振荡电路,W1、W2和C2的作用是分相,使CH1和CH2 两处输入示波器的信号产生相位差,即可得到x,y两个信号的合成图形,双运放TL072的前级和后级正、负反馈同时存在,正反馈的强弱与比值R3/(W1+W2

9、)、R4/(W1+W2)有关,负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关. 当正反馈大于负反馈时,振荡电路才能维持振荡. 若调节W1、W2时正反馈就发生变化,TL072就处于振荡状态而表现出非线性. 图3就是TL072与六个电阻组成的一个等效非线性电阻,它的伏安特性大致如图4所示. 2、有源非线性负阻元件的实现图3图4有源非线性负阻元件实现的方法有多种,这里使用的是一种较简单的电路采用两个运算放大器和六个电阻来实现,其电路如图3所示,它的伏安特性曲线如图4所示,实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响,而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象. 实际非线性混沌实

10、验电路如图5所示：3、实验现象的观察把图5中的CH1和CH2接入示波器,将示波器调至CH1-CH2波形合成档,调节可变电阻器的阻值,我们可以从示波器上观察到一系列现象. 最初仪器刚打开时,电路中有一个短暂的稳态响应现象. 这个稳态响应被称作系统的吸引子(attractor).这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异,但仍会变化到一个稳态. 在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动,各对应于一个正负的稳态. 当电导继续平滑增大时,到达某一值时,我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值,产生了振荡. 这时,我们就说 ,我们观察到了一个单周期吸引子(penod-one attractor).

11、 它的频率决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性. 再增加电导(这里的电导值为1/(W1+W2)时,我们就观察到了一系列非线性的现象,先是电路中产生了一个不连续的变化:电流与电压的振荡周期变成了原来的二倍,也称分岔(bifurcation). 继续增加电导,我们还会发现二周期倍增到四周期. 四周期倍增到八周期. 如果精度足够,当我们连续地,越来越小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增,最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环,从而显示出混沌吸引(chaotic attractor)的性质. 需要注意的是,对应于前面所述的不同的初始稳态,调节电导会导致两个不同的但却是确定的混沌吸引子,这两个混

12、沌吸引子是关于零电位对称的. 实验中,我们很容易地观察到倍周期和四周期现象. 再有一点变化,就会导致一个单漩涡状的混沌吸引子),较明显的是三周期窗口. 观察到这些窗口表明了我们得到的是混沌的解,而不是噪声. 在调节的最后,我们看到吸引子突然充满了原本两个混沌吸引子所占据的空间,形成了双漩涡混沌吸引子(double scroll chaotic attractor). 由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态,出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时,相当每一点对应着电路中的每一个状态,出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时,相当于电路处于最初的那个响应状态,最终会到达哪一个状态完全取决于

13、初始条件. 在实验中,尤其需要注意的是,由于示波器的扫描频率选择不符合的原因,可能无法观察到正确的现象. 这样,就需仔细分析,可以通过使用示波器的不同的扫描频率档来观察现象,以期得到最佳的扫描图象. 六、实验步骤1、混沌现象的观察(1) 按照电路原理图5进行接线,注意运算放大器的电源极性不要接反,接好的线路图如图6所示：图6(2) 用同轴电缆将Q9插座CH1连接双踪示波器CH1道(即X轴输入);Q9插座CH2连接双踪示波器CH2通道(即Y轴输入)；可以交换X、Y输入,使显示的图形相差90º. a、调节示波器相应的旋钮使其在X状态工作,即CH2输入的大小反映在示波器的水平方向；CH输入

14、的大小反映在示波器的垂直方向. b、CH2输入和CH输入可放在态或态,并适当调节输入增益VDIV波段开关,使示波器显示大小适度、稳定的图象. (3) 检查接线无误后即可电开电源开关,电源指示灯点亮,此时电压表不需要接入电路. (4) 非线性电路混沌的现象观测： a、首先先把电感值调到20mH或21mH. b、右旋细调电位器到底,左旋或右旋粗调多圈电位器,使示波器出现一个圆圈,略斜向的椭圆,如图7-1所示；c、左旋多圈细调电位器少许,示波器会出现二倍周期分岔,如图7-2所示；d、再左旋多圈细调电位器少许,示波器会出现三倍周期分岔,如图7-3所示；. e、再左旋多圈细调电位器少许,示波器会出现四倍

15、周期分岔,如图7-4所示；f、再左旋多圈细调电位器少许,示波器会出现双吸引子(混沌)现象,如图7-5所示. g、观测的同时可以调节示波器相应的旋钮,来观测不同状态下,轴输入或轴输入的相位、幅度和跳变情况. h、电感的选择对实验现象的影响很大,只有选择合适的电感和电容才可能观测到最好的效果.老师和同学们有兴趣的话可以改变电感和电容的值来观测不同情况下的现象,并分析产生此现象的原因,并从理论的角度去认识和理解非线性电路的混沌现象. 图7-1 图7-2图7-3图7-4图7-52、有源非线性电阻伏安特性的测量a、测量原理如上图8所示,具体按照下图9进行接线,其中电流表用一般的4位半数字万用表,电阻箱可

16、以选用的ZX21a或ZX21b,注意数字电流表的正极接电压表的正极；b、检查接线无误后即可开启电源；c、将电阻箱电阻由99999.9起由大到小调节,记录电阻箱的电阻,数字电压表以及电流表上的对应读数填入表格1中. 由电压、电流关系在坐标轴上描点作出有源图8非线性电路的非线性负阻特性曲线(即I-V曲线,通过曲线拟合作出分段曲线). 实验参考数据如表格2所示,由表格2作的I-V曲线略. 从实验数据可以看出测量的电流和电压的极性始终是相反的,变化是非线性的,验证了非线性负阻特性. 实验过程中,可能会出现电压电流曲线在二、四象限,这属于正常现象,由于元件的差异,非线性负阻特性曲线可能不一样,请老师和同

17、学们认真分析这种现象. 此有源非线性电阻,使用的是Kennedy于1993年提出的使用两个运算放大器和六个电阻来实现的. 在测定其非线性性时,可将其作为一个黑匣子来研究,其非线性表现在其内阻和其负载的大小有关,而且呈非线性. 因此,通过电阻箱作其负载,可测定其特性,方便实验操作. 电阻箱电阻变化的不连续,对实验曲线影响甚小图9表格1电压(V)电阻()电流(mA)表格2电压(V)电阻()电流(mA)电压(V)电阻()电流(mA)-11.57579999.90.145-3.7201790.92.077-11.50939999.90.288-3.0821690.91.823-11.0889999.9

18、1.109-2.5851590.91.625-10.9547999.91.369-2.1811490.91.463-10.5674999.92.113-1.8471390.91.328-9.9302999.93.310-1.6651330.91.251-9.4652299.94.115-1.3361320.91.011-9.3642200.94.255-1.0701319.90.811-8.7872140.94.104-0.6551316.90.497-8.2412120.93.886-0.3681310.90.281-7.7242099.93.678-0.2121300.90.163-7.1

19、032070.93.430-0.1481290.90.115-6.5432040.93.206-0.0921270.90.072-6.0512010.93.009-0.0661250.90.053-5.2281950.92.680-0.0461220.90.038-4.4731880.92.378-0.0191100.90.017-0.0121000.90.012七、注意事项1、双运算放大器的正负极不能接反,地线与电源接地点必须接触良好. 2、关掉电源以后,才能拆实验板上的接线. 3、使用前仪器先预热1015分钟. 八、思考题1、试解释非线性负阻元件在本实验中的作用是什么？2、为什么要采用RC

20、移相器,并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果不用移相器,可用哪些仪器或方法？3、简述倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等概念的物理含义. 九、成套性GT6501非线性电路混沌实验仪1台20cm 绿色2号连接线1根GT6501非线性电路混沌实验仪说明书1份10cm 黄色2号连接线12根电源线1根45cm红色单桥线1根65cm双Q9头示波器连接线2根45cm黄色单桥线1根20cm 红色2号连接线1根0.2A/220V保险丝(已经装入电源插座中)2个30cm 蓝色2号连接线1根返回附：关于混沌理论的哲学思考混沌理论是贯穿信息科学、生命科学、空间科学、地球科学和环境科学等领域,解析、计算和实验三种手段并用

21、,揭示混沌系统共性,探索复杂性的新学科领域. 混沌系统是典型的非线性系统,其长期行为是内部非线性耦合反馈作用的直接结果. 混沌系统虽然是确定性的,但是不可预测的. 一、前言 ?秛咸e噒   无论是宇宙还是生命系统,物质世界都经历着从无组织的混乱状态向不同程度有组织状态的演化. 实现着从“无序”到“有序”,从“简单”到“复杂”的各种过程. 如何从总体上认识自然界发生的这些复杂现象,找出其基本规律,构成了正在兴起的跨学科研究领域非线性科学的基本内容. 以量子力学,相对论和统计力学的建立为标志的20世纪物理学革命,使人们对微观和宏观两个物质结构层次以及其中不同结构层次之间关系的了解达到了前

22、所未有的深度. 他们在三个基本方面上对牛顿力学体系取得了革命性的突破：量子力学对应于从连续到间断的转化；相对论对应于绝对时空到相对时空的转化；而统计力学提供了不同物质结构层次间转化的桥梁. 当代物理学对解决“进化疑难”问题的探索,即对“一生二,二生三,三生万物”,量的变化导致物质运动由简单到复杂,从低级到高级的各种形态和阶段,直至生命和意识这个没有止境的发展过程的基本规律的认识上,也取得了长足的进步. 特别应当提到的是,本世纪60年代以来,在天文学、气象学、生态学等领域内,对一些看起来相对简单的不可积系统的研究中,都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动形式-混沌运动. 促成这一发现

23、的一个重要原因,是计算机的广泛应用和伴随计算机的应用而诞生的“计算物理”和“试验数学”这两个新研究领域的出现. 计算机作为科学工作者的研究手段(而不仅仅是数值计算工具),使得他们可以“进攻”以往用解析手段不可能处理的问题,从中得出规律性的认识；也使得人们可以打破原有的学科界限,从共性、普适性的角度来探讨各种混沌系统的行为. 这样就形成了贯穿信息科学、生命科学、空间科学、地球科学和环境科学等领域,解析、计算和实验三种手段并用,揭示混沌系统共性,探索复杂性的新学科领域-混沌理论. 这方面研究的迅速进展,对整个自然科学和哲学都有重大意义,并开始影响人类的自然观,促进人们从事物总体联系的角度去探索和把

24、握自然界复杂运动形式. 这些还将深刻地影响人类的思维方法,并触及现代哲学逻辑体系的根本性问题. 本文的主要目的是用科学哲学的观点,初步探讨混沌理论中的两个核心问题：确定性和不可预测性. 为此,我们在第二部分给出了非线性的一般性描述；第三部分简要概述混沌系统的基本特征；第四、五部分分别讨论混沌系统的确定性和不可预测性；第六部分阐述混沌系统的解释；在最后的结语部分,我们指出了混沌理论的革命性意义. 二、非线性 系统的混沌行为是由其内部非线性相互作用造成的,所以我们首先介绍非线性. 线性和非线性本来都是数学上使用的术语. 所谓线性是指量与量之间的正比关系,在直角坐标下形象地画出来,是一根直线. 在线

25、性系统中各部分之间无相互作用,是相互独立的,部分之和等于整体. 描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然是方程的解；而非线性则指整体中各部分之间有相互作用,部分之和不等于整体,因此叠加原理失效,非线性方程的两个解之和不再是方程的解. 对于处理线性问题,已经有了一套行之有效的方法,例如傅里叶变换、拉普拉斯变换等. 然而对于非线性问题,长期以来科学家往往束手无策,只能具体问题具体分析,无统一方法可循. 线性和非线性物理现象的区分一般有以下三个特征,首先从运动形式上有定性区别,线性现象一般表现为时空中的平滑运动,并可用性能良好的函数表示；而非线性现象则表现从规则运动向不规则运动的转化

26、和跃变. 其次,从系统对外界影响和系统参量微小变动所产生的响应上看,线性系统的响应平缓、光滑,往往表现为正比例地变化. 而非线性系统中参量的极微小变化,在一些关节点上,可以引起系统运动形式的定性改变. 第三,线性系统的演化趋向于熵最大的平衡态,即从有序状态向无序状态的演化,表现为系统内结构的消失；而非线性作用却可以促使空间规整性结构的形成和保持,即从无序状态向有序状态的演化,从而形成耗散结构. 自然界大量存在的相互作用是非线性的,线性作用其实只不过是非线性作用在一定条件下的近似. 混沌系统就是典型的非线性系统,混沌系统的长期行为是内部非线性耦合反馈作用的直接结果. 三、混沌系统1963年气象学

27、家洛伦兹研究对天气至关重要的大气热对流问题. 他发现即使对一个经过极度简化的系统来说,大气状况“起始值”的细微变化,已足以使非周期性的气象变化轨道全然改观. 洛伦兹本人当时已经意识到,这种普遍存在的气象变化轨道的不稳定性,会使长期天气预报的希望幻灭. 他曾以夸张的口吻讲到“蝴蝶效应”：南美洲亚马逊河流域热带雨林中一只蝴蝶偶然扇动了几下翅膀,所引起的微弱气流对地球大气的影响可能随时间增长而不是减弱,甚至可能两周后在美国德克萨斯州引起一场龙卷风.简单原因可能导致复杂后果,这是混沌研究所提供的一条重要信息. 许多看起来杂乱无章、随机起伏的时间变化或空间图案,可能来自重复运用某种极简单而确定的基本作用

28、. 这样,通过重复使用简单而确定的规则,就会得出绝不平庸的时间演化或空间图案. 反过来说,从貌似复杂的时间、空间或时空行为,也可能反溯到原始的简单的动力学规律,混沌研究的进展,不是把简单的事物弄得更复杂,而恰恰是寻求复杂现象的简单根源,提出新的观点和方法. 混沌不是无序和紊乱. 一提到有序,人们往往想到周期排列或对称形状. 混沌更像是没有周期性的次序. 在理想模型中,它可能包含着无穷的内在层次,层次之间存在着“自相似性”或“不尽相似”. 在观察手段的分辨率不高时,只能看到某一个层次的结构. 提高分辨率后,在原来不能识别之处又会出现更小尺度的结构. 混沌也不是噪声. 噪声的特征在于它是真正随机,

29、而绝对无从预测的. 对混沌的观察,必须满足于有限而非无穷的分辨能力. 完全的决定论和纯粹的概率论,都隐含着承认以某种“无穷”过程为前提. 就决定论而言,它的准确轨道意味着可能以“无限”精度进行测量,有限的测量精度就不能排除轨道含有随机成分. 对概率论而言,有限长的随机数序列只能以有限精度通过随机性检验,只有“无穷”长的随机数序列才可能是“真正”随机的. 所以只要承认有限性,那么决定性和概率性之间的鸿沟就消失了,决定论的动力学可以产生随机的演化过程. 决定论还是概率论？二者的关系可能是非此非彼,亦此亦彼. 更真实地反映宏观世界的观念应是基于有限性的混沌论. 目前,许多关于混沌的研究工作是属于由联

30、立微分方程组控制的动力学模型的一般数学理论. 该理论关注各种动力学模型相空间轨道的可能结构及长期行为,以及当我们摆弄这些模型时,轨道变化的方式. 我们特别感兴趣的是：初值的细微变化对动力系统的轨道将有什么影响1？ 混沌系统的一个特征是在某个给定的时刻,相空间中互相靠近的点,随着系统的演化,他们将以指数速率发散,导致对初始条件的敏感依赖性2. 因此,混沌系统是误差放大的系统. 不管用于预测该系统的代数运算是紧凑形式还是开放形式,输入上的任何误差将以指数放大到输出上. Hunt建议：可预测系统必须满足连续性条件. 他指出：最近发现了一类系统,他们的行为非常复杂,并且在基本方式上不满足连续性条件.

31、这些系统就是混沌系统. 无论两个系统起始多么接近,它们相空间轨道可以任意地发散开. 这就是说,在相空间内任意两个起始点间(他们的轨道最终落进区域A中),都将存在一点,其轨道最终落进区域B中,反之亦然. 无论所选的两个起始点多么接近,上述现象都将发生3. Hunt的分析是说明混沌系统中误差指数放大的一种方式. 从以上论述我们可以看出可预测性又要求系统的初始状态集合与终态集合间的连续性,而混沌系统并没有显示这种连续性. 所以,混沌系统虽然是确定性的,但是不可预测的. 四、混沌系统的确定性 在量子力学不确定性原理发现以前,科学界盛行的观点认为宇宙是完全确定的,其中的任何事件原则上都是可以预测的,预测

32、的唯一障碍是我们缺乏知识,即由于缺乏观察数据,或缺乏对自然界相应的认识. 这种观点我们称之为科学确定论. 科学确定论者推崇如下的三段推理模式： (1) 大前提：所有确定性系统都是可预测的(2) 小前提：自然界中所有系统都是确定的 (3) 结 论：自然界中所有系统都是可预测的 我们现在知道上述小前提(2)是一个经验假定,并且已被量子力学所证伪. 但科学确定论者将其换成另一个信条： (2*) 小前提：仅仅由于量子力学,(2)才是错识的. 虽然极少有人轻易承认,但(2*)是很多当代哲学家和科学家默认的信条. 我们将驳斥(2*)这一科学确定论的最后遗迹. 为此,我们考察科学探索的新领域“确定性混沌”内

33、的工作,从中不仅表明上述(2*),而且(1)也是错误的. 大前提(1)通常被认为是理所当然地真实,虽然它自身并没有告诉我们有什么理由把所有确定性系统都想象成可预测的. 根据科学确定论,作出预测意味着对一个系统当前状态所做的测量,经过响应科学理论数学工具的处理,以产生该系统某个未来状态的一个所期望的描述. 我们称系统当前状态的测量为输入；称数学工具为代数运算；称产生的预测为输出. 在更一般的意义下,预测是以系统的已知状态来确定未知状态. 把确定性系统与随机性系统区分开来并非想象的那么容易. 凭直觉,我们觉得在确定性系统情况下,预测代数运算中产生的输出总是精确而没有误差的. 与此相反,试图预测一个

34、含随机元素系统的结果总会导致一定程度的误差. 但这种区分确定性和非确定性系统的方式过于简单了. 因为赖以进行预测的输入为有限可表述的数字,从而总包含误差,所以,即使对确定性系统,输出也总含有误差. 那么我们如何来区分确定性和非确定性系统呢？假如对其区别作如下的改进,我们就可保留最初的直觉判断：虽然我们缺乏完美的测量仪器,并且也缺乏有限的表述每个实数的方式,但对确定性系统,我们可以将系统的相空间表示的任意精确；即使任一给定状态的描述都包含一定误差,但其精确度可以无限改进. 与此相反,非确定性系统则有一精确度的上界. 总而言之,确定性系统至少满足下列条件4： (a) 存在一个代数运算,它将任一给定

35、时刻下系统的状态与另一其它时刻系统的状态联系起来,并且该代数运算不是概率的. (b) 该系统的任一给定状态总是由相同的状态转变历史达到的. (c) 该系统的任一状态可以任意精确地描述. 下面我们讨论混沌系统的不可预测性混沌系统的不可预测性假如确定性和可预测性确实是同义词,那么说一个系统是可预测的,就是说他同样满足上述确定性的三条规定,但每个符合上述三个条件的系统就满足了我们对可预测性的期望了吗？合理的回答是否定的. 为了理解这些是如何发生的,让我们来考察某个物理系统. 若该系统是确定性系统,系统内状态的变化是由一个精确的代数运算运行的,我们可以期望的精度来描述系统内任一给定状态达到期望的精确度

36、；并进一步假定该代数运算不是紧凑形式. 我们能说这样一个系统是可预测的吗？由于非紧凑形式代数运算基本上复制了从输入状态转变到输出预测系统内每个状态,所以,不能保证代数运算产生的输出快于系统本身达到终态的时间；换句话说,我们不能提前给出预测,事实上,这不是预测,而仅仅是巡视. 假如我们尝试对代数运算使用某个紧凑形式近似,那么存在于输入状态描述上的误差将被放大到输出预测上去,这也与我们所说的预测不相符. 要得到一个预测,我们希望预测的输出精确到任意指定的精确程度. 我们要在这里强调,输出的这种精确度要求构成了可预测系统的另外一个必须满足的条件. 若确定性系统并不能保证这一附加条件的满足,我们就能以此将确定性和可预测性区分开来. 现在,让我们陈述对可预测性的要求,并指出在哪里确定性和可预测性分道扬镳. 确定性是可预测性的必要条件,因此,可预测系统必须至少满足我们已经陈述过的对确定性的要求. 另外我们加上另外一个条件： (d) 系统内任一状态可以从系统内任一其它状态由代数运算以任意小(非零)误差生成. ) 由此确定性和可预测性得以区分. 我们上面谈到的混沌系统满足(a)、(b)、(c)但不满足(d),所以它是确定性的,但不是可预测性的. f