高中数学圆锥曲线题型总结

1、优秀学习资料欢迎下载直线和圆锥曲线常考题型运用的知识 ：1、中点坐标公式：xx1x2 ,yy1y2，其中 x, y 是点 A( x1, y1 )， B( x2 , y2 ) 的中点坐标。222、弦长公式：若点A( x1 , y1)， B( x2 , y2 ) 在直线 ykxb(k0) 上，则 y1kx1b， y2kx2b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB( x1x2 )2( y1y2 )2( x1x2 )2( kx1 kx2 ) 2(1 k 2 )( x1x2 )2(1k 2 )( x1x2 )24x1x2 或者 AB( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2( 1 x11

2、x2 ) 2( y1y2 )2(112 )( y1y2 )2kkk(112 )( y1y2 )24 y1 y2 。k3、两条直线 l1 : yk1 xb1, l2 : yk2xb2 垂直：则 k1k21 两条直线垂直，则直线所在的向量v1 v204、韦达定理：若一元二次方程ax 2bxc0( a0) 有两个不同的根x1, x2，则 xxb , x xc。1212aa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 l : ykx1 与椭圆 C : x2y 21 始终有交点，求m 的取值范围4m解：根据直线 l : ykx1 的方程可知，直线恒过定点（0 ， 1），

3、椭圆 C : x2y21 过动点（0，m ), 且 m 4 ，如4m果直线 l : ykx1和椭圆 C : x2y21 始终有交点，则m 1，且 m4，即 1m且 m 4 。4m规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l : ykx1过定点（ 0，1） l : yk(x1 )过定点（，10） l : y2k (x 1)过定点（1， 2）题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线 l 与曲线 N ： y2x 交于 A 、 B 两点，在 x 轴上是否存在一点E( x0 ,0)，使得ABE 是等边三角形，若存在，求出x0 ；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜

4、率存在，且不等于。设直线 l : yk (x 1)，k 0，A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) 。0yk( x1)消 y 整理，得 k 2 x2(2 k21)xk20 由x由直线和抛物线交于两点，得y2(2 k224k44k21 0即0k21x1x22k211 。1) 由韦达定理，得：k 2, x1x24优秀学习资料欢迎下载则线段 AB 的中点为 (2k 221 , 1 ) 。线段的垂直平分线方程为：y11 ( x1 2k22)2k2k2kk2k令 y=0,得 x0121，则 E(1 21 ,0)ABE 为正三角形，E(121 ,0) 到直线 AB 的距离 d 为3 AB。2k

5、22k22k22AB( x1x2 )2( y1y2 )21 4k 221 k23 1 4k 221 k 2k 21 k d2 k2k21 k2 k解得 k395满足式此时 x。1303题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆 C： x2y23 ，且在 x 轴上的顶点分别为221(ab 0) 的离心率为A 1(-2,0),A 2(2,0)。ab2（ I）求椭圆的方程； （ II ）若直线 l : xt (t2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点，直线PA1,PA2 分别与椭圆交于 M 、 N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（ I ）由已

6、知椭圆C 的离心率c3a2 ,c3, b1。从而椭圆的方程为x22e，y 1a2则得4（ II ）设 M ( x1 , y1 ) ， N (x2 , y2 ) ，直线 A1M的斜率为 k1 ,则直线 A1M的方程为 yk1 ( x2) ，由y k1 ( x 2)消 yx24 y24整理得 (12)x216k2 x2402和 x1 是 方 程 的 两 个 根 ，16k2428k24k116k12x111则 x111 ，4k124k12y14k1，即点M的坐标为( 28k12,4k1) ，同理，设直线A2N 的斜率为k2 ，则得点N 的坐标为14k1214k214k211(8k2222,4k22

7、)y pk1(t2), ypk2 (t2)k1k22 ，直线 MN 的方程为： y y1y2y1 ，1 4k21 4k2k1k2tx x1x2x1令 y=0 ，得 xx2 y1x1 y2，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：x4y1y2t又 t2 ，042椭圆的焦点为 (3, 0)43，即 t43tt3故当 t43时， MN 过椭圆的焦点。3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点 A 、B 、C 是椭圆 E： x2y21 (a b 0) 上的三点，其中点A (2 3,0) 是椭圆的右顶点，直线 BCa2b2过椭圆的中心 O，且 AC BC0， BC2 AC ，如图。优秀学习资料欢迎

8、下载(I) 求点 C 的坐标及椭圆E 的方程； (II) 若椭圆 E 上存在两点P、 Q，使得直线PC 与直线 QC 关于直线x3 对称，求直线 PQ 的斜率。解： (I)BC2 AC ，且 BC 过椭圆的中心 OOCACAC BC0ACO2又A (23,0)点 C的坐标为 ( 3,3) 。A (23,0)是椭圆的右顶点，a2 3 ，则椭圆方程为：x2y21 将点 C ( 3, 3) 代入方程，得 b24 ，椭圆 E 的方程为 x2y2112b2124(II)直线 PC 与直线 QC 关于直线 x3 对称，设直线 PC 的斜率为 k ，则直线 QC 的斜率为k ，从而直线 PC的方程为：y3

9、k( x 3) ，即 y kxykx3(1k)3(1 k ) ，由3y2120x2消 y，整理得：(1 3k 2 )x26 3k(1 k ) x 9k 2 18k 3 0 x3 是方程的一个根，xP 39k 218k 313k 2即 xP9k 218k3 同理可得： xQ9k 218k33(13k 2 )3(1 3k 2 )yPyQ kxP3(1k)kxQ3(1k) k (xP xQ )23k12k3(1 3k 2 )xP9k2 18k39k218k336kyPyQ11xQ3(1 3k 2 )3(1kPQxPxQ则直线 PQ 的斜率为定值。3(1 3k 2 )3k2 )33题型五：共线向量问题

10、M： x2y2uuuruuur例题 5、设过点 D(0,3) 的直线交曲线1于 P、Q 两点，且 DP= l DQ ,求实数 l 的取值范围。94uuuruuurìx= l x2?1解：设 P(x1,y1),Q(x 2,y2), Q DP = l DQ (x1,y1-3)= l (x2,y2-3) 即 í=+-?3l (y23)?y1?ì22?x 2y222?+= 1xy?94方法一：方程组消元法又Q P、Q 是椭圆+=1 上的点?22í94?(l y2+ 3 - 3l )?(l x 2 )= 1?+?94?优秀学习资料欢迎下载消去 x2，可得 (l y

11、2 + 3 -3l)2- l 2y22= 1 -l 2 即 y2=13l- 5 又 Q 2 y2 2， 2 13l- 52 解之得： 1546l6l5则实数 l的取值范围是1 ,5。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为： ykx3,k0 ，由5ykx3消 y 整理后，得 (49k2 )x254kx450 P、Q 是曲线 M 上的两点(54k)2445(49k 2 )4x29 y236 144k2800 即 9k25由韦达定理得：x1x254k, x1x245(x1x2 )2x1x224 9k 249k 2x x2x2x1154 2 k 2(1) 2即36) 29k2414由

12、得 011，代入，整理得45(49k 2 )5(19k 29k 29k 251369 ，解之得 15 当直线 PQ 的斜率不存在，即 x0 时，易知5或1。总之实数 l的取值5(1)2555范围是1,5 。5题型六：面积问题例题 6、已知椭圆 C： x2y21 （ a b0）的离心率为6 , 短轴一个端点到右焦点的距离为3 。a2b23（）求椭圆C 的方程；（）设直线l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为3 ，求 AOB 面积2的最大值。c ，依题意c6 ，x2y2解：（）设椭圆的半焦距为a3b 1，所求椭圆方程为1。a3，3（）设 A( x1， y1 ) ，

13、B(x2， y2 ) 。（ 1）当 AB x 轴时， AB3 。（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kxm 。由已知m3 ，得 m23 (k 21) 。1k 224把 y kxm 代入椭圆方程，整理得(3k226kmx23 0 ，x1x26km， x1x23(m21)。1) x3m3k213k21AB(1 k 2 )( x2 x1) 2(1k2 )36k2221)12(k21)(3k212)3(k21)(9k21)m12(mm2(3k 21)23k 21(3k 21)2(3k21)2优秀学习资料欢迎下载39k 412k 2312(k0)3124 。当且仅当 9k 2

14、 1，即 k3时等号成立。当6k 219k2162 3 6k23k2k0时， AB3 ，综上所述AB max1AB max332 。 当 AB 最大时， AOB 面积取最大值 S2。22题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点 C（ 0， p）作直线与抛物线x2=2py （ p>0 ）相交于 A 、 B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。2=2pyx22 py（）依题意，点 N 的

15、坐标为 N（ 0,-p）,可设 A（ x1,y1）,B（ x2,y2），直线 AB 的方程为 y=kx+p, 与 x联立得kx p.y消去 y 得 x2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得 x1+x 2=2pk,x 1x2=-2p 2.于是 S ABNS BCNS ACN1 2 p x1x22 p x1 x2 p (x1x2 ) 24x1x2 p 4 p2 k 28 p22 p2 k 22.当k时，（）0S ABN min 2 2 p2.（）假设满足条件的直线l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 O ,t与 AC为直 径的圆相交于点P、Q，PQ 的中点为 H，则 O HPQ, O 点的

16、坐标为（ x1 , y1p ） O P1 AC1x12( y1p)2 1y12p2.22222优秀学习资料欢迎下载O Hay1p 1 2a y1p ,PHOP OH2=22221 ( y12p2 )1 (2a y1p) 2 (ap ) y1a( p a),4422p ) y2a( p a) .PQ (2 PH ) 2 = 4 ( a2令 ap0 ，得 ap ,此时 PQp 为定值，故满足条件的直线l存在，其2p2方程为 y，即抛物线的通径所在的直线 .2解法2： （）前同解法1，再由弦长公式得AB1 k2 x1x21 k2(x1x2 ) 24x1x21 k 24 p2k 28 p2 2p1k2

17、k22. 又由点到直线的距离公式得d2 p1k 2 .从而，SABN1dAB11k2k222 p2p2k22,当k时，（S ABN）2222 p1 k20max2 p .2（）假设满足条件的直线t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为(x0)( xx1)( yp)( yy1)0,x2x1 x( ap)(ay1 )0,将直线方程 y=a 代入得p ) y1 a( p a).则 x124(ap)(ay1 )4 (a2设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P（ x2,y2 ）,Q（ x4,y4）,则有PQ x3 x4pp)y1() .4 (a) y1 a( p a)2 (aap

18、 a22令 ap0,得 ap ,此时 PQp 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 yp .即抛物线的通径所在的直线。222题型八：角度问题例题 8、（如图（ 21）图， M（ -2 ， 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动点P满足： PMPN6.（）求点 P的轨迹方程；（）若 PM ·PN 2, 求点 P的坐标 .1 cosMPN解： ( ) 由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6 的椭圆因此半焦距c=2，长半轴 a=3，从而短半轴优秀学习资料欢迎下载b= a2 c25 ，所以椭圆的方程为x2y21.95( )由 PMPN2PMPN cosMPNPM

19、 PN 2., 得1 cos MPN因 为 c o sM P N 1,P不 为 椭 圆 长 轴 顶 点 ， 故 P 、 M、 N 构 成 三 角 形 . 在 PMN中MN4,由余弦定理有22PN22 PMPN cosMPN . 将代入，得42PM22PN2).MNPMPN 2( PM故点 P在以 M、N为焦点，实轴长为23 的双曲线 x2y21 上.333由 ( ) 知，点 P的坐标又满足x2y21，所以由方程组5x29y245,解得x2,95x23 y23.5y.2即 P点坐标为 (3 3 ,5)、（ 33 ， -5）、（ - 33 ， 5）或（33 ， -5 ） .22222222问题九：

20、四点共线问题22例题 9、设椭圆 C : x2y21(ab0)过点M(2,1) ，且着焦点为 F1 (2,0)ab（）求椭圆 C 的方程；（）当过点P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点A, B 时，在线段AB 上取点 Q ，满足AP QBAQ PB ，证明：点 Q 总在某定直线上c22解 (1) 由题意：211，解得 a24, b22 ，所求椭圆方程为x2y21a2b242c2a2b2(2) 方法一设点Q、A、B的坐标分别为(x, y),( x1 , y1),( x2 , y2 ) 。由题设知AP , PB , AQ , QB 均不为零，记APAQ, 则0 且1又 A ，P，

21、B ，Q四点共线，从而APPB, AQQB于是 4x1x2 ，PBQB1y1y2xx1x2， yy1y2从而x122 x224x ，（1）y122 y22y ，（ 2）11121211又点 A、B 在椭圆 C 上，2222x12 y14,(3) x22y24,(4)（）（）×2并结合（ ），（ ）得4s 2 y 41 + 234即点 Q( x, y) 总在定直线 2xy20 上优秀学习资料欢迎下载方法二设点 Q ( x, y), A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，由题设，PA , PB , AQ , QB 均不为零。且PAPBAQQB又 P, A, Q, B 四点共线

22、，可设PAAQ, PBBQ(0, 1) ,于是 x14x , y11y （ 1）11x24x , y21y （ 2）由于 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上，将（ 1），（ 2）分别代入 C 的方程 x22 y24, 整11理得( x22y24) 24(2 x y2)14 0（ 3） ( x22 y24) 24(2 xy 2)140(4)(4) (3) 得 8(2 xy2)00, 2x y20即点 Q( x, y) 总在定直线2 x y20 上问题十：范围问题（本质是函数问题）设 F1、 F2 分别是椭圆x 2y21的左、右焦点。 （）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1· PF2 的最大值和最小4值；（）设过定点M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点A 、 B ，且 AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线l 的斜率 k 的取值范围。解：（）解法一：易知a2, b1,c3 所以 F13,0, F23,0，设 P x, y ，则PF PF23 x, y , 3 x, y x2y23 x2 1x2313x28144因为 x2,2 ，故当 x0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1 PF2 有最小值2 当 x