河北省石家庄市高二数学下学期期末试卷理(含解析)(三)

1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（下）期末数学试卷（理科）选择题：本大题共 12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已知集合 M=xCZ|0 WxW4 , N=x|1 < log 2X< 2,则 MT N=（A. 0 , 1 B. 2 ,3 C. 3 D . 2 , 3, 42.已知命题 p： ? xC R, x2- 3x+3<0,贝U （）A.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为真命题B.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为假命题C.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为真命题

2、D.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为假命题3 .函数f （x） =x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（3A. 10 B. 5 C. - 1 D. 一 三 i4 . "a=1"是"？ xC （0, +8）axi 】n 1"的（）4kA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5 .设各方，贝U（三）的定义域为（）£ X乙 StA.( 4, 0) U (0,4)B. (-4,- 1) U (1,4)C.( 2, 1) U ( 1,2)D. (-4, - 2) U (2, 4)X<

3、;1一6 .设函数f (x)=-,则满足f (x) w 2的x的取值范围是()1-1 吟，K>1A. 1,2B. 0,2C. 1 , +8)D, 0 , +8)7 . x表示不超过x的最大整数，若f' (x)是函数f (x) =ln|x|导函数，设g (x) =f(x) f' ( x),则函数 f=g (x) +g (- x)的值域是()A. -1,0B, 0, 1 C. 0 D , 偶数8.函数的图象大致为（9 / 19D.9 .已知函数f (x)对定义域 R内的任意x都有f (x) =f (4-x),且当xw 2时其导函数f' (x)满足 xf' (x

4、) >2f' (乂)，若224则( )A.f(2a)vf (3) vf (log 2a)B.f (3)vf(log 2a)<f (2a)C.f(log2a) < f (3) vf (2a)D.f (log2a)vf (2a)vf (3)3| 一Il10 .若函数f (x) Tx2+x+1在区间(7，3)上有极值点，则实数a的取值范围是目 2(|2|( )5|510110A. (2,亍)B. 2,亍)C. (2, ) D. 2,尚)11 .若实数 a, b, c, d 满足(b+a2 3lna ) 2+ (c d+2) 2=0,贝U ( a c) 2+ (b d) 2的

5、最小值为()A.6 B. 2 C. 2&D. 812 .设偶函数 y=f (x)和奇函数y=g (x)的图象如图所示：集合 A=x|f (g (x) - t) =0与集合B=x|g (f (x) - t) =0的元素个数分别为 a, b,若w<t<1,则a+b的值不可能是()A. 12 B. 13 C. 14 D. 15二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13 .已知偶函数f (x)在0, +8)单调递减，f (2) =0,若f (x-1) >0,则x的取值 范围是.14 .若函数 f (x)在 R上可导，f (x) =x3+x2f ' ( 1),则 f

6、 Lj (x) dx=.15 .已知命题 p：函数f (x) =2ax2-x-1 (aw0)在(0, 1)内恰有一个零点；命题q：函数y=x2 a在(0, +8)上是减函数，若 p且q为真命题，则实数 a的取值范围 是.16 .设x为实数，定义x为不小于x的最小整数，例如5.3=6 , - 5.3= -5,则关于x的方程3x+4=2x+，的全部实根之和为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .设 ABC的内角 A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且acosB - bcosA且c.(I)求返哈的值； t ai-ib(n)求tan (A- B)的最大值.18 .甲

7、、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功.某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.19 .如图，在直四棱柱 ABC。A1B1C1D 中，/ BAD=60 , AB=BD BC=CD(1)求证：平面 ACCA1L平面 ABD;(2)当BCL CD时，直线BC与平面A1BD所

8、成的角能否为 45° ?并说明理由.20 .已知点C是圆F: (x-1) 2+y2=16上任意一点，点 F'与点F关于原点对称.线段CF'的中垂线与CF交于P点.(1) 求动点P的轨迹方程E;(n) 设点A (4, 0),若过点F的直线交曲线E于M N两点，求 AMN©积的最大值.21 .已知函数f (x) =ln (ex+a) (a为常数，e为自然对数的底数)是实数集R上的奇函数，函数g (x)=入f ( x) +sinx在区间T , 1上是减函数.(1)(2)(3)求实数a的值;若g (x) w t2+入t + 1在x - 1, 1上恒成立，求实数讨论关

9、于x的方程J - 2号3的根的个数.t的取值范围;选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图，点 A,B,D,E在OO±,EDAB的延长线交于点C,ADBE交于点F,AE=EB=BC(1)证明：DE =丽；(2)若 DE=2，AD=4 求 DF的长.选彳4-4 :坐标系与参数方程7T I23 .已知曲线C的极坐标方程为 p4sin ( 0 -),以极点为原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是(cossin。)，其中CR),求|PQ|的最大值.选彳4-5 :不等式选讲24 .已知函数 f (x) =|x

10、3|+|2x+t|, tCR(1)当t=1时，解不等式f (x) >5;(2)若存在实数a满足f (a) +|a - 3| <2,求t的取值范围.2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题：本大题共 12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1,已知集合 M=xCZ|0 WxW4 , N=x|1 vlog2x<2,则 MT N=()A. 0 , 1B. 2 ,3C. 3 D . 2 , 3, 4【考点】交集及其运算.【分析】列举出M中的元素确定出 M求出N中不等式的解集确定出 N,找出

11、两集合的交集 即可.【解答】解：由M中xCZ, 0<x<4,得到M=0, 1, 2, 3, 4,由N中不等式变形得：log 22=1 < log 2xv 2=log 24,解得：2vx<4,即 N= (2, 4),则 MA N=3,故选：C2.已知命题 p： ? xC R, x2- 3x+3<0,贝U ()A.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为真命题B.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为假命题C.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为真命题D.p： ?xCR, x2-3x+3>0,且p 为假命题【考点】命题的

12、否定.【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】解：二.命题p是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得： p: ? x R, x2-3x+3>0,判别式 =9- 4X 3=9 - 12=- 3< 0, . x2- 3x+3 >0 恒成立，故p为真命题，故选：C3 .函数f (x) =x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为()3A. 10 B. 5C. - 1 D.-I I【考点】导数的几何意义.【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据 x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求

13、出切线 在x轴上的截距即得.【解答】 解：. f (x) =x3+4x+5,，f' ( x) =3x2+4,f' ( 1) =7,即切线的斜率为 7,又f (1) =10,故切点坐标(1, 10),3，切线的方程为：y-10=7 (x-1),当y=0时，x= ,切线在x轴上的截距为-故选D.4 . "a=1"是"？ xC (0, +8), ax+J>i” 的()4kA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即

14、可，【解答】 解：当a=1时，？xC (0, +8),不等式为*卓沼/工上一=2><三=1成立.4尺Y 4K 2当 a=2 时，2x+*n,满足“？ xC (0, +8),ax+1",但此时a=1不成立.4s.昂”是),ax击”的充分不必要条件.故选：A.7.1-V-yQ5.设三大,贝U £匕)十£(一)的定义域为()2 一工二zA.( 4,0)U( 0,4)B. (-4,- 1) U (1, 4)C.( 2, 1) U ( 1,2) D. (-4, - 2) U (2, 4)【考点】对数的运算性质.【分析】根据对数函数的真数大于 0且分式中的分母不为

15、 0可得f (x)的定义域，再由fw 耳 222, 2),(x)中的x、f (工)中的二、f (二)的二满足的条件相同求出 x的取值答案.【解答】解：由题意知，万=？>0，'f (x)的定义域是(-K2故：-2<77<2且-2V <2 2x解得-4vxv - 1 或 1vx<4故选B.6.设函数f,则满足f (x) w 2的x的取值范围是(A. 1,2 B. 0,2C. 1 , +8)D, 0 , +8)【考点】对数函数的单调性与特殊点.【分析】 分类讨论：当x<1时；当x>1时，再按照指数不等式和对数不等式求解, 最后求出它们的并集即可.【解

16、答】 解：当xW1时，z.xwz的可变形为1-xW1, x>0, .0<x< 1.当x>1时，1 - log 2xW2的可变形为x>.x> 1 ,故答案为0 , +8) 故选D.7. x表示不超过x的最大整数，若f' (x)是函数f (x) =ln|x|导函数，设g (x) =f (x) f' ( x),则函数 f=g (x) +g (- x)的值域是()A. -1,0 B. 0 , 1C. 0 D , 偶数【考点】导数的运算.【分析】先对函数g (x)进行化简，根据x表示不超过x的最大整数，针对 x进行分类 讨论，发现规律，问题得以解决.【

17、解答】 解：由题意可知g (x) =f (x) ?f(x)不妨设 x>0,则 y=g (x) +gx) = - 1y=g (x) +gM/ inx 八 mtt Inx 八r Inx n 八 .Ina.,、,、,八当一；一二0,则=0,=0, -=0? y=g )+g(x)=0JL耳JK-4依此类推可得y=g (x) +g (-x)的值域是-1, 0,故选A.【考点】函数的图象与图象变化.【分析】 欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x W0方面考虑，还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可.【解答】解析：函数有意义，需使 ex-e x f' (

18、 x) =x2- ax+1,若函数f (x) =- -x2+x+1在区间0,其定义域为x|x丰0,排除C, D,又因为所以当x>0时函数为减函数，故选 A 答案：A.9.已知函数f (x)对定义域 R内的任意x都有f (x) =f (4-x),且当xw 2时其导函数f' (x)满足 xf' (x) >2f' (乂)，若224则( )A.f(2a)vf (3) vf (log 2a)B.f(3)vf(log 2a) <f(2a)C.f(log2a) < f (3) vf (2a)D.f(log2a)vf (2a) vf(3)【考点】抽象函数及其应用

19、；导数的运算.【分析】由f (x) =f (4-x),可知函数f (x)关于直线x=2对称，由xf ' (x) >2f'(x),可知f (x)在(-8, 2)与(2, +8)上的单调性，从而可得答案.【解答】解：二函数f (x)对定义域R内的任意x都有f (x) =f (4-x),.f (x)关于直线x=2对称；又当 xw2时其导函数 f' (x)满足 xf' (x) >2f' (x)?f' (x) (x-2) >0,当x>2时，f ' ( x) > 0, f (x)在(2, +8)上的单调递增；同理可得，当

20、x<2时，f (x)在(-巴 2)单调递减；,2<a<4,.1 < log 2av2, . 2 v 4 log 2av 3,又 4v 2av 16, f (log 2a) =f (4Tog 2a) , f (x)在(2, +°0)上的单调递增；f (log 2a) vf (3) v f (2a).故选C.10.若函数f (x) =-|-x2+x+1在区间(£, 3)上有极值点，则实数 a的取值范围是 ( )A. (2,g B. 2,gC. (2,D, 2,岑)【考点】利用导数研究函数的极值.x2+x+1在区间(,3)上有极值点，我们易得函数的导3【分

21、析】由函数f (x)三3函数在区间(上，3)内有零点，分离参数，确定范围即可得到答案【解答】解：二函数f (x)7x2+x+1,2,3)上有极值点, icZ_i则f' ( x) =x2 - ax+1在区间(3)内有零点由 x2 - ax+1=0 可彳导 a=x+- zX (/, 3)， - 2< a<-=-H,a不能3当a=2时，函数f (x)的导函数等于零时值只有1,可是两边的单调性相同，所以等于2.故选C.11.若实数 a, b, c, d 满足(b+a2- 3lna ) 2+ (c d+2) 2=0,贝U ( a c) 2+ (b d) 2的最 小值为()A.6 B.

22、 2C. 2回 8【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用.【分析】 由题设 b+a2 - 3lna=0 ,设 b=y, a=x,得至U y=3lnx x2; c- d+2=0,设 c=x, d=y, 得到y=x+2,所以(a-c) 2+ (b- d) 2就是曲线y=3lnx - x2与直线y=x+2之间的最小距离 的平方值，由此能求出(a - c) 2+ (b - d) 2的最小值.【解答】 解解：二.实数a、b、c、d满足：(b+a2-3lna ) 2+ (c-d+2) 2=0,. b+a2 3lna=0 ,设 b=y, a=x,贝U有：y=3lnx - x2,且 c

23、- d+2=0,设 c=x, d=y,则有:y=x+2, (a- c) 2+ (b-d) 2就是曲线y=3lnx - x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线 y=3lnx - x2求导：y' ( x) =|-2x,3|3与y=x+2平行的切线斜率 k=1q 2x,解得：x=1或x= (舍)，把 x=1 代入 y=3lnx - x2,得：y= - 1,即切点为(1, - 1),切点到直线y=x+2的距离：、一 二2百，-1 (a-c) 2+(b - d)2的最小值就是 8.故选：D.12.设偶函数y=f(x)和奇函数y=g(x)的图象如图所示：集合A=x|f(g (x) -

24、t) =0与集合B=x|g (f (x) - t) =0的元素个数分别为 a, b,若2"<1<1,则a+b的值不可能 是()A. 12【考点】【分析】利用图象，分别判断 g (x)=t和f (x) =t ,在呆tv 1时的取值情况，然后进行讨论即可.【解答】解：由条件知，第一个图象为f (x)的图象，第二个为 g (x)的图象.由图象可知若f (x) =0,则x有3个解，为x=-3 x=2个解，不妨设为 x=n, x=0, x=- n, (0vnv1)由 f (g (x) t) =0得 g (x) - t=或 g (x) - t=0 ,g (x) - t=即 g (x)

25、 =t+，或 g (x) =t，或 g (x) =tB. 13 C. 14 D. 15奇偶函数图象的对称性.13 / 19t v 1时，由g (x) =t ,得x有3个解.g (x) =t- 3,此时 x有 3 个解.f 5g+即 )，此时方程无解.所以a=3+3=6.(f (x) - t) =0 得 f (x) - t=n，或 f (x) - t=0 或 f(x)=t+n，或 f (x) =t，或 f (x) =t - n.(x)=t ,因为-t<1,所以此时x有4个解.(x)=t+n ,因为tv1, 0vnv1,所以若 0vn则v t+n个解或2解或0个解.若对应 f ( x) =t

26、 - nC (0, 1)有 4 个解，此时 b=4+4+4=12 或 b=4+2+4=10 或 b=4+0+4=8.1,则 1 < t+n <2,此时 x 无解.对应 f (x) =t - n (,对应的有2个解或3解或4个解.所以此时 b=4+2=6 或 b=4+3=7 或 b=4+4=8.综上b=12或10或8或6或7.所以a+b=18或16或14或13或12.故D不可能.故选D.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13.已知偶函数f (x)在0, +8)单调递减，f (2) =0,若f (x-1) >0,则x的取值 范围是 (-1, 3).【考点】函数奇偶性的性质

27、;函数单调性的性质.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f(|x-1|)>f(2),即可得到结论.【解答】解：二.偶函数f(x)在0,+8)单调递减，f(2)=0,.不等式 f (x- 1) >0 等价为 f (x-1) >f (2),即 f (|x -1| ) >f ，.|x - 1| <2,解得-1vxv3,故答案为：(-1,3)14.若函数 f (x)在 R上可导，f (x) =x3+x2f ' ( 1),则,Lf (x) dx= - 2 .【考点】定积分.【分析】先根据导数的运算法则求导，再求出f' ( 1) = -

28、3,再根据定积分的计算法计算即可.【解答】-2 解：f (x) =x3+x2f ' ( 1), f ' ( x) =3x2+2xf ' ( 1), f ' (1) =3+2f ' ( 1), - f (1) =-3,1. f (x) =x3 - 3x2,1- J二(4k4 - J) | L=1(彳 + 1) = - 2,4L 44故答案为：-2.15 .已知命题 p：函数f (x) =2ax2-x-1 (aw0)在(0, 1)内恰有一个零点；命题q：函数y=x2 a在(0, +8)上是减函数，若 p且q为真命题，则实数 a的取值范围是(1, 2.【考点】

29、复合命题的真假.【分析】 命题p：函数f (x) =2ax2- x - 1 (aw0)在(0, 1)内恰有一个零点，则 f (0)f (1) < 0,解得a范围；命题q：函数y=x2 a在(0, +8)上是减函数，2-a<0,解得a 范围.由p且q为真命题，可得p与q都为真命题，即可得出.【解答】 解：命题p：函数f (x) =2ax2-x - 1 (aw0)在(0, 1)内恰有一个零点，则 f (0) f (1) =- (2a 2) <0,解得 a>1;命题q：函数y=x2 a在(0, +8)上是减函数，2-a<0,解得a>2.p且q为真命题，p与q都为真

30、命题,1<a< 2.则实数a的取值范围是(1,2.故答案为：(1, 2. - 5.3= -5,则关于 x16 .设x为实数，定义x为不小于x的最小整数，例如5.3=6的方程3x+4=2x+，的全部实根之和为【考点】函数的零点.【分析】 设2x+JeZ,贝u x=一-243x+4=k+1二匕'于是原方程等价于二一=一1,从而可得k=-5或-4,求出相应的x,就可得所有实根之和.【解答】 解：设2x+=kCZ,则x：卓，3x+4=k+1审于是原方程等价于即一2 V从而一7-< k<,即 k=-5 或-4.1113相应的x的值为一寺-4于是所有实根之和为-6.故答案为

31、：-6.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.c.17 .设 ABC的内角 A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且acosB - bcosA=5的值;(I)求(n)求tan (A- B)的最大值.【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数.【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,(I)由正弦定理的边角互化，我们可将已知中3进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB ,再利用弦化切的方法即可求tanAtanB的值.(n)由(I)的结论，结合角A, B, C为 ABC的内角，我们易得tanA=4tanB >0,则tan (A- B)可化为cotB

32、+4tanB,再结合基本不等式即可得到tan (A- B)的最大值.【解答】解：(I)在 ABC中,由正弦定理得.*3333sinAcasB si nBco sA=s i nCn (笆minAc 口5555即 sinAcosB=4cosAsinB ,tanA tanB _(H)由片-二一得V7 T2VcotBT4tanB 4tanA=4tanB > 01+tanAtanB 2+4 tan2B cotB+ tariB当且仅当4t anBotB, tanB=taM=2时,等号成立,故当 tanA二2m tamB=-时,tan (A- B)的最大值为日.418 .甲、乙两袋中各装有大小相同的小

33、球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功.某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P (A).(2)依题意，X的可能取值为0, 1,2,求出左手和右手所取的两球颜色相同的概率，分别

34、求出P (X=0) , P (X=1) , P (X=2),由此能求出 X的分布列和EX 【解答】 解：(1)设事件A为“两手所取的球不同色”，则P(Q=1 -2X3+3X3+4X 3 29X9瞰6"盘5彩吟号171872Ptt=L)=x Cl - ) + tl - -) X"184184 18眸2备节*所以X的分布列为：013 24E (X) =0X19 .如图，在直四棱柱 ABC。A1B1C1D 中，/ BAD=60 , AB=BQ BC=CD(1)求证：平面 AC8L平面 ABD;(2)当BCL CD时，直线BC与平面ABD所成的角能否为 45° ?并说明理

35、由.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【分析】(1) 4ABD是等边三角形，由 ABe 4ADC可彳导AC平分/ BAD故AC± BR由AA，平面 ABCD导AABR 于是 BDL平面 A AC；所以平面 ACCA平面 ABR(2)设AG BD交于点O,过C作平面 ABD的垂线CH则H必在直线 AQ上，设AA=h,分 别利用勾股定理和三角形相似解出CH列出方程看h是否有解.【解答】(1)证明：. AB=BD BC=CD AC=AC . ABC ADC / BAC4 DAC 即 AC 平方/ BAD . AB=BD Z BAD=60 , .ABD是等边三角形，.-.AC

36、± BD., AAL平面 ABCD BD?平面 ABCQ .AABD,又 AC?平面 ACCA, AA?平面 ACS, AAAAC=A BD，平面 ACCA1,又 BD?平面 ABD 平面 ACGAL平面 ABD(2)设A6 BD=O过 C作CHL A1O交A1O的延长线于 H,连结BH. 平面 ACCAL平面 ABR 平面 ACCAA平面 A1BD=AO, CHL AO, CH?平面 ACCA, 二CH!平面ABD,即/ CBH直线BC与平面ABD所成的角.设 AA=h, AB=2,贝U AO=/1, OC=OB=,1 BC=/2, 1- AO=/jTJ. . /AAO=Z CHO

37、=90 , / AOA=/COHCH CO. .A A8 ACH(O解得CH= / CBH=45 , / CHB=90 , BC=.'： .CH=1 .方程无解.15/1 9直线BC与平面AiBD所成的角不能为 4517 /1920.已知点C是圆F: (x-1) 2+y2=16上任意一点，点 F'与点F关于原点对称.线段CF'的中垂线与CF交于P点.(I) 求动点P的轨迹方程E;(n) 设点A (4, 0),若过点F的直线交曲线E于M N两点，求 AMN©积的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(I )由题意可得：|PF' |=|PC| ,又 |P

38、C|+|PF|=4 ,可得 | PF' |+|PF|=4 >|FF' |=2,由椭圆的定义即可得出.(II )设直线MF：x=ty+1 , M(xi,yi), N(X2,y2),与椭圆方程化为：(3t2+4)y2+6ty-9=0,利用根与系数的关系可得：|y 1 - y2|= J (y p ' -i V2，可得：S；aamn=|FA|y 1 - y2| ,代入化简整理利用函数的单调性即可得出.【解答】 解：(I)由题意可得：| PF' |=|PC| ,又 |PC|+|PF|=4 ,. | PF' |+|PF|=4 >| FF |=2 ,由椭圆

39、的定义可得：2a=4, c=1,22故动点P的轨迹方程E:三一+匚=1 .43(II )设直线 MF: x=ty+1 , M (x1, yO , N (x2, 72 ,联立化为：(3t 2+4) y2+6ty - 9=0,-6-ty1+y2=yy=|y令m。t，则函数g (m) =3m+-在1 , +°°)上单调递增，故g (t ) min=g (1) =4,.Saamn<母工 即当t=0时， PAB的面积取得最大值，且最大值为 9. 4 2221.已知函数f (x) =ln (ex+a) (a为常数，e为自然对数的底数)是实数集 R上的奇函 数，函数g (x)=入f

40、 ( x) +sinx在区间T , 1上是减函数.(1)求实数a的值；t的取值范围;(2)若g (x) w t2+入t+1在xC - 1, 1上恒成立，求实数(3)讨论关于x的方程f(6 -耳2 - 2号3的根的个数.【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)利用定义法进行判断得 a (ex+ex+a) =0恒成立，求出a的值；(2)利用导数，结合单调性可知g' (x) W0恒成立，入w- 1；要使g (x) < t2+ X t+1在x - 1, 1上恒成立，只需-入- sin1 <t2+X t+1在入w - 1时恒成立即可.可构造函数，看成关于 入的

41、一次函数进行求解，进而得出入的范围；(3)利用构造函数法，令功底)二七却td,通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类.【解答】 解：(1) . f (x) =ln (ex+a)是奇函数，f ( x) = - f (x),即 In (ex+a) =In (ex+a)恒成立，(ex+a) (ex+a) =1,1+ae x+aex+a2=1.即 a (ex+e-x+a) =0恒成立，故a=0(2)由(l )知 g (x)=入 f ( x) +sinx , g' (x)=入 +cosx, x - 1, 1,，要使g (x) = X f ( x)

42、 +sinx是区间-1, 1上的减函数，则有 g' (x) w 0恒成立,，入 W 1,又: g (x) max=g ( 1)=一入sin1 ,要使g (x) < t2+入t+1在x - 1, 1上恒成立，只需-入-sin1 wt?+入t+1在入w - 1时恒成立即可. (t+1 )入+t 2+sin1+1 >0 (其中 入w - 1)恒成立即可.令h (入)=(t+1 )入 +t2+sin1+1 >0 (入 w 1),则f t+L<0而 t - t+sin1 > 0 恒成立，t w - 1 (3)由(1)知方程令£16)二 £式好二一

43、一2封场 f1 - llllt山)二当 xC (0, e时，f 1 (x) >0, .-.f1 (x)在(0, e上为增函数；当 xC e , +8)时，f 1 (x) w 0,. f 1 (x)在e , +8)上为减函数;当 x=e 时， LJI klcL m而 f2CK)= k2_ 2ex+n»=(i - e) e2当xC (0, e时f 2 (x)是减函数，当 x e , +°°)时，f 2 (x)是增函数,当 x=e 时，f/，)皿=故当in-即m5fl时，方程无实根;ee当卬一七2 J,即诟2a时，方程有一个根； ee,当卬一e2<,即 Me'J时，方程有两个根. ee选彳4-1 :几何证明选讲22.如图，点 A, B, D, E在OO±, ED AB的延长线交于点 C, AD BE交于点F, AE=EB=BC(1)证明：DE = BD；(2)若 DE=2 AD=4 求 DF的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】（1）证明/ BAD=Z EAD即可证明 而至5；（2）证明 EADFEQ可得畔缁;即可求DF的长.Dr E