电磁场理论课件：第八章 均匀波导中的导行电磁波

1、2021-11-16Copy right By Dr.Fang1第八章第八章 均匀波导中的导行均匀波导中的导行电磁波电磁波2021-11-16Copy right By Dr.Fang2接收机接收天线馈线导行波导行波导行波导行波发射机发射天线馈线导行波导行波发射机产生高频电流（导行波）经发射机产生高频电流（导行波）经馈线送到发射天线，发射天线将其馈线送到发射天线，发射天线将其辐射出去。辐射出去。电磁波在接收天电磁波在接收天线上感应高频电线上感应高频电流（导行波）流（导行波） ，高频电流经馈线高频电流经馈线进入接收机。进入接收机。整个过程经历了电磁波的整个过程经历了电磁波的传传输输、发射发射、传

2、播传播、接收接收。2021-11-16Copy right By Dr.Fang3发射机发射机导导行行电电磁磁波波发射天线发射天线接收天线接收天线传播传播入射、反射、透射、绕射入射、反射、透射、绕射接收机接收机导导行行电电磁磁波波导波系统导波系统2021-11-16Copy right By Dr.Fang48-1 8-1 导波系统及其电磁场方程导波系统及其电磁场方程 导波系统（或称为传输线）：导波系统（或称为传输线）：传导电磁波的系统。 双导线双导线矩形波导矩形波导微微 带带介质波导介质波导光光 纤纤同轴线同轴线圆波导圆波导一、导波系统及其种类一、导波系统及其种类 均匀导波系统：均匀导波系统

3、：沿传播方向导波装置横截面不发生变化。 传输线类型：传输线类型：TEM波传输线，波导传输线，表面波传输线。带状线带状线2021-11-16Copy right By Dr.Fang5 名名 称称 传输类型传输类型 屏蔽效果屏蔽效果 使用波段使用波段 双导线双导线 TEM波波 差差 3m 同轴线同轴线 TEM波波 好好 10cm 带状线带状线 TEM波波 差差厘米波厘米波 微微 带带 准准TEM波波 差差厘米波厘米波矩形波导矩形波导 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 圆波导圆波导 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 光光 纤纤 表面波表面波TE或或TM波波 差差

4、光波光波常用导波系统主要特性比较常用导波系统主要特性比较2021-11-16Copy right By Dr.Fang6二、群二、群 速速 相速：相速：单频率平面波等相位面沿某方向的传播速度( )。 pv无耗媒质中各频率平面波相速相等；群速：群速：携带信息的电磁波由频率相近的多频波组成，信号包络传播的速度是群速，代表信息（电磁波能量）的运动速度。 相速代表相位变化的速度，不表示信息或能量的传播速度，它可以大于光速。相速.htm 假设最简单的情况，两个频率波组成的信号。ztAztAE)()(coscos00111ztAztAE)()(coscos00222有耗媒质中平面波相速与频率有关(色散)，

5、信号传输后会畸变。2021-11-16Copy right By Dr.Fang7 这是一个调幅波,第1个因子为包络；第2个因子为载波。载波等相载波等相位面运动速度位面运动速度是相速，包络运动速度包络运动速度是群速。 调幅波相速：调幅波群速： 常数)(ztztAztAEEE)()(cos)()(cos0000212211ztzt1212ttzzvg)()(cos)()(cos0000ztztAztztA0lim)cos()cos(200ztztAdddd100 , 其中00pv2021-11-16Copy right By Dr.Fang8相速与群速关系dd1pppvvvdd1群速和相速有何关

6、系？pv pvdd dd12pppvvvdd11pppvvvddgv无无 色色 散：散： ，如无耗媒质；，如无耗媒质； pgpvvv 0dd反常色散：反常色散： ，如有耗媒质；，如有耗媒质； pgpvvv 0dd正常色散：正常色散： ，如波导传输线。，如波导传输线。 pgpvvv 0dd2021-11-16Copy right By Dr.Fang9三、导波系统的电磁场方程三、导波系统的电磁场方程 无限大空间向+z方向传播均匀平面波 kztyAetzyxEje),(理想介质中： 导电媒质中： zztyztyAeAetzyxEjjjeeeee),(可以统一写为： ztzyxEtzyxEje ),

7、(),( 1导波系统中电磁波的形式导波系统中电磁波的形式 导波系统沿 z 方向是均匀且无限延伸，则场与z无关，即ztztztyxEyxEzyxEj0jje ),(e ),(e ),(ztztztyxHyxHzyxHj0jje ),(e ),(e ),( = j为导波系统传播常数，为衰减常数， 为相位常数。 和 表示t=0时、z=0处导波系统的场量。 ),(0yxE),(0yxH2021-11-16Copy right By Dr.Fang102导波系统中的波动方程导波系统中的波动方程 导波系统为无源区域，并假设其内部填充理想介质，则 , 022EkE022HkH0 e ),( e ),( e

8、),( e ),(j02j022j022j022ztztztztyxEkyxEzyxEyyxEx0 ),( ),( ),(022202202yxEkyyxExyxE代入 ，有 ztyxEtzyxEj0e ),(),(8-1) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang110),(),(),(022202202 yxEkyyxExyxE忽略导波系统的衰减， = 0， = j，则有： 0),(),(),(022202202yxEkyyxExyxEkc称为特征值，是待定常数，002202202EkyExEc002202202HkyHxHc为简便，用 、 代表 、 ),(0yxE)

9、,(0yxH0E0H(8-3) 2222kkkc令(8-2) )j(0j0e ),(e ),(),(ztztyxEyxEtzyxE)j(000j0e),(),(),(e ),(),(ztzzyyxxztyxEeyxEeyxEeyxEtzyxE)j(000eztzzyyxxEeEeEe2021-11-16Copy right By Dr.Fang12(8-4) , ),(00yxEEyy, ),(00yxEExx, ),(00yxHHyy),(00yxEEzz, ),(00yxHHxx),(00yxHHzz其中0 , 00 , 00 , 00220220202202202022022020220

10、22020220220202202202zczzzczzycyyycyyxcxxxcxxHkyHxHEkyExEHkyHxHEkyExEHkyHxHEkyExE，002202202EkyExEc002202202HkyHxHc2021-11-16Copy right By Dr.Fang13整理可得: xyzHEyEjj yzxHxEEjjzxyHyExEj)j()j(e ),(je ),( ztztyxHyxEyExEexEzEezEyEeExyzzxyyzxBEj)( j0e ),(ztxxyxEE)( j0e ),( ,ztyyyxEE)( j0e ),( ,ztzzyxEE)( j0e

11、 ),( ,ztzzyxHH)( j0e ),(ztxxyxHH)( j0e ),( ,ztyyyxHH(8-5) yyxxEzEEzEjj，2021-11-16Copy right By Dr.Fang14yHxHexHzHezHyHeHxyzzxyyzx整理可得 xyzEHyHjjyzxExHHjjzxyEyHxHj)j()j(e ),(je ),( ztztyxEyxHDHj(8-6) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang15 zxyzxyyzxyzxxyzxyzEyHxHHyExEExHHHxEEEHyHHEyEj j jj jjjj jj ，代入例如：,e

12、),()( j0ztzzyxEE)( j0e ),(ztzzyxHH,e),()( j0ztxxyxEE)( j0e),(ztxxyxHH,e),()( j0ztyyyxEE)( j0e),(ztyyyxHH)( j0)( j0)( j0e ),(je ),(je),(ztxztyztzyxHyxEyyxE),(j),(j),(000yxHyxEyyxExyz约去ej(tz)：(8-7) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang16000000000000000j j jj jjjj zxyzxyyzxyzxxyzEyHxHHyExEExHHHxEEEHyH， 同理可得：

13、000jj xyzHEyE),(j),(j),(000yxHyxEyyxExyz其中 ),( ),( ),(),( ),( ),(0000000000yxHHyxHHyxHHyxEEyxEEyxEEzzyyxxzzyyxx(8-8) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang17 联立式联立式(8-8)(8-8)中的各式，可求得中的各式，可求得 求出电场、磁场的纵向分量求出电场、磁场的纵向分量Ez和和Hz，即可求得其它横向分量。，即可求得其它横向分量。 结论结论(8-3) , 002202202zczzEkyEzE002202202zczzHkyHzH如何求出纵向分量如何求

14、出纵向分量Ez和和Hz？根据（根据（8-38-3）式求解。）式求解。 (8-9) xHyEkEyHxEkExEyHkHyExHkHzzcyzzcxzzcyzzcx0020002000200020j jj j，2021-11-16Copy right By Dr.Fang18 LHStDSJlHddd结论：结论：传播方向存在电场Ez分量。因此空心波导不能传TEM波。 空心波导中能否传输TEM波呢？ 假设它够传TEM波。在波导任意横截面上作闭合环路L，沿L对磁场进行环路积分。TEM波只有横向场分量Ex，Ey和Hx，Hy。横截面上磁场线是闭合曲线，因此沿任意闭合回路L磁场强度的环路积分H不为零，为传

15、导电流与位移电流之和，即 等式右边第1项代表传导电流，波导管为空心金属管，无内导体不可能有传导电流；右边第2项位移电流不为零说明沿传播方向存在纵向分量电场。azyxb ,导体导体8-2 8-2 矩形波导中的电磁场矩形波导中的电磁场2021-11-16Copy right By Dr.Fang19 一、矩形波导中电磁场的求解 1分离变量法求解波动方程分离变量法求解波动方程 思路：先求电场、磁场纵向分量Ez和Hz，然后求其它横向分量。 由式(8-3)：仅是(x,y)的二元函数，假设它们可以写成 00 ,zzHEXYyYxXyxHXYyYxXyxEzz)()(),( )()(),(00或(8-10)

16、 波动方程改写为 0dddd22222XYkyYXxXYc22222dd1dd1 ckyYYxXX(8-11) , 002202202zczzEkyEzE002202202zczzHkyHzH2021-11-16Copy right By Dr.Fang20 二元二阶微分方程化成两个相互独立的一元二阶微分方程 特征方程：特征方程： 22xkr22ykrxkrj ykrj 22222dd1dd1ckyYYxXX等式左边第1项与第2项之间彼此独立，等式右边为常数h2，说明式中等号左边的两项分别等于两个互相独立的常数，即： (8-12) 0dd , 0dd222222YkyYXkxXyx(8-11)

17、 222cyxkkk222yxckkk即2021-11-16Copy right By Dr.Fang21 求得通解：求得通解： )sin()cos(21xkCxkCXxx)sin()cos(21ykDykDYyy)sin()cos( )sin()cos(),(21210ykDykDxkCxkCyxEyyxxz)sin()cos( )sin()cos(),(21210ykDykDxkCxkCyxHyyxxz 把上式代入式把上式代入式(8-10): (8-10): , )()(),(0XYyYxXyxEzXYyYxXyxHz)()(),(0 0dd , 0dd222222YkyYXkxXyxxk

18、rjykrj2021-11-16Copy right By Dr.Fang22 TM (E)波:磁场Hz = 0, 电场Ez 0)sin()sin(),(220ykDxkCyxEyxz)sin()cos( )sin()cos(),(21210ykDykDxkCxkCyxEyyxxz根据电场切向分量连续，可得azyxb ,导导体体0)sin()cos(), 0(2110ykDykDCyEyyz)sin()cos()sin(),(2120ykDykDxkCyxEyyxz0 1C0),(), 0(00yaEyEzz0),()0 ,(00bxExEzz0)sin()0 ,(120DxkCxExz0 1

19、D2矩形波导中的矩形波导中的TM波波(E波波)2021-11-16Copy right By Dr.Fang23 )sin()sin(),(220ykDxkCyxEyxz0)sin()sin(),(220ykDakCyaEyxzazyxb ,导体导体0),(), 0(00yaEyEzz0),()0 ,( ,00bxExEzz0)sin( akxamkx Bmn 是与激励源有关的常数。 (8-13) 0)sin()sin(),(220bkDxkCbxEyxz0)sin( bky, 2 , 1 , nbnky, 2 , 1 ,mybnxamDCyxEzsinsin),(220ybnxamBmnsi

20、nsin2021-11-16Copy right By Dr.Fang24 有了Ez和Hz就可以求其他分量，利用式(8-9) ： xHyEhEyHxEhExEyHh HyExHhHzzyzzxzzyzzx0020002000200020j ,jj,jybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnymnxmnymnxsincosj,cossinjcossinj,sincosj20202020ybnxamBEmnzsinsin0 可得： 代入 , 00zH2021-11-16Copy right By Dr.Fang25 选择一组m和n，即得到TM波一

21、组解，特征值h和相位常数即确定了，因此把“m”和“n”作为h和下标。 22khybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnymnxmnymnxsincosj,cossinjcossinj,sincosj20202020222yxkkh, 2 , 1 , 2 , 1nm；22bnamybnxamBEmnzsinsin0，00zH(8-12) (8-2) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang26 ybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnmnymnmnxmnmnmnymnmn

22、mnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020ybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnymnxmnymnxsincosj,cossinjcossinj,sincosj202020202021-11-16Copy right By Dr.Fang27 22kh 222222bnamkhkmnmn若矩形波导中TM波无衰减沿z传播，相位常数mn必须是实数。 222bnammn222 bnamhmn又因为：)( j0)( j0e ),(e ),(ztzztzzmnyxEyxEEm和n的选取必须使 ；0222 bnam讨

23、论：讨论：(8-14) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang28 存在着许多组m和n使相位常数 mn是实数，因此也就存在着许多种TM波(E波)，记为TMmn模或Emn模。ybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnmnymnmnxmnmnmnymnmnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020ybnxamBEmnzsinsin0(8-15) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang29 可以求得TMmn模瞬时值形式的场表达式，再给定时刻，即可确定电磁场的分布。TM

24、mn模下标“m”是波导内壁宽边上场量最大值出现的次数(或半驻波数)；第2个下标“n”是波导内壁窄边上场量最大值出现的次数(或半驻波数)。 ybnxamBEmnzsinsin0azyxb ,导导体体ybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnmnymnmnxmnmnmnymnmnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj202020202021-11-16Copy right By Dr.Fang30 矩形波导TMmn模的电磁场分布 2021-11-16Copy right By Dr.Fang31 3矩形波导中的矩形波导中的T

25、E波波(H波波) 电场切向分量边界条件：(8-9)式：0),(),(, 0, 0axybyxzyxEzyxETE波(H波)的电场Ez = 0，磁场Hz 0)sin()cos()sin()cos(), 0(21210ykDykDxkCxkCyHyyxxzazyxb ,导体导体, 0),( , 00, 0byzbyxyHzyxEyHxEhEzzx0020jxHyEhEzzy0020j0),(, 00, 0axzaxyxHzyxE2021-11-16Copy right By Dr.Fang32 0 0, 00 , 00axzbyzxHyH， 由此可求得： ybnxamAyxHmnzcoscos),

26、(0)sin()cos( )sin()cos(),(21210ykDykDxkCxkCyxHyyxxz因Ez=0, m和n只能一个为零，否则Hz 为常数，其分量都为零。xHyEhEyHxEhExEyHh HyExHhHzzyzzxzzyzzx0020002000200020j ,jj,j(8-9)式：(8-16) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang33(8-17) ybnxamAbnhHybnxamAamhHybnxamAamhEybnxamAbnhEmnmnmnymnmnmnxmnmnymnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj202020

27、202021-11-16Copy right By Dr.Fang34 hmn和mn的计算与TM波完全相同，Amn = C2D2 与激励源有关。 ybnxamAbnhHybnxamAamhHybnxamAamhEybnxamAbnhEmnmnmnymnmnmnxmnmnymnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020 ybnxamAyxHmnzcoscos),(02021-11-16Copy right By Dr.Fang35TEmn模下标“m”、“n”与TMmn模下标“m”、“n”含义相同。 存在着许多种TE波(H波)，记为TEmn模或Hmn模。 由TE

28、mn模场强瞬时值形式可确定电磁场的分布。 讨论：讨论： 222bnammn222 bnamhmn2021-11-16Copy right By Dr.Fang36 TEmn模的电磁场分布 2021-11-16Copy right By Dr.Fang37 二、矩形波导中两种波型的电气参数二、矩形波导中两种波型的电气参数 1截止频率截止频率( (截止波长截止波长) )和相位常数和相位常数 ztjmneyxEtzyxE),(),(22mnmnhk mn为实数TMmn和TEmn模在波导中以行波方式无衰减传输；截止频率：使截止频率：使k = hmn的TMmn或TEmn模电磁波频率，记作 fc(mn)。

29、 2222mnC mnhmanb式(8-14)： mn = j TMmn模或TEmn模处于衰减状态，沿波导衰减；mn= 0TMmn和TEmn模处于临界状态，不能沿波导传输。 222bnam2021-11-16Copy right By Dr.Fang38 22)(c21bnamfmn2222)(bnamhmnmnc2222)(24bnamhfmnmnc截止波长：截止波长：mnhk24422222)(bnamhfmnmnc使k = hmn无限大介质中TEM波的波长，记作 c(mn) mnmnCh2mnmnCh2(8-18) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang39 mn

30、mnch2)(矩形波导TMmn或TEmn模截止频率 fc(mn)与填充介质、波导几何尺寸、m和n有关；截止波长c(mn)仅与波导几何尺寸、m和n有关。 矩形波导中，当f fc(mn)或 0, n 0)相同时，两种模的 c(mn)、mn、g(mn)、vp(mn)和vg(mn)也相同，两种模式将会在矩形波导中同时出现。这种现象称作 E-H简并。简并。vvvp(mn)p(mn)p(mn)dd121c(mn)pv矩形波导中不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的群速。TMmn或TEmn模群速vg(mn) 是电磁波能量(信号)运动的速度，不大于相同介质中TEM波相速vp，也不会大于自由空间光速c。 (

31、8-23) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang43 3.TMmn和和TEmn模的波阻抗模的波阻抗ybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnmnymnmnxmnmnmnymnmnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020TMmn模模:波阻抗定义：波阻抗定义：00 xyHEmn00yxHEmnZTM2021-11-16Copy right By Dr.Fang44波阻抗定义：波阻抗定义：00 xyHEmn00yxHEmnZTE 3.TMmn和和TEmn模的波阻抗（续）模的波阻抗（续）y

32、bnxamAbnhHybnxamAamhHybnxamAamhEybnxamAbnhEmnmnmnymnmnmnxmnmnymnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020TEmn模模:2021-11-16Copy right By Dr.Fang45 ZmnmnTMmnZmnTE对TMmn模，可通过波阻抗由电场求磁场，但反之不成立；EeZHzmn1TM)He (ZEzmn ,TETMmn和TEmn模的m，n相同时，两种模式的截止波长 c(mn)和其他各对应参数彼此相同，但波阻抗是不相同的。 2)(1c(mn)k2)()(1mnck2)(1c(mn) 2)()

33、(1mnc对TEmn模，可通过波阻抗由磁场求电场，反之不成立。 说明：说明：(8-24) (8-25) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang46 例例 矩形波导横截面尺寸为ab =2.2861.016(cm2)，波导填充空气(0, 0)，波导传输信号的频率为f = 31010Hz。求：E11模和H11模的截止频率fc(11)，截止波长c(11)，波导波长 g(11)，两种模式的波阻抗 和 。11EZ11HZ解：解： E11模和H11模的截止频率相同，即 (Hz) 1062. 1016. 11286. 21103211121121102122102122212200)1

34、1(bacbafc22)(c21bnamfmn2021-11-16Copy right By Dr.Fang47 (cm) 86. 1077. 12016. 11286. 2121122222(11)bac)cm( 1fc2)(c)()(1mnmng22)()()(2mbnaabmnc(cm) 19.1841.0186.1111122)11(11)cgE11模和H11模的截止波长、波导波长相同，即 2021-11-16Copy right By Dr.Fang48 2)11(c0E)(111Z2ETM)(1c(mn) ZZmnmn2)(HTE)(1mncZZmnmnE11模和H11模的波阻抗不

35、同，为 2)86. 11 (1120)( 3 .3176841. 0120)(9 .4476841. 0120)(12)11(c0H11Z2021-11-16Copy right By Dr.Fang49 22)(2bnamvfpmnc22)()()(2 ,mbnaabmnc2)(c2)(c)(1)(1ffkkmnmnmn fc(m, n) f c(m-1,n) ( 或 f c(m,n-1) f c(m-1, n-1) c(m, n) c(m-1,n) ( 或 c(m,n-1)c(m-1, n-1) c(m-1, n-1)波导中存在TEm-1, n-1、TM m-1, n-1、 b。 2021

36、-11-16Copy right By Dr.Fang51为了防止信息失真，要求波导内只存在单一的工作模式。 当a 2b(0+)： babaa)02(c)30(c)01(c)20(c)10(c , 32 , 2 , , 222)31(c22)21(c22)11(c)3(2 , )2(2 , 2baabbaabbaab时当，baaa2 2 单模传输条件：单模传输条件： )31(c)21(c)11(c)02(c)30(c)01(c)20(c)10(c,时当，baab2 22(8-26) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang52波导中填充介质，则：波导中填充介质，则： rr

37、0单模传输条件改为单模传输条件改为 时当，时当，baabbaaa2 222 2 rr0rrrr0rr填充介质相当于波导矩形横截面长度和宽度都扩大了填充介质相当于波导矩形横截面长度和宽度都扩大了 倍倍 rr对于非铁磁媒质对于非铁磁媒质 rr baba时当，baaa2 2 时当，baab2 22rr0 单模传输条件：单模传输条件： (8-27) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang53 通常矩形波导横截面宽边尺寸a是窄边尺寸b的2倍略多一点。 模式分布图模式分布图 2021-11-16Copy right By Dr.Fang54 a b = 2.3 cm 1.0 cm矩

38、形波导的截止波长分布图矩形波导的截止波长分布图 2021-11-16Copy right By Dr.Fang55 例例 矩形波导横截面尺寸矩形波导横截面尺寸a b = 7 cm 3 cm，填充，填充 r = 1， r = 4介质。问：介质。问：f = 3.75 109 Hz的信号在波导中有几种模式？的信号在波导中有几种模式？ 解：解：(cm) 81075. 31039100fc 介质中的介质中的TEM波波长为波波长为 (cm) 4418rr0频率为频率为f = 3.75 109 Hz的信号在真空中的波长为的信号在真空中的波长为 下面依次求出若干个模式的截止波长，再逐个判断。 (cm) 62

39、(cm) 7 (cm) 142)01(c )20(c )10(c ，baa22)()()(2mbnaabmnc2021-11-16Copy right By Dr.Fang56 (cm) 4.6732 (cm) 5.512)30(c 22)11(c ，abaab (cm) 68. 3)3(2 (cm) 56. 4)2(222)31(c 22)21(c ，baabbaab (cm) 3 (cm) 5 . 32)02(c )40(c ，ba (cm) 76. 2)2()2(2 (cm) 93. 2)2(222)22(c 22)12(c baabbaab，TE10，TE20，TE01，TE11，TM

40、11，TE30，TE21和TM21波。如果这个矩形波导不填充介质，就只能传输TE10模。 填充r = 4的非铁磁理想介质，相当于把波导横截面的长度和宽度都扩大2倍，由单模传输状态转变为多模传输状态。 填充r = 4的非铁磁理想介质后存在： 2021-11-16Copy right By Dr.Fang57例例 矩形波导中填充 r = 1，r = 4介质。f = 3.75 109 Hz的信号以H10模单模传输，求该矩形波导横截面尺寸a b 。解：解：(cm) 8)1075. 3()103(9100fc(cm) 40r时当，baaa2 2 由单模传输条件式： 2 a可得： )cm(42(cm) a

41、因此可以选择： a b = 2.850 cm 1.262 cm 2021-11-16Copy right By Dr.Fang58例例 矩形波导a b = 73cm2。问：(1) 波导内填充空气时工作波长为 0 = 28 cm的信号能否以TE10模传输？(2)实现TE10模单模传输，所填充介质的相对磁导率 r和相对介电常数 r应满足怎样的关系式？ 解：解：(1)(1)cm(28(cm) 1420)10(ca不能以TE10模传输(2) 由式单模传输条件可知，填充介质的 r和 r 应满足： rr0rr 2 aa解之，可得 4 rr 16 若所选择的介质为非铁磁介质，则有4 r 16 矩形波导中填充

42、介质后，可由截止状态变为单模传输状态。矩形波导中填充介质后，可由截止状态变为单模传输状态。若若 r 和和 r 较大，还可变为多模传输状态。较大，还可变为多模传输状态。 rrrr14287 2021-11-16Copy right By Dr.Fang59 ybnxamAbnhHybnxamAamhHybnxamAamhEybnxamAbnhEmnmnmnymnmnmnxmnmnymnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020 二、矩形波导TE10模(H10模)的场结构 1电磁场结构电磁场结构 TEmn（或Hmn）模的场表达式： ybnxamAHmnzcosc

43、os0)( j1010ecosztzxaAH)( j101010esinjztxxaAaH)( j1010esinjztyxaAaE)( j10ezt加入指数因子 后TE10模场表达式：2021-11-16Copy right By Dr.Fang60 )( j1010ecosztzxaAH)( j101010esinjztxxaAaH)( j1010esinjztyxaAaE )cos(cosRe,1010ztxaAHtzyxHzz ）（ztxaAaHtzyxHxx101010sinsinRe, ）（ztxaAaEtzyxEyy1010sinsinRe,）（ 2j101010esinztxa

44、Aa 2j1010esinztxaAa场量的瞬时值形式：2021-11-16Copy right By Dr.Fang61 讨论：讨论： 电磁场沿y方向没有变化； Ey、Hx在x = 0和x = a两个波导壁为零，在宽壁中心线上最大；Hz在两个波导壁最大，在宽壁中心线上为零。磁场线都是平行于宽面的闭合曲线；磁场曲线族沿z方向长度为半波导波长；相邻曲线族环绕方向相反。 zzxxyyHeHeH， EeETE10模的场:)cos(cos,1010ztxaAtzyxHz）（ztxaAatzyxHx101010sinsin, ）（ztxaAatzyxEy1010sinsin, ）（10)10(g2azy

45、xb ,导体导体2021-11-16Copy right By Dr.Fang62TE10模场结构模场结构1 12021-11-16Copy right By Dr.Fang63yEyyE2021-11-16Copy right By Dr.Fang64zH2021-11-16Copy right By Dr.Fang65 2 2电流与电荷的分布电流与电荷的分布 理想导体表面上面电流密度矢量为： HnJS 波导y = 0平面： yen ； y = b平面： yenTE10 模在上下两宽壁的磁场： zzxxHeHe,zx,Hx,b,zH)0()(宽边内壁上下两侧电流密度矢量： ) (), 0 ,

46、(zzxxySHeHeezxJxzzxHeHe)cos(cos ,1010ztxaAHzztxaAaHx101010sinsinazyxb ,导体导体) (),(zzxxySHeHeezbxJ), 0 ,(zxJHeHeSzxxz2021-11-16Copy right By Dr.Fang66 ),(), 0 ,(zbxJzxJSS)cos(cos ,1010ztxaAHz ztxaAaHx101010sinsin 矩形波导x = 0平面： xen ； x = a平面： xen0), 0(xxSHezyJ窄边内壁左右两侧电流密度矢量: axxSHezyaJ),(xzzxHeHeztxaAae

47、ztxaAezx1010101010sinsin)cos(cos),(), 0(zyaJzyJSS0 xzzxHeeaxzzxHee)cos(1010ztAey)cos(1010ztAey2021-11-16Copy right By Dr.Fang672021-11-16Copy right By Dr.Fang682021-11-16Copy right By Dr.Fang69 理想导体表面面电荷为： EnDnSx = 0平面和 x = a平面上：S = 0； y = 0平面： yen ； y = b平面： yenH10电场： )( j1010esinjztyyyxaAaeEeEyyys

48、Eeezx), 0 ,(21DDnS边界条件： azyxb ,导体导体yyysEeezbx),(), 0 ,(),(zxzbxss)( j1010esinjztyxaAaE )( j1010esinjztyxaAaE 2021-11-16Copy right By Dr.Fang70 四、TE10（H10）模的传输功率（行波状态下单模传输的功率） )j(1010)j(101010esinj ,ecosztxztzxaAaHxaAH22)10(10211akck2， 令 aEaEAAaE2 0010100zyyyxaEeEeE10j0esinjz)t(yxaAaE10j10esinjzzzxzz

49、xxxaaEexaaEeHeHeH1010j0j20ecos2esin21j2021-11-16Copy right By Dr.Fang71 zzzxzzxxxaaEexaaEeHeHeH1010j0j20ecos2esin21j)(212121zyxxyzzzxxyycHEeHEeHeHeEeHESzyyyxaEeEeE10j0esinjxaaEe)H(EeHEeHEeSSzxyzzyxxyzCav2220sin212Re21Re21Re2021-11-16Copy right By Dr.Fang72 bazzbaavavyxexaaEeSSP00222000ddsin212da dxx

50、aaEb02220sin212a dxxaaEb022202cos121212220214aEab讨论：讨论：矩形波导的平均功率与频率、几何尺寸和填充介质有关。在波导任意横截面上通过的平均功率为：在波导任意横截面上通过的平均功率为： (8-28) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang73 8-4 8-4 圆形波导中的电磁波圆形波导中的电磁波 一、圆形波导内的电磁场方程一、圆形波导内的电磁场方程 忽略衰减： = j。)( j0)( j0e ),(),(e ),(),(ztztHtzHHEtzEE衰减常数: = j ),(),(),(),(),(),(),(),(0000

51、0000zzHkHeHeHEkEeEeE对于均匀无限延伸的圆形波导，其电磁场矢量可写成 ： 和 表示t=0时、z=0处导波系统的场量。 ),(0E),(0H圆导波内为无源区域，假设填充理想介质，则有 , 022EkE022HkH2021-11-16Copy right By Dr.Fang74 222222 1 1z33123223121132132121uhhhuuhhhuuhhhuhhh1 , 1,zhhh正交曲线坐标系下的拉普拉斯算符为： 柱坐标系的拉梅系数为： 代入)( j0)( j0ee ),(ztztEEE022EkE将0 e ee 1 e 1)j(02)j(022)j(0222)

52、j(0ztztztztEkEzEE0 1 102220220EkEE2021-11-16Copy right By Dr.Fang75 0 1 102220220EkEE0 1 102220222020EkEEE同理可得0 1 102220222020zzzzHkHHH0 1 102220222020zzzzEkEEEh称为特征值，是待定的常数22kh令01101102202202020220220202zzzzzzzzHhHHHEhEEE(8-29) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang76 圆波导内无传导电流，由麦克斯伟方程得： HEjEHj， 根据圆柱坐标系圆柱

53、坐标系的旋度公式可得： zzzE)E(kEzEe zEEeEEEzkeeE1111同理可写出磁场旋度的行列式，由此可得六个标量方程。 2021-11-16Copy right By Dr.Fang77 j1)(1 j1)(1 jj jj jj1 jj1 zzzzzzEHHHEEEHHHEEEHHHEE，(8-30) 用纵向分量Ez和Hz来表示其他坐标分量，即 00200020002000201j 1j1j 1jzzzzzzzzHEhEHEhEEHhHEHhH，(8-31) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang78 二、圆波导的分离变量法二、圆波导的分离变量法 011

54、, 01102202202020220220202zzzzzzzzHhHHHEhEEE),()(),(0REz设：)()(),(0RHz22222221hRRRR= m20222222RhRRR由（829）式，有：和 是各自独立的变量,因此等式等于一个常数，令其为m2。222222mhRRRR2221m，2021-11-16Copy right By Dr.Fang79 0dd222m(8-32) 0dd1dd22222RmhRR(8-33) 222222mhRRRR2221m，两个方程解分别为：mDmcos hJCRmmm其中为第1类m阶贝塞尔函数。 xJm mBmAmmmsincos),(

55、)(),(0REz)()(),(0RHz)cos()(),(0mhJDCEmmmz(8-34) )cos()(),(0mhJDCHmmmz(8-35) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang80 二、贝赛尔函数简介二、贝赛尔函数简介 贝赛尔函数分为第1类贝赛尔函数和第2类贝赛尔函数。第1类贝赛尔函数是一个收敛的无穷幂级数。02)(2) 1()(llmlm!lml!xxJm 阶第1类贝尔函数(以下简称 m 阶贝赛尔函数)为式中自变量 x 0。贝赛尔函数的阶数可以取 m = 0,1,2,3,。m = 0 时，称为 0 阶贝赛尔函数0220) !(2) 1()(llllxxJ

56、使Jm(x) = 0的x称为m阶贝赛尔函数Jm(x) 的根，记作pmn，n=1，2，是pmn由小到大排列的序号。(8-36) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang81 J0(x)，J1(x)，J2(x) 和 J3(x) 的变化规律 n m12340 2.405 5.520 8.654 11.7921 3.832 7.016 10.173 13.3242 5.136 7.217 11.620 14.7963 6.380 9.761 13.015 16.223Jm(x)的前4个根pmn 2021-11-16Copy right By Dr.Fang82m阶贝赛尔函数的导数

57、叫作m阶贝赛尔导函数 )(dd)(xJxxJmm 使J m(x) = 0的自变量x值称作m阶贝赛尔导函数J m(x)的根，记作pmn，n = 1,2,3,，是根pmn由小到大排列的序号。)()()(1xJxJxmxJmmm可以证明： (8-37) 2021-11-16Copy right By Dr.Fang83 n m123403.832 7.01610.173 13.32411.841 5.331 7.336 11.70623.054 6.706 9.970 13.17034.201 8.01511.344 14.586贝赛尔导函数J m(x)的前4个根pmn 2021-11-16Copy

58、 right By Dr.Fang84 n m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586J m(x)的前4个根pmn nnpp01 nm123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223Jm(x)的前4个根pmn 比较的结果：结论：结论：一阶贝塞尔函数的根与零阶贝塞尔导函数的根相同。2021-11-16Copy

59、right By Dr.Fang85 三、圆形波导中电磁场求解及有关参数三、圆形波导中电磁场求解及有关参数 1圆形波导中的圆形波导中的TM波波(E波波) )cos()(),(0mhJDCEmmmz由边界条件求TMmn模(Emn模)的特征值 aphmnmnEa为圆波导半径，将式(8-39)带入式(8-38)，Ez为 ，由(8-34)式)cos(),(0mapJBEmnmmnz0)cos()(),(0mhaJBaEmmnz)( haJm0),(0zH)cos()(mhJBmmnxyza ,0)(mnmpJ(8-38) (8-39) (8-40) 2021-11-16Copy right By Dr

60、.Fang8600200020002000201j 1j1j 1jzzzzzzzzHEhEHEhEEHhHEHhH，)cos(),(0mapJBEmnmmnz考虑Hz= 0，并将上式代入(8-31)式 ：2021-11-16Copy right By Dr.Fang87 讨论： 如果m = 0，则 90。)(mapJBh)(H)(mapJBmh)(H)(mapJBmh)(E)(mapJBh)(EmnmmnEmnmmnEmnmmnEEmnmmnEEmnmnmnmnmnmncosj,sinj,sinj,cosj,020200 xyza ,在波导壁内表面 = a上， E = 0；H = 0，符合边界