河南省安阳市2020届高三第二次模拟考试理科数学试题(解析版)

1、2020年高考数学二模试卷（理科）、选择题（共12小题）1 已知全集 U = - 1, 0, 1 , 2, 3, 4, 5，集合 A = x CZ|X 1|< 2, B = 2 , 3, 4, 5,则（？UA）n B =（）A 4 , 5B 2, 3, 5C 1 , 3D 3, 42 复数z1的共轭复数为（）2-TA 卩丄可B 勺 2iC iiD 4 2-弓_5 + 53.设 a = log 0.76,b= n0.5, c= 0.30.2,则 a,b, c的大小关系为（）A bv av cB cv a v bC av cv bD cv bv a4.已知向量（-3, 1） ,（X, - 4

2、） 若（）丄，则向量与的夹角为（）a =b =« + ft«n bA “B亓C加5要想得到函数 y . - sinx+cosx的图象，可将函数 y= sinx- . 丁cosx的图象（）A 向左平移个单位长度2B 向右平移f个单位长度2C 向左平移个单位长度3D 向右平移"个单位长度36向一块长度为 4，宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆A m±l, m? 3, l丄 aB m 丄 l, an 3= l, m? aC m II l, m 丄 a, I 丄 3D l 丄 a, m I l, m I 3子的落地点到矩形各边的距离均不

3、小于1的概率为（）A 1B 1C 1D 5467.已知m, I是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，则下列可以推出 a丄B的是（）&执行如图所示的程序框图，若输出的S为154,则输入的门为(A. 18B. 19C. 20D. 219设f (x)和g (x)是定义在a, b上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线定义:d(f，g)= lf (x)-g (X) |max？X0a, b, f (xo)M g (xo)” 是 “ d (f , g)>0”的()A .充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知a ( n, n) , 2sin2 a=

4、1 - C0S2a,贝V tan"一 (2 2A. + 3B .小722F1, F2,其右支上存在11.已知双曲线 C:y2 1 (a>0, b>0)的左、右焦点分别为a2 F一点M，使得晒？ = °，直线l: bx+ay= °若直线叩2 l，则双曲线C的离心率为()12.设抛物线C: y2= 2px ( p > 0)的焦点为F，抛物线C与圆C': x2+( y ) 2 交于_4|= 16A, B两点，且|AB|若过抛物线 C的焦点的弦 MN的长为8,则弦MN的中点到直线x=- 2的距离为()A . 2B . 5C . 7D . 9二、填

5、空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169, 162, 150, 160, 159，则这名歌手得分的方差为.14.A ABC的内角A, B , C的对边分别为 a, b, c,已知A = 60°, a = 2, - 9,C Ats =-则厶ABC的周长为 .15.已知定义在 R上的奇函数f (x)满足f (x - 2)=- f (x)，且当x ( - 1, 0)时，f(x) = 2x 1,则 f (log220)=.+ 516如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面

6、都是边长为2的正方形，高为 4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直则这个几何体的体积为 .三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17. 记数列an的前n项和为Sn,已知Sn= 2an- 2n+1.(n)记bn =( - 1) n? log 2(I)求数列an的通项公式;(an+4 )，数列bn的前n项和为Tn，求Tn .18. 截至2019年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市

7、，全国约 9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心.为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的 2X 2列联表(数据单位：人)男女总计非常幸福1115比较幸福9总计30(I)将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；(n)若感觉“非常幸福”记 2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取 3人, 记3人得分之和为 E,求E的分布列，并根据分布列求EW 4的概率.附：K2n(ad be)2，其中 n= a+b+ c+d(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)P (K2> k0)0.

8、100.050.010 0.001k02.7063.8416.63510.82819. 在如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，平面 MAD丄平面ABCD，平面MAB n平面MCD = MN , MAD是边长为4的等边三角形， CD = 2MN = 2.(I)求证：MN丄MD ；(n)求二面角 M - BD - N的余弦值.20.已知椭圆C:1 (a> 0)的中心为原点O,左焦点为F，离心率为，不与坐3标轴垂直的直线I与椭圆C交于M , N两点.(I)若K ( 2, 1)为线段MN的中点，求直线I的方程.(H)若点P是直线x他2上一点，点Q在椭圆C上，且满足|“0,设直=_叫PF OF

9、 =线PQ与直线OQ的斜率分别为ki, k2,问：kik2是否为定值？若是，请求出 kik2的值;若不是，请说明理由.21. 已知 f (x)= 2e2xr+4ax (a 駅).(I)若a ，求f (x )在x = 0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；e(H)若f (x)在1 , 2上的最大值为3e3,求a的值.(二)选考题：共 10分请考生在第 22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4 :坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为二3：；：时；址(其中t为参数，af0,n)，以坐标原点 0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

10、C的极坐标方程为 p= 2sin 0.(I)若点P (x, y)在直线I上，且 花+ F _ 2,求sin a的值;x y + 4-(n)若a，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值._ 4选修4-5:不等式选讲23. 已知 f (x)= |x - 1| - |ax 2a| (a R).(I)若a= 1,求f (x)的值域；a 的取值范围.(H)若不等式f (x)> x-4在x2 , 9 )上恒成立，求参考答案、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U = - 1, 0, 1 , 2, 3, 4, 5，集合 A = x

11、 CZ|x- 1|W 2, B = 2 , 3, 4, 5,则（？UA）n B =（）A 4 , 5B. 2 , 3, 5C. 1 , 3D 3 , 4【分析】先求出集合A，再求出其补集，进而求得结论.解：因为全集 U = - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,集合 A = xZ|x - 1|< 2 = - 1, 0, 1, 2, 3, B = 2 , 3 , 4 , 5,( ?UA)n B = 4 , 5.故选：A.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2 复数z的共轭复数为（）1亠可B.4C. 153iD.1 25+ 5 5 S_ ；5A.【分析】利用复数的运算法则、共

12、轭复数的定义即可得出.解：复数z：；一门3: i的共轭复数为i.=77=（2-0（2 + i） = _5_5弓畐故选：D.【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.3. 设 a = logo.76, b= n0.5, c= 0.30.2,则 a, b, c 的大小关系为（）A. bv av cB. cv a v bC. av cv bD. cv bv a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.解：.Togov logo.7l= 0,.av 0,/ n0.5> n= 1 ,. b> 1,0v o.30.2v 0.3o= 1, . 0v

13、 cv 1,.a v cv b,故选：C.【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.4. 已知向量（-3, 1）,（ x，- 4）.若（一）丄则向量与J勺夹角为（）【分析】利用向量垂直则数量积为零，可算出坐标，再由夹角公式计算.解:因为(x- 3,- 3),所以-3 (x - 3) +1 X( - 3)= 0,贝U x = 2,由cos1<«，又n，所以,lol W故选：D.【点评】本题主要考查向量数量积的应用、向量夹角公式，根据向量垂直的坐标公式进 行求解是解决本题的关键，属于基础题.5. 要想得到函数 y -*s

14、inx+cosx的图象，可将函数 y= sinx-、.毒cosx的图象（A 向左平移个单位长度习C.向左平移个单位长度3B 向右平移个单位长度2D .向右平移帀个单位长度3【分析】由题意利用两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再利用函数y= Asin（3X+ 0）的图象变换规律，得出结论.解：t函数 y= sinx irJcosx= 2sin （x "）,函数 y= 3sinx+cosx= 2sin （x "）,« -Jr1 36故要想得到函数y=.J3si nx+cosx的图象，可将函数y= si nx 一3cosx的图象向左平移个2 单位，故选：A.【点评】

15、本题主要考查函数y= Asin （ «x+心 的图象变换规律，两角和差的正弦公式,属于基础题.6. 向一块长度为 4，宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（）A.B. 14【分析】求出符合要求的点对应的平面区域,C . 1D .进而求得对应的面积之比，即可求得结论.因为豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1,1的概率为：Tx4 = 6故豆子需在长为2，宽为1的矩形内运动;豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于故选：A.点评】本题主要考查几何概型的应用问题，考查学生的理解能力和运算能力7. 已知m , I是两条不同的直线

16、,a , 3是两个不同的平面，则下列可以推出a丄3的是（）A. m±I, m? 3, I丄 aBm 丄 I, aC 3= I, m? aDI 丄 a, m/ I, m / 3【分析】在A中，a与B相交或平行；在 B中,a与3有可能相交但不垂直；在 C中,a/ 3;在D中，推导出m丄a,由m / 3,得到解：由 m， l 是两条不同的直线，a， 3是两个不同的平面，知：在 A 中，a与3相交或平行，故 A错误;在B中,aCl 3= I, m? a ,则a与3有可能相交但不垂直，故 B错误;在 C 中，m / I,m± a, I丄 3 ,则a/ 3,故C错误;在 D 中，I丄a

17、,又m / 3,贝V a丄3,故D正确.故选： D .【点评】本题考查命题真假的判断 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识 考查运算求解能力 是中档题.&执行如图所示的程序框图，若输出的S为154，则输入的门为（1rI=ln5 = l疋i否f输出5结束B. 19C. 20D. 21【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=1+0+1+2+3+ (i - 1) = 154,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出s= 1+0+1+2+3+ (i - 1)= 154,所以(j-

18、153,解得 i= 18,2=故最后一次对条件进行判断时，i = 18+1 = 19,所以n = 19.故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，考查学生的逻辑推理能力，解题时应模拟程 序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.9设f (x)和g (x)是定义在a, b上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线定义：d (f, g)= |f (x)- g (x) |max 则 “ ？x0a, b, f (X0)M g (X0)” 是 “ d (f, g)> 0”的()C充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】若？Xoa, b, f (X0)M g ( X0),贝y d ( f,

19、g)= |f (x) - g (x) |max> |f (xo) g(Xo)|> 0，若 d(f,g)> 0，则？xoa, b, |f( xo) g (xo)|> 0，即 f(xo)m g(xo).解：若？Xoa, b , f ( X0)M g ( xo),贝 U d ( f, g)= |f ( x) - g ( x) |max > |f ( xo) - g (Xo) |> o,充分性成立.反过来，若 d ( f, g) > 0,则？Xoa, b, |f (xo) - g (xo) |> 0,即卩 f (xo)M g (xo),必要性成立.二？x

20、oa, b, f (xo)z g (xo)” 是 “ d (f, g)> 0” 的充要条件.故选：C.【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查曲线性质等基础知识, 考查推理论证能力，属于基础题.10.已知 a(n, n) , 2sin2 a= 1 - C0S2a,贝U tan?=()2 2 =A.5 + 3B .护3C.丄一少D .222【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得tan的值.解:- ' a ( n, X 冗),u (,®222/ 2sin2 a= 1 - cos2a, 4sin acosa= 2sin2 a,- sin a

21、= 0 (舍去)，或 tan a= 2不口叶-,解得 tan ：2 = 21 再根据呼(2,)，tan 0.2<故 tan _'i 上.2 2-十“，2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.Fi, F2,其右支上存在11. 已知双曲线 C: F y21 (a>0, b>0)的左、右焦点分别为a2 b2一点M，使得 r ? r 0，直线I: bx+ay= 0若直线 MF 2/ l，则双曲线 C的离心MFj MF2 =率为()【分析】由已知得MFMF 2,直线I: bx+ay= 0为双曲线的一条渐近线， 求出直线MF i的方程为，联立两

22、直线方程求得点坐标公式得M ( c|MFJ |MF2| = 2护，得到点 M的纵坐标为N (口'血)，又 Fi ( c, 0),由中再由双曲线的定义结合MF i丄MF 2得，贝U.，即b= 2a.由此可得双曲线解：由C的离心率.0，得MFi丄MF 2，直线I: bx+ay= 0为双曲线的一条渐近线,可知1的方程为y二，且MF i丄|从而|是线段MFi的垂直平分线，且直线 MF i的方程为y,.设MFi与直线I相交于点N (x, y),由即N (济讪)，又Fi ( c, 0)，由中点坐标公式得T解得CcM (X =ab2ub-).由双曲线的性质可得|MFi|-|MF2| = 2a,由 M

23、FMF2，得MF12MF22 = 4c2,联立 可得MF |MF2| = Zb2,.点M的纵坐标为，贝y，即b= 2a.故选：C.【点评】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合的解题思想方法，考查逻辑思 维能力与推理运算能力，是中档题.12. 设抛物线C: y2= 2px ( p > 0)的焦点为F，抛物线C与圆C': x2+( y_和2=弓交于冃-16A, B两点，且|AB|p彳若过抛物线 C的焦点的弦 MN的长为8,则弦MN的中点到 直线x=- 2的距离为()【分析】化简圆C'，得经过原点，设A (0, 0), B (m, n)可得圆经过原点，抛物线C： y2=

24、2px ( p> 0)也,m>0，得到m2+n2= 5,协上+皿2 = ?乳，联立可MN的中点到直得m = 1, n = 2,求得B点坐标，把B点坐标代入y2 = 2px，解得p= 2可得抛物线方程，求出焦点坐标与准线方程，由抛物线定义及梯形中位线定理可得弦线x =- 2的距离.解：由圆可得圆经过原点，抛物线 C: y2= 2px ( p>0)也经过原点,设 A (0, 0), B ( m, n), m>0,由 ABg ，可得 m2+n2= 5,又 + n2联立可得 m = 1, n = 2,即卩B (1, 2),把 B (1, 2)代入 y2= 2px，解得 p= 2

25、.故抛物线方程为y2= 4x,焦点F (1, 0),直线方程为x=- 1.如图，过M、N分别作ME丄l于E, NK丄I于K ,可得 |MF |= |ME|, |NK|= |NF|,即有 |MN |= |MF |+|NF |= |ME |+|KN|.设MN的中点为P。，则P0到准线I的距离为1 1(ME += - M/V| = 4则弦MN的中点到直线 x=- 2的距离为4+1 = 5.故选：B.【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，考查分析问题与 解决问题的能力，是中档题.、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分.13. 在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169

26、, 162, 150, 160, 159，则这名歌手得分的方差为37.2 .【分析】先求出这名歌手得分的平均分，由此能求出这名歌手得分的方差.解：在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169, 162, 150, 160, 159,这名歌手得分的平均分为：1| ( 169+162+150+160+159 )= 160,则这名歌手得分的方差为：1 ( 81+4+100+1 )= 37.2.=畐故答案为：37.2.【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力能力 与运算求解能力，属于基础题.14.A ABC的内角A, B , C的对边分别为a, b, c,已知 A = 6

27、0°,* ? fAC' 1£? = 3则厶ABC的周长为 22 【分析】先根据向量的数量积求得论.bc再结合余弦定理求得b+c= 2 3 ;进而求得结=V3解:因为得 bccos60 °? bc .又因 A = 60°3= 3a = 2;所以 b2+c2- 2bccos60°= 4? ( b+c) 2= 4+3bc= 12? b+c= 2 飞；所以：a+b+c= 2+2故答案为：2+2 v J【点评】本题考查三角形周长，向量的数量积以及余弦定理，注重学生对运算能力的考查.15.已知定义在 R上的奇函数f (x)满足f (x - 2)=-

28、 f (x)，且当x ( - 1, 0)时，f(x)= 2x 1,则 f (log220)=- 1 .【分析】根据题意，由 f (x - 2)=- f (x)分析可得f (x - 4)= - f (x - 2) = f (x), 即函数是周期为 4的周期函数，据此可得f (log220)= f (log2 )，结合函数的奇偶性与解析式求出f ( lOg2 )的值，分析可得答案.解：根据题意，函数 f (x)满足 f (x- 2)=- f (x)，则有 f (x- 4)=- f (x - 2)=f (x)，即函数是周期为4的周期函数,4v log220 V 5，贝U f (log220)= f

29、(log220 - 4) = f (log2 )，4又由f (x)为奇函数且当 x (- 1，0)时，f (x)= 2x，十牙(lOg2 ) =- f (- log 2=-f (叫)=-I严;十！ =7故 f (Iog220 ) =- 1;故答案为：-1.【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于基础题.16如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为 4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为 W.p_.【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉

30、部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V = 2X 2X 2X 4= 32,交叉部分的体积为四棱锥 s- ABCD的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为 几的棱形，设送押由此能求出这个几何体的体积.AC的中点为 H，连结 BH , SH，由题意得 SH为四棱锥 S - ABCD的高，求出S-AUCD = q X *平厅回垃托注X 2 = _”厂解：该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V = 2 X 2 X 2X 4= 32,交叉部分的体积为四棱锥 S- ABCD的体积的2倍，在等腰 ABS

31、中，SB = 2 J , SB边上的高为2,贝U SA ,、 I由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为洱的棱形,设AC的中点为H，连结BH , SH，由题意得SH为四棱锥S- ABCD的高， 在 Rt ABH 中，BH =*久日日丁=,；61= 2,又 AC = SB= 2 二/ BH = SH,a _ AHCD二3 X占平行四边总肖盛曲x 2 = X 42 X 2 = -这个几何体的体积为故答案为：32】.【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于难题.三、解答题：共 70分解答应写出文

32、字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22, 23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题: 共60分.17. 记数列an的前n项和为Sn,已知Sn= 2an- 2n+1.(n)记 bn =(- 1) n? log2(I)求数列an的通项公式;(an+4)，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.='3【分析】(I)运用数列的递推式：n = 1时，a1= S1, n2时，an = Sn - Sn-1,化简整理，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(n)运用对数的运算性质化简可得bn=( - 1) n? n，再对n讨论是奇数和偶数，运用并项求和，

33、计算可得所求和.解：(I)当 n = 1 时，由 Sn= 2an - 2n+1，可得 a1= S1 = 2a1 - 2+1，即有 a1= 1. 当 n2 时，an = Sn - Sn-1 = 2an - 2n+1 - 2an -1 - 2n+2 - 1，即为an= 2an-什2，可得 an+2 = 2 (an-什2)，显然 an-什2丰0，所以数列an+2是首项为3，公比为2的等比数列,则 an+2= 3? 2n_ 1，即有 an= 3? 2n_ 1 - 2, nN* ;=(-1)(n)bn=(- 1)n?Iog2?(an+4)_ 勺=(-1)n?Iog2?(3?2n+2)3_ 33n? Io

34、g22n=(- 1) n? n,当 n 为偶数时， Tn=( 1+2) + ( 3+4) + + ( n+1 + n) Ln ；=2当 n 为奇数时，Tn= Tn- 1+bn_l ( n 1)- n_】(n+1).=2 =2综上可得，Tn12叫胞为爲數12(«+ 1),科为奇数【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，同时考查 对数的运算性质，对数值 n的奇偶性进行分类讨论求解，考查分类讨论思想和化简运算 能力，属于中档题.18. 截至2019年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余

35、座幸福城市，全国约 9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心.为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的 2X 2列联表(数据单位：人)男女总计非常幸福1115比较幸福9总计30(I)将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；(n)若感觉“非常幸福”记 2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取 3人,记3人得分之和为 E,求E的分布列，并根据分布列求 轧4的概率.附：K2n(od be)，其中 n= a+b+c+d(口 + 也)匚 + 匚)(0 + d)P (K2> ko)0.100.050

36、.010 0.001ko2.7063.8416.63510.828【分析】(I)完成2 X 2列联表，求出K2_ 酬 X(4 x m x0.6v 2.706,=15 X 15 x 10 X 20 =从而没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关.(H)由题可知，E的可能取值为3, 4, 5,6,分别求出相应的概率，由此能求出(I)完成2 X 2列联表(数据单位：人)，得：男女总计非常幸福41115比较幸福6915总计10203030 x (4 x 9 11x6)0.6v 2.706,分布列和葺4的概率.15 >c 15 X 1<1 X20解:K2没有90%的把握认为城市幸福感指数

37、与性别有关.(H)由题可知，E的可能取值为3, 4, 5, 6,则 P ( E= 3),略6P (片 4)P （片 5）P （片 6）130- E的分布列为:345112-I-= 623学4的概率 P （学4）= P （片3） +P （ E= 4）【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的要布列、概率的求法，考 查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.19. 在如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，平面 MAD丄平面ABCD，平面MAB n平面MCD = MN , MAD是边长为4的等边三角形， CD = 2MN = 2.(I)求证：MN丄MD ;(H

38、)求二面角 M - BD - N的余弦值.【分析】(I)推导出 AB丄AD , AB丄平面MAD，从而 AB /平面 MCD，进而 MN /AB , MN丄平面 MAD，由此能证明 MN丄MD .(n)设AD的中点为0,过0作0H / AB，交BC于H，由题意知 0A, OH , OM两 两垂直，以0为原点，分别以 0A , OH , 0M为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，禾U用向量法能求出二面角 M - BD - N的余弦值.解：（1）证明：由底面 ABCD为矩形，得 AB丄AD,平面 MAD丄平面 ABCD，平面 MAD门平面 ABCD = AD , AB?平面ABCD , AB丄平

39、面MAD ,/ AB / CD, CD?平面 MCD , AB?平面 MCD ,AB /平面 MCD ,平面 MAB 门平面 MCD = MN , MN / AB , MN 丄平面 MAD ,/ MD ?平面 MAD , MN 丄 MD .（n）解：如图，设 AD的中点为0,过0作0H / AB，交BC于H ,由题意知0A, OH , 0M两两垂直，以0为原点，分别以 0A, 0H , 0M为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，则 B (2, 2, 0), D (- 2, 0, 0), M (0, 0, 2 门，N (0,1, 2 '；),设平面MBD的法向量(x,y,z),则 n

40、BD =-4"一 2y = 0，取x= 3,得*n (3,- 6,一护）n BM = -2x- 2y += 0设平面NBD的法向量(a, b, c),m 二则m2，取a = 1，得吩(1,Vm = -2a + b + 2c = 0-2, 0), cos.面角M - BD - N的余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆C:1 (a> 0)的中心为原点O,左焦点为F，离心率为,不与坐标轴垂直的直线I与椭圆C交于M , N两点.(I)若K ( 2,

41、 1)为线段MN的中点，求直线I的方程.(H)若点P是直线x,5?上一点，点 Q在椭圆C上，且满足f 0,设直二一 _PF QF-5r 1 |X线PQ与直线OQ的斜率分别为ki, k2,问：kik2是否为定值？若是，请求出kik2的值;若不是，请说明理由.【分析】(I)由题意离心率的值及a, b, c之间的关系可得 a的值，进而求出椭圆的方程，由MN的中点坐标，由点差法可得直线MN的斜率，进而由点斜式求出直线MN的方程；(H)由(I)可得 P点所在的直线方程，及左焦点F的坐标，设P的坐标，及椭圆上的点Q的坐标，将 Q的坐标代入椭圆的方程可得横纵坐标的关系，求出亦的表达式，由题意求出kik2的表

42、达式，进而将氓 品一 0代入可得kik2为定值.尸卜 Ujr =解：(I)由题意可得 芒_少，且c2= a2 - 4,解得a2= 3,所以椭圆的方程为：f 护 1,V + T =设 M (Xi, yi), N (X2, y2),由于M , N在椭圆上，所以作差可得因为K(2，1)为线段MN的中点，所以Fd，k - x2 +_ _ g故直线 I 的方程为 y- 1_ E( X- 2),即 卩 8x+9y- 25= 0;()由(I)可得直线 x卢a2吓,点F (-J, 0),.二 三5 7T设 P (, t) , Q (xo, yo),易知 xom 0,_ 5因为"屮0，即(-, t)

43、?(逼：Xo, - y0)=0,可得 tyo= 4-X0,+可因为Q在椭圆上，所以所以kik21，即 y。2 = 4(1工J4 -冷-4-),牝 ?0 可+帀所以kik2的值为定值，且为【点评】本题考查向量与椭圆方程的综合问题，及点差法求直线的斜率的求解问题，属 于中档题.21. 已知 f (x)= 2e2x 1+4ax (a &一选择题)(I)若a ，求f (x )在x = 0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; "e(n)若f (x)在1 , 2上的最大值为3e3,求a的值.【分析】(I) a 时，f (x )= 2e2x'Gf (0)2-e，可得f'(

44、 0)+ e利用点斜式可得f (x)在x = 0处的切线方程：yx 进而得出切线与x, f'(x) = 4e2x两坐标轴围成的三角形的面积.(II ) f'( x)= 4e2x1+4a.( i) a> 0时，f'(x) > 0，利用函数f (x)的单调性与最大值可得a.(ii) av 0 时，由 f'(x)= 0，解得 xl1+ln (- a) 对a分类讨论利用函数 f (x)2的单调性与最大值可得a.解：(I) a时，f (x )= 2e2x_ 1ex，f '( x)= 4e2x, f'( 0)re,f (0)可得：f (x)在x

45、= 0处的切线方程:yx.=e c令x = 0,可得y 2 令y= 0，可得切线与两坐标轴围成的三角形的面积12 11=-x - x -=2 e 4 4e(II ) f'( x)= 4e2x_ 1+4a.(i) a> 0时，f'(x)> 0,故f (x)在1 , 2上单调递增， f (x)在1 , 2上的最大 值为 f (2)= 2e3+8a = 3e3,： a .(ii) av 0 时，由 f '(x)= 0,解得 x 1 + ln (- a). 1 + ln (- a) w 1,即-e< av 0 时.故 f (x )在1 , 2上单调递增， f (x)在1 ,应，舍去.2上的最大值为 f (2)= 2e3+8a= 3e3,： a 1 + ln (- a) > 2,即 aw- e3 时故 f (x)在1 , 2上单调递减， f (x)在1 , 2 Je,舍去.上的最大值为 f (1)= 2e+4a= 3e3,. a 1 l1 + ln (- a) v 2,即e3vav e时.故 f (x)在1 , 1 1 + ln (- a)上单调 <3 2递减，在(1+ln(-a)2上单调递增,由 可知：f (2