2020年北京市高考适应性测试数学试卷及答案(word版本)

1、2020年北京市高考适应性测试数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）、选择题共 10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数i （i + 2）对应的点的坐标为(A) (1,2)(B) ( 1,2 )(C) ( 2, 1)(D) ( 2,1)(2)已知集合 A x x2 , B 1,0,1,2, 3 ，贝U A AB(A) 0,1(B) 0, 1,2(C) 1, 0,1(D) 1, 0, 1,2 下列函数中，在区间（0,）

2、上为减函数的是数学第7页(共11页)(A)y;x(B)y x2 1(C)y(-)X12 函数f（ x） 7x25x6的定义域为(A) x | x < 2 或 x > 3(B)x | x < 3 或 x > 2(C) x | 2 < x < 3(D) x | 3 < x < 2（5）圆心为（2, 1）且和x轴相切的圆的方程是(A) (x 2)2(y 1)21(B)(x2)2 ( y 1)2 1(C) (x 2)2(y 1)25(D)(x2)2 ( y 1)2 5（6）要得到函数ysin(2x兀,）的图象，只需要将函数ysin 2x的图象3（A）向左

3、平移r个单位（B）向左平移二个单位36（C）向右平移二个单位（D）向右平移二个单位(7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为2(A) 234(B) 43(C) 2(D) 4俯视图侧(左)视图(8)已知点A ( 2, 0 ) , B ( 0, 2 ).若点P在函数y <x的图象上，则使得 PAB的面积为2的点P的个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 设an是等差数列，且公差不为零，其前 n项和为Sn .则“ n N* , Sn 1 Sn ”是“an为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩

4、按照考生原始成绩从高到低分为A, B, C, D, E五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为 A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另物理化学等级都是B的学生至多有12人物理化学等级都是B的学生至少有5人这两科只有一科等级为B且最高等级为 B的学生至多有18人这两科只有一科等级为B且最高等级为 B的学生(级 科目ABCDE物理1016910化学819720外一科等级为B,则该班至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共 5题，每题5分，共25分。5分，不选或有错选得0分,X 2 2 .一(11)已

5、知双曲线丁 y 1( a0 )的一条渐近线方程为X y 0，则aa(12)已知向量 a (1,m) , b (2, 1)，且 a b，则 m .( 抛物线y 2 4 x上到其焦点的距离为1的点的个数为 (用 在 ABC 中，a 4 , b 5 , c 6，则 cos A AABC 的面积为 函数f (x)的定义域为1,1),其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(2 x) g(x) 0，且当x (0,1)时，g (x) f (x) .给出下列三个结论: g(0)0 ;函数g(x)在(1,5)内有且仅有3个零点;不等式f x0的解集为x | 1 x0 .其中，正确结论的序号是.

6、注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得其他得3分。三、解答题共 6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)如图，在四棱锥 P ABCD中，PD 2 AD , PD DA , PD DC ,底面ABCD为正方形,M , N分别为AD , PD的中点.(I )求证:PA II 平面 MNC ；(n)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值.C(17)(本小题14分)已知an是公比为q的无穷等比数列，其前 n项和为Sn,满足a3 12 , ,是否存在正整数k ,使得Sk 2020?若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.从q 2 ,q _1 ,q 2

7、这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。(18)(本小题14分)为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现 分别从A, B, C三块试验田中各随机抽取 7株植物测量高度，数据如下表(单位：厘米) ：A组10111213141516B组12131415161718C组13141516171819假设所有植株的生长情况相互独立.从A, B, C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙.

8、(I)求丙的高度小于15厘米的概率；(H)求甲的高度大于乙的高度的概率；(出)表格中所有数据的平均数记为0 .从A, B, C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14, 16, 15 (单位：厘米).这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1,试比较 。和1的大小.(结论不要求证明)(19)(本小题15分)已知函数 f (x) ex (x 1) _1 ea x2 , a 0 .2(i)求曲线 y f ( x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)求函数 f (x)的极小值；(m)求函数 f (x)的零点个数.(20)(本小题14分)已知椭圆C的短轴的两个端

9、点分别为 A(0, 1) , B(0, 1),焦距为2/3 .(I )求椭圆C的方程；(II) 已知直线y m与椭圆C有两个不同的交点 M, N ,设D为直线AN上一点，且直线BD ,BM的斜率的积为 J .证明：点 D在X轴上.4(21)(本小题14分)设数阵4=(7 其中即外玛第/12:6“设5七，弓UL2,ail fl23 /其中e e2e, iN*且I v 6 .定义变换k为“对于数阵的每一行，若其中有k或k ,则将这一行中每个数都乘以1;若其中没有k且没有 k ,则这一行中所有数均保持不变”(k e,e2,ei). s(A。)表示“将 A。经过e变换得到A1,再将A1经过e变换得到A

10、2,2以此类推，最后将 Ai1经过e变换得到Ai”，记数阵Ai中四个数的和为Ts (A。).(2、写出4经过价变换后得到的数阵4 ；(II )s = g,求(4)的值:(III)对任意确定的个数阵4,证一明：1(4)的所有可能取值的和不超过-4.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)202弭北京市高考适应性测试数学答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。1-5.BCCAA 6-10.DBCAD 10.D （见视频解读）、填空题共5题，每题5分，共25分。11.1 12.213.114.3, 包7. 15.

11、（见视频解读）4415 .解析.因为函数g x是定义域为R的奇函数，所以正确；由g2 x g（x） 0知函数y g（x）的图像关于点1,0成中心对称，由止匕作出函数的图像如下，由图像知 函数y g（x）在 1,5内有5个零点，故对于，方法一是利用了（一工）与，伏）关于y轴对称，由图像知正确。方法二是利用函数 y f（x）的图像，直接解不等式 0 x 1,即得1 x 0 故而正确。注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求 .全部选对得5分，不选或有错选得0分, 其他得3分.三、解答题共6题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16 .（本小题14分）（I ）证明：因为M N别为A

12、D, PD勺中点 所以PAPMN ,PA 平面 MNCMN 平面MNC所以PA/平面MNC ;(n)由题意建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz。设AD=2 则 P(0,0,4), B(2,2,0), M (1,0,0), N(0,0,2),C(0,2,0) uuuuuuuuum则 PB (2,2, 4), MN ( 1,0,2), MC ( 1,2,0) r设平面MNCJ法向量为n=(x, y, z), r uuurrn MNx 2z 0r则 r uuuu,令 x 2,则 y = 1,z = 1,即 n=(2,1,1)n MCx 2y 0设直线PBW平面MNCf成角为 ，则sin,r uu

13、r n PB -r11 iriRF1即直线PBW平面MN所成角的正弦值为-.617.（本小题14分）答案：当q 2时，存在，kmin10-1 一，当q 2时，不存在。当q 2时，存在，kmin 11理由分别如下。当 q 2时，a1 3,an 3 2n 1 , 03 3 23 2n 31 2k 1由 3 2k 3 2020 得2674一,3_9_ 10_Q 2512,21024,kN,11 n 1当q 2时，a148,an 48鼻，k,1/曰 481由96 96 2020得224kmin10Snnc c 148 48 一2n196 96 - 021 ,不等式无解。此时不存在2nn 13 32当

14、q 2 时，a13,an32, 0 - 112数学第9页（共11页）»k.k由 122020得 22019,91011，Q 2512 ,21024, 22048, k N , kmin 1118.(本小题14分)解：(1)设“丙的高度小于15厘米”为事件M2因为丙的高度小于15厘米的有13厘米、14厘米的两株，所以P(M)-72即丙的高度小于15厘米的概率为2。7(2)设“甲的高度大于乙的高度”为事件 N.记颜7株植物依次分别为 A1,A2, A3,A4, A5, A6, A7.训7株植物依次分别为B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7.从A中选出甲，从B中选出乙共有7 7 49种

15、情况，其中满足甲的高度大于乙的高度的有：(A4,B1)、(A5,B1)、(A5, B2)、(A,B1)、(A, B2)、(A6,B3)、(A7,B1)、(A,B2)、(A7,B3)、(A7,B4)、.共10种.10所以P( N).49 ，10即甲的高度大于乙的高度的概率为104901.19.(本小题15分)解：(1) f(x)定义域为：RXx _a/_x _a、f (x) e (x 1) +e e x x(e e )Q f(0)1切点为(0, 1)Q f (0) 0y f (x)在(0, 1)处的切线方程为：y 1.(2)令 f (x) 0,解得：x1 0,x2 a (a 0)x(,a)a(a

16、,0)0(0,)f (x)00f(x)“*)在(，a)、(0,)单调递增，在(a,0)单调递减."*)在乂 0处取得极小值为f (0)1.11 C C由(2)知 f (x)的极大值为 f(a) e (a 1) 一e a (a 1 -a )e 0, (a 0)222 af (0)10,f(2) e 2e ,Q a 0,0 ea 1, f (2)0函数f(x)的零点个数为1.20.（本小题14分）解答：（I）由题意知c 73, Q a c ,2所以椭圆C的方程为：y2 1c4只能b1,且焦点在x轴上,a2 b2 c24(H)由题意可设 M ( X0,m), N (x0,m),22一1 m

17、 1。则 x04(1 m )-uuruuur因为点 M直线ANh一点，所以AD ANuuuruuir uuu所以 OD AN OA x0, m 1 1(x0,m 1),所以Kbd Kbm(m 1) 2x0x0 一 ，22整理得 4 (m 1) 8(m 1)x0将代入整理得 m 1 (m 1) 1 0 ,Q m 1 0, (m 1) 1 0,即 yD 0所以点皿x轴上21.(本小题14分)设数阵 A0为a12 ,其中 a”a12,a21,a22 1,2, ,6,设 S ee, ,e1,2, ,6,其a21 a 22 * 一 . ， .中e e2e,l N且l 6.定义变换k为”对于数列的每一行，

18、若其中有k或k,则这一行中所有数均保持不变” ()(k e，%，,e) s(Ao)表示“将Ao经过q变换得到A1 ，再将A1 经过e2变换得到A2 ，, 以此类推，最后将Al1 经过el 变换得到Al ”，记数阵A中四个数的和为Ts(Ao).12(I )若Ao彳 ，写出Ao经过2变换后得到的数阵A；1513(R)若 Ao八，S 1,3,求 Ts(Ao)的值；36(田)对任意确定的一个矩阵Ao,证明：Ts(Ao)的所有可能取值的和不超过-4.? 12?解(I )经过f 2变换A 二今 ±兔5 中?1 3?- 1 - 3?(U)A0 = 过fl变换得到Ai=§姿过f 3变换得到13 6?!36 ?所以TS(Ao)= 1+ 3+ (- 3)( + -6)= -5(m)因为集合S共有含空集在内的子集 64个，令j f(Ao)= Ao,对于第一行ail和ai2若an = &2,则含a11的子集有32个，这32个A中第一行为-a11